2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题1．（5分）若tan10°＝a，则用a表示sin820°的结果为（）A．-11+a2 B．11+a2．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，-22A．-223 B．-13 3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n C．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β D．α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α且n∥β4．（5分）在复平面内，复数z＝﹣2﹣3i，则z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+π6) C．y=2sin(2x+π3)6．（5分）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东60°的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD（单位：米）为（）A．26 B．263 C．52 D．7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若m⊂α，α∥β，n⊥β，则m⊥n8．（5分）若tanθ＝2，则sinθ(1-sin2θ)sinθ-cosθA．25 B．-25 C．6二、多选题（多选）9．（5分）下列关于圆柱的说法中，正确的是（）A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱（多选）10．（5分）下列四个命题中，错误命题的是（）A．垂直于同一条直线的两条直线相互平行 B．垂直于同一个平面的两条直线相互平行 C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行（多选）11．（5分）如图所示，在4×4的方格中，点O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A．OB→=OA→C．AC→=OB（多选）12．（5分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．直线x=-2π3是函数f（xB．函数f（x）的图像关于点(-π6C．函数f（x）的单调递增区间为[-5πD．将函数f（x）的图像向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+三、填空题13．（5分）已知sin(α+π2)=2314．（5分）已知sinα⋅cosα=38，且π4＜α＜π2，则cos15．（5分）底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是．16．（5分）如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是．四、解答题17．（10分）求函数y＝sinx+cosx，x∈[-5π12，18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+3bcos（B+C）＝0，a=（1）求A；（2）若b＝2，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f(x)=2cos（1）求函数f（x）的单调递减区间．（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x20．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．21．（12分）已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD的棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE．求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MN∥PE．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，AB＝2，AA1＝3．（1）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（2）求点A到平面A1CD的距离．

2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）若tan10°＝a，则用a表示sin820°的结果为（）A．-11+a2 B．11+a【解答】解：∵tan10°＝a，∴sin820°＝sin（2×360°+100°）＝sin100°＝sin（90°+10°）＝cos10°=1故选：B．2．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，-22A．-223 B．-13 【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(1∴由任意角的三角函数的定义可得，cosα=1则cos（π﹣α）＝﹣cosα=-1故选：B．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n C．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β D．α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α且n∥β【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，由面面垂直和线面垂直的性质得：α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n，故B正确；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α与β相交或平行，故C错误；对于D，α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α或n⊂α且n∥β或n⊂β，故D错误．故选：B．4．（5分）在复平面内，复数z＝﹣2﹣3i，则z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z＝﹣2﹣3i，∴z=-2+3i∴z对应的点（﹣2，3）位于第二象限．故选：B．5．（5分）y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．y=2sin(2x+π6) C．y=2sin(2x+π3)【解答】解：T＝4（7π12-π3）＝π根据图象可得函数最大值为2，则A＝2，点（7π12则2×7π12+φ＝π，∴则函数的解析式为：y＝2sin（2x-π故选：B．6．（5分）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东60°的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD（单位：米）为（）A．26 B．263 C．52 D．【解答】解：由题意可得：∠BAD＝30°，∠ABD＝60°，∠CBD＝45°，AB＝104（米），在△ABD中，可得∠ADB＝90°，则BD=AB⋅sin∠BAD=104×1在Rt△BCD中，可得△BCD为等腰直角三角形，即DC＝BD＝52（米）．故选：C．7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若m⊂α，α∥β，n⊥β，则m⊥n【解答】解：若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A正确；若m∥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β或m与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；若m⊂α，α∥β，则m∥β，又n⊥β，则m⊥n，故D正确．故选：B．8．（5分）若tanθ＝2，则sinθ(1-sin2θ)sinθ-cosθA．25 B．-25 C．6【解答】解：sinθ(1-sin2θ)sinθ-cosθ=sinθ(sinθ-cosθ)2sinθ-cosθ=sinθ故选：A．二、多选题（多选）9．（5分）下列关于圆柱的说法中，正确的是（）A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱【解答】解：由旋转体的定义可知，故选项A正确；由圆柱的结构特征可知，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面，故选项B正确；用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，故选项C错误；由旋转体的定义可知，选项D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）下列四个命题中，错误命题的是（）A．垂直于同一条直线的两条直线相互平行 B．垂直于同一个平面的两条直线相互平行 C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行【解答】解：对于A，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故A错误；对于B，由线面垂直的性质得垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故B正确；对于C，由面面平行的判定定理得垂直于同一直线的两个平面互相平行，故C正确；对于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故D错误．故答案为：AD．（多选）11．（5分）如图所示，在4×4的方格中，点O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A．OB→=OA→C．AC→=OB【解答】解：如图所示，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣1，4），B（3，5），C（4，1），所以OA→则OB→=OA|OA→|=(-1)所以|OA→|=|OCAC→=(5，-3)，OB→-2OCOA→⋅OB→=-3+20=17故选：AD．（多选）12．（5分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．直线x=-2π3是函数f（xB．函数f（x）的图像关于点(-π6C．函数f（x）的单调递增区间为[-5πD．将函数f（x）的图像向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+【解答】解：由图象可知，A＝1，且14T=7π12-π3，则函数f所以ω=2π又f(7π12)=-1而|φ|＜π则k=0，φ=π3，对于A，由于f(-2π3)=sin(-4π3+π3)=0对于B，由2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=-π6+kπ2，k∈Z对于C，由-π2+2kπ≤2x+则函数f（x）的单调递增区间为[-5π12+kπ，对于D，g(x)=f(x-π12)=sin[2(x-故选：BCD．三、填空题13．（5分）已知sin(α+π2)=23，则cos2α【解答】解：sin(α+π2)=2所以cos2α＝2×49-故答案为：-114．（5分）已知sinα⋅cosα=38，且π4＜α＜π2，则cosα﹣sin【解答】解：因为sinα⋅cosα=3又因为π4所以cosα∈（0，22），sinα∈（2则cosα﹣sinα=-(cosα-sinα故答案为：-115．（5分）底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是8π．【解答】解：因为圆柱的底面半径为1，高为4，所以圆柱的侧面积S侧＝2πrl＝2π×1×4＝8π．故答案为：8π．16．（5分）如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是22【解答】解：设正四面体的棱长为a，则正四面体的体积为212a＝62，EF=2故答案为：22四、解答题17．（10分）求函数y＝sinx+cosx，x∈[-5π12，【解答】解：y＝sinx+cosx=2sin（x+π4），∵x∈[-5π12，3π4]则当x+π4=π2，即x=当x+π4=-π6，即x=-18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+3bcos（B+C）＝0，a=（1）求A；（2）若b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）asinB+3bcos（B+C）＝0，可得sinAsinB-3sinBcos∴sinA=3cosA∴tanA=3∴A=π（2）因为A=π3，a=19，b∴c＝5∴S=119．（12分）已知函数f(x)=2cos（1）求函数f（x）的单调递减区间．（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x【解答】解：（1）f(x)=2cos由f（x）max＝2+a＝1，解得a＝﹣1．由f(x)=2sin(x+π则2kπ+π2≤x+π6解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3，2kπ+4π3（2）由x∈[0，π2]所以12所以0≤2sin(x+π所以函数f（x）的值域为[0，1]．20．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．【解答】证明：（1）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．∴PA⊥BD，AB=B∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵PA＝AD＝2，PA⊥AD，∴∠PDA＝45°，∴cos∠PDA＝cos45°=2∴平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小为2221．（12分）已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD的棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE．求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MN∥PE．【解答】证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ．∵N，Q分别是PC，DC的中点，∴NQ∥PD．∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD．∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD．又∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD．∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD．∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．（2）∵平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE∴MN∥PE．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，AB＝2，AA1＝3．（1）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（2）求点A到平面A1CD的距离．【解答】证明：（1）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的结构特征可得，AA1⊥平面ABC，又因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以AB⊥CD，又因为AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，又因为CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1．解：（2）由（1）可知，CD⊥平面ABB1A1，又因为A1D⊂平面ABB1A1，所以CD⊥A1D，在正三角形ABC中，CD=3在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又因为AD⊂平面ABC，所以AA1⊥AD，所以A1因为VA所以点A到平面ACD的距离h=12022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）已知复数z=1-2i1+i（i是虚数单位），则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3A．2 B．3 C．5 D．73．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，则方程f（x）﹣3A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（xA．π4 B．π2 C．π 5．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．ba+abC．a+b≥2|ab| D．a2+b2≥﹣26．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，β∥α，则a∥β B．若α⊥β，a⊥β，则a∥α C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若a∥α，b⊥α，则a⊥b7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A．r+hcosβ=rcos(α+β)C．r+hsinβ=r8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）A．3 B．23 C．33 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（）A．该组数据的平均数为1157B．该组数据的中位数为13 C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（A．最小正周期为π B．在区间[-π3，C．图象的一个对称中心为(-πD．图象的一条对称轴为直线x=（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（）A．A＝2B B．B的取值范围为(0，πC．ab的取值范围为(D．1tanB-（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（）A．BF与AE异面 B．BF∥平面ACD C．平面CDF⊥平面ABD D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为．16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为，OP→⋅AB四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cos（﹣2x），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在[0，π18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2（1）若f（1）＝1，求f（x）；（2）设g（x）＝log2（x﹣2x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14

2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）已知复数z=1-2i1+i（i是虚数单位），则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因为z=1-2i1+i=因此，z对应的点(-1故选：B．2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：∵a→∴|2a故选：D．3．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，则方程f（x）﹣3A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C．4．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（xA．π4 B．π2 C．π 【解答】解：∵函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）＝（12sinx+32cosx）•cosx=1=14sin2x+32•1+cos2x2=∴函数的最小正周期是2π2=故选：C．5．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．ba+abC．a+b≥2|ab| D．a2+b2≥﹣2【解答】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；对于D：∵（a+b）2≥0（a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab（a，b∈R），∴D正确；故选：D．6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，β∥α，则a∥β B．若α⊥β，a⊥β，则a∥α C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若a∥α，b⊥α，则a⊥b【解答】解：对于A：若a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β，故A错误；对于B：若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故B错误；对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故C错误；对于D：若a∥α，则过a作平面δ，δ∩α＝m，则a∥m，由b⊥α，则b⊥m，则a⊥b，故D正确．故选：D．7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A．r+hcosβ=rcos(α+β)C．r+hsinβ=r【解答】解：如图所示，∠B=π由正弦定理可得OAsinB即rsin(化简得rcos(α+β)故选：A．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）A．3 B．23 C．33 【解答】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，则EF∥B1D1∥NH，MN∥B1A∥FG，∴平面MEFGHN∥平面AB1D1，∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，∴EF＝FG＝GH＝HN＝NM＝ME=2即六边形EFGHNM是边长为2的正六边形，则其面积S=6×1故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（）A．该组数据的平均数为1157B．该组数据的中位数为13 C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15【解答】解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，对于A，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=115对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；对于C，由7×70%＝4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；对于D，该组数据的极差为25﹣10＝15，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（A．最小正周期为π B．在区间[-π3，C．图象的一个对称中心为(-πD．图象的一条对称轴为直线x=【解答】解：f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（2x所以函数的最小正周期为π，当x=π故选：AD．（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（）A．A＝2B B．B的取值范围为(0，πC．ab的取值范围为(D．1tanB-【解答】解：因为a2＝b（b+c），又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b（b+c）＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝c2﹣2bccosA，所以b＝c﹣2bcosA，即c﹣b＝2bcosA，由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣sinB＝sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，∵A，B，C为锐角，∴A﹣B＝B，即A＝2B，故选项A正确；∵0＜2B＜π20＜π-3B＜π2∵ab=sinA∵1tanB又π3＜A＜π令t＝sinA（32＜t＜1），则由对勾函数性质可知，f(t)=1t+2t又f(3∴1tanB-1故选：AC．（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（）A．BF与AE异面 B．BF∥平面ACD C．平面CDF⊥平面ABD D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是2【解答】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B，D分别为NP，AM中点，对于A，∵AE∩平面EFPN＝E，BF⊂平面EFPN，E∉BF，∴AE与BF为异面直线，A正确；对于B，连接BD，DG，∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD∥AP，BD＝AP，又AP∥FG，AP＝FG，∴BD∥FG，BD＝FG，∴四边形BDGF为平行四边形，∴BF∥DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD，B正确；对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG∥平面CDF，∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，∴AG∥CD，显然不成立，∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；对于D，连接DN，直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，设正方体棱长为2，∵DE=E∴sin∠EDN=NEDE=23，即直线DE与平面ABD故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝1000【解答】解：树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10已知参赛学生中男生比女生多10人，按比例分配抽取n10则参赛学生中男生人数为550×1参赛学生中女生人数为55﹣10＝45人，∴n＝（55+45）×10＝1000．故答案为：1000．14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为8【解答】解：如图，圆锥任意两条母线为AB，AD，则截面为等腰△ABD，∴截面面积为S△ABD=12×AB×AD由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，∴∠BAD∈（0°，120°），∴sin∠BAD最大值为1，∵AB＝AD=A∴当sin∠BAD最大时截面面积最大，∴截面面积最大为12故答案为：8．15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为2．【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π，可得球O的半径R=2又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC=2，AB＝22所以球O的球心正好在AB中点，故OA＝OB＝OC＝OD=2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC＝∠DOC＝60°，所以△ODA故此正四棱台的侧棱长AD＝OA=2故答案为：2．16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为82，OP→⋅AB→的最小值为【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，OB=OA=2，∠AOB=π所以正八边形ABCDEFGH的面积为8S因为AB所以AB=8-42，又cos3π所以OA→⋅AB因为OP→⋅AB→=(OA又设〈AP所以AP→⋅AB→=|又|AP→|cosθ表示向量AP→在向量点P不可能在路径BCDE上（在此路径上θ为锐角），所以点P在路径EFGHAB上，延长BA与GH，延长线交于M点，则AMH为等腰直角三角形，且MA=MH=2所以BM=2所以当点P在GH上时，向量AP1→在向量AB即|AP所以(AP所以(OP故答案为：82四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cos（﹣2x），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在[0，π【解答】解：（1）因为f(x)=cos2x-sin2x=2由题意得：T=2π|ω|-由2kπ⩽2x+π解得：-π故函数f（x）的单调递减区间为[-π（2）由x∈[0，π2]∴cos(2x+π∴f（x）在区间[0，π2]当cos(2x+π4)=-1，即2x+π418．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．【解答】解：（1）由题意，2×（0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03）＝1，解得a＝0.10，因为2×（0.08+0.13+0.10）＝0.62＜0.7，2×（0.08+0.13+0.10+0.06）＝0.74＞0.7，故70%分位数在[22，24）之间，设为x，则0.62+0.06×（x﹣22）＝0.7，解得x=70故估计样本中女员工BMI值的中位数为703（2）由题意，样本中女员工BMI值的平均数为：2×（17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）＝21.64，故估计该公司员工BMI值的平均数x=119．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△【解答】解：（1）因为2bcosC＝2a﹣c，由余弦定理可得2b•a2+b2-整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，可得cosB=12，B∈（0，可得B=π（2）设△ABC外接圆半径为263，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：bsinB由（1）可得AC＝b＝2×263D为AC的中点，可得AD＝CD=12AC在△ABC中，由余弦定理可得cosB=a可得a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝b2+3ac＝8+3ac，①而BD＝2，在△ADC中，由余弦定理可得cos∠ADC=A在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC=D又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cos∠ADC+cos∠BDC＝0，所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，由①②可得a+c＝25，所以△ABC的周长为a+b+c＝25+2220．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就