7.连续性方程的推导

7.连续性方程的推导连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。L法有限体积分析取体积为，质量为的一定流体质点团，则有：（1）因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：（2）（3）代入式（1）得（4）运用奥高定理（5）得（6）上式即是连续性方程的积分形式。假定被积函数连续，而且体积是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：（7）或（8）在直角坐标系中连续性方程为：（9）或（10）连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积ADDINEN.CITE<EndNote><Cite><Author>戴干策</Author><Year>2005</Year><RecNum>7</RecNum><record><rec-number>7</rec-number><ref-typename="Book">6</ref-type><contributors><authors><author><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">戴干策</style></author><author><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">陈敏恒</style></author></authors></contributors><titles><title><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">化工流体力学（第二版）</style></title></titles><dates><year>2005</year></dates><pub-location><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">北京</style></pub-location><publisher><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">化学工业出版社</style></publisher><urls></urls></record></Cite></EndNote>[2]。L法体积元分析考虑质量为的体积元，对其用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：（11）（12）两边同除以，得（13）或写成（14）上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。1.3E法有限体积分析着眼坐标空间，取空间中以面为界的有限体积，则称面为控制面，为控制体。取外法线方向为法线的正方向，为外法线方向的单位矢量。考虑该体积内流体质量的变化，该变化主要以下两方面原因引起。第一，通过表面有流体流出或流入，单位时间内流出流入变化的总和为：（15）第二，由于密度场的不定常性（注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画），单位时间内体积的质量将变化，变化量为：（16）上述两者应相等，即（17）由于体积是任意的，且被积函数连续，则（18）1.4E法直角坐标系分析单位时间内通过表面EFGH的通量为