2019-2020学年高中数学课时分层作业19几何概型均匀随机数的产生含解析新人教A版必修

PAGE课时分层作业(十九)几何概型均匀随机数的产生(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是eq\f(1,3)，则小狗图案的面积是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(8π,3)D．eq\f(16π,3)D[设小狗图案的面积为S1，圆面积S＝π×42＝16π，由几何概型计算公式得eq\f(S1,S)＝eq\f(1,3)，故S1＝eq\f(16π,3).]2．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A．0.008 B．0.004C．0.002 D．0.005D[该问题可转化为与体积有关的几何概型求解，概率为eq\f(2,400)＝0.005.]3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(3,4)A[记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).]4．将[0，1]内的均匀随机数a1转化为[－2，6]内的均匀随机数a，需实施的变换为()A．a＝a1*18 B．a＝a1*8＋2C．a＝a1*8－2 D．a＝a1*6C[因为随机数a1∈[0，1]，而基本事件都在[－2，6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.]5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)C[如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq\f(S,4)”等价于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面积大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).]二、填空题6．在区间[－2，4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________．3[由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.]7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________．eq\f(3,4)[因为方程无实根，故Δ＝1－4a<0，所以a>eq\f(1,4)，即所求概率为eq\f(3,4).]8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．eq\f(13,16)[记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16)，记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝eq\f(13,16).]三、解答题9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率P1；(2)求点M落在三棱锥B­A1B1C1内的概率P2；(3)求点M到面ABCD的距离大于eq\f(a,3)的概率P3；(4)求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于eq\f(a,3)的概率P4.[解]V正方体＝a3.(1)∵Veq\s\do8(三棱柱ABC­A1B1C1)＝eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,2)a3，∴所求概率P1＝eq\f(\f(1,2)a3,a3)＝eq\f(1,2).(2)∵Veq\s\do5(三棱锥B­A1B1C1)＝eq\f(1,3)·Seq\s\do5(△A1B1C1)·BB1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,6)a3，∴所求概率P2＝eq\f(1,6).(3)所求概率P3＝eq\f(a－\f(a,3),a)＝eq\f(2,3).(4)所求概率P4＝eq\f(a－\f(a,3)－\f(a,3),a)＝eq\f(1,3).10．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km处向基地行驶，李四在基地正北40km处也向基地行驶，试求下午3：00后他们可以交谈的概率．[解]记事件A＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x∈[0，30]，y∈[0，40]，则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x，y)，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40km和30km的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1200km2，可以交谈的区域为x2＋y2≤252的圆及其内部满足x≥0，y≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq\f(\f(1,4)×π×252,1200)＝eq\f(25π,192)≈0.41.[能力提升练]1．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(π,60) D．eq\f(π,3)A[由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为eq\f(24,30)＝eq\f(4,5).]2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,8)C[设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4.))要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2.))如图，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4))所表示的图形面积为16，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2))所表示的六边形OABCDE的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).]3．在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．eq\f(3,4)[圆(x－5)2＋y2＝9的圆心为C(5，0)，半径r＝3，故由直线与圆相交可得eq\f(|5k－0|,\r(k2＋1))<r，即eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，整理得k2<eq\f(9,16)，得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).故所求事件的概率P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－（－1）)＝eq\f(3,4).]4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝________．eq\f(\r(7),4)[如图，由于满足条件的点P发生的概率为eq\f(1,2)，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性，当点P在靠近点D的CD边的eq\f(1,4)分点处，即图中E点处时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).]5．利用随机模拟法计算由曲线y＝eq\f(1,x)，直线x＝1，x＝2和y＝0所围成的图形的面积．[解]如图，阴影部分即为所求．第一步，利用计算器