2023苏教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第4章 数列

第4章数列

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知数列｛aj是等比数列,S”为其前n项和，若ai+a2+a3=4,at+a5+a«=8,则SI2=（）

A.40B.60C.32D.50

2.已知，是等差数列｛&｝的前n项和,若S15=45,则5a「3a：；的值为（）

A.6B.15C.34D.17

3.已知数列｛aj的前n项和为S„,且S„=^-＞贝|三=（）

n+la5

A.-B.-C.-D.30

6530

4.设+-j—+•+—F—^―\则与M最接近的整数为（）

\3z-44z-45z-4100z-4/

A.18B.20C.24D.25

5.已知两个等差数列｛aj与｛bn）的前n项和分别为An和B”且暮二注,则使得詈为整数的正整

Bnn+3bn

数n的个数是（）

A.2B.3C.5D.4

6.在aABC中，a,b.c分别是角A,B,C的对边,A=Jb,a,c成等差数列，且荏•AC=9,则a=（）

A.2V3B.3V2C.2V2D.3V3

7.定义已为n个正数5,U2,q,…,u,,的“快乐数”.若已知正项数列｛%｝的前n项的“快乐数”

副

为肃则数列｛不嬴而｝的前2ON项和为（）

A2018D2019r2019「2019

2019202020181010

8.对于数列｛an｝,若存在常数M,使对任意neN*,都有|a』WM成立,则称数列｛aj有界.若有数列

｛aj满足aE,则下列条件中,能使⑸｝有界的是（）

A.a“+an+i=l+nB.a»i—a„=l——

nn

C.aa+产1+2"D.an+1=1+—

11li2

ann

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）

9.若数列｛a„｝的前n项和是Sn,且Sn=2a„-2,数列瓜｝满足b=log2an）则下列结论正确的为（）

A.数列｛aj是等差数列

B.%=2"

C.数列｛成｝的前n项和为丝F

D.数歹1」｛二.[+]｝的前11项和为T”则LG

10.已知数列｛aj不是常数列,其前n项和为S„,则下列选项正确的是（）

A.若数歹Ij｛aj为等差数列,Sn>0恒成立，则｛aj为递增数列

B.若数歹I区｝为等差数列,aDO,S3=S10,则S0的最大值在n=6或7时取得

C.若数歹!]｛a„｝为等比数列，则S202i-a2闻>0恒成立

D.若数列｛aj为等比数列，则｛2而｝也为等比数列

11.已知数列｛an｝的前n项和为S„,a,=l,S„H=Sn+2an+l,数列｛上二｝的前n项和为L.nEN*,则下

lanan+1J

列选项正确的为（）

A.数列｛a0+l｝是等差数列

B.数列｛an+l｝是等比数列

C.数列5｝的通项公式为a„=2n-l

D.T„<1

12.在数列｛aj中,若碎-W-i=P（n22,n£N*,p为常数），则称｛a„｝为等方差数列.下列对等方差

数列的判断正确的是（）

A.若瓜｝是等差数列,则｛成｝是等方差数列

B.｛（T）”｝是等方差数列

C.若｛4｝是等方差数列,则（8n｝（k£N*,k为常数）也是等方差数列

D.若｛烝｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.将数列｛3n+l｝中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列｛a“｝,则｛%｝的前n项和

为.

14.用数学归纳法证明“当neN*,1+2+2?+2、…+2"能被31整除”时，从k到k+1,等式左边需

添加的项是.

15.已知｛a“｝是等比数列，且a„>0,a2a4+2a3a5+206=25,则a3+a5=,a4的最大值

为（本题第一~'空3分第二空2分）

16.如图是一个数表,第1行依辰写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写在这

两数正中间的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均有无限项,则这个数表中的第11

行的第7个数为（用具体数字作答）.

1234567-

35791113•••

812162024…

20283644

486480•••

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）在①S“=2b尸l;②-4bn=bnT（n22）;③bn=bnT+2（n22）这三个条件中任选一

个,补充在问题的横线上.若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.

问题：已知数列5｝为等比数列,a.=|,a3=aia2,数列限｝的首项b,=l,其前n项和为Sn,:

是否存在k@N*,使得对任意n£N*,abWah恒成立？

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.（本小题满分12分）已知等差数列5｝的前n项和为Sn,S4=16,a3=3a2.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设b„=—求瓜｝的前2n项和T.

GnQn+i2n

19.（本小题满分12分）设数列｛aj的前n项和为Sn,且对任意的正整数n都满足。武1）2=为'

（1）求SbS2,S3的值,猜想S”的表达式;

⑵用数学归纳法证明⑴中猜想的村的表达式的正确性.

20.（本小题满分12分）甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元.由于经营方式

不同，甲超市前n年的总销售额为贮产万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多

（沪a万元.

⑴求甲、乙两超市第n年全年的销售额的表达式；

（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购，

判断哪个超市有可能被收购.如果有这种情况,将会出现在第几年？

21.（本小题满分12分）已知数列｛aj的前n项积T.满足条件:①｛1｝是首项为2的等差数歹U;②

T-T5=i.

6

（1）求数列｛a.｝的通项公式；

⑵设数列®｝满足b4看a,其前n项和为出,求证:对任意正整数n,都有0〈S《

22.(本小题满分12分)若无穷数列a”a2,a3,…满足:对任意两个正整数

i,J(j~i^3),ai-i+aJ+i=ai+ajaMaj-kai+aj至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.

⑴求证:若数列瓜｝为等差数列，则瓜｝为“和谐数列”；

⑵求证:若数列｛4｝为“和谐数列”，则数列EJ从第3项起为等差数列；

⑶若｛aj是各项均为整数的“和谐数列”，满足由=0,且存在pdN*,使得

a„=p,a1+a2+a：i+—+ap=-p,求p的所有可能的值.

答案全解全析

1.B由等比数列的性质可知，数列$3,s6-s3,是等比数列，即数列4,8,SLSS是等比数列，因此

5■=4+8+16+32=60,故选B.

2.A设等差数列｛a,,｝的公差为d.

•=15as=45,/.as=3,

VSi5=45,A2

.•,5a5-3a3=5X(ai+4d)-3X(a1+2d)=2⑸+7d)=2a=6.故选A.

3.Da=Sn-Sr,1；(n^2),又a1二S1W，符合上式，■J；(neN*),

nnn(n+l)2n(n+l)

.•.±=5X6=30,故选D.

4.D*48岛+士+击+…+康)

1111

二48x------------------+------------------+-----------------+•••+-------------------------

(3-2)X(3+2)(4-2)X(4+2)(5-2)X(5+2)(100-2)X(100+2)

=48X(展+盘+++…+

=12X[(1-1)+Q-1)+(1-1)+…+得*)]

=12X(1+9长击磊*)=25-12x(表+击+击+专)

因为0Q2X(表+京+专+壶)<12x专<：,所以M<25.故与M最接近的整数为25.

5.C•.•数列E｝和｛bj均为等差数列,且其前n项和A“和B。满足答=注，

Bnn+3

(2n-l)(ai+a2n-l)

•—2n-l_2_an

**B.i-(2"1)91+匕2九-1)—b

2n2n

7x(2n-l)+45_14n+38_7(2n+2)+24

2n-l+3-2n+2-2n+2

=7+箴=7+篇

当n=l,2,3,5,U时，鼠为整数.故选C.

6.B由题知A=pb,a,c成等差数列，则2a=b+c,由布,AC=9,得cbcosA=9,所以bc=18,

结合余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=4a2-54,

所以a=3近(负值舍去)，故选B.

7.B设S“为数列｛a,,｝的前n项和.

由“快乐数”的定义可知?=—,即S„=3n2+n.

Sn3n+l

当n=l时，ai=Si=4;

当n22且n0底时，an=Sn-Sn-i=6n-2,

经验证可知a尸4满足an=6n-2,

/.a.-6n-2(n£N*).

•・.------36-----=----3-6---=---1--=-1-----1-,

(an+2)(an+1+2)6n•(6n+6)n(n+l)nn+1

数列〔——声——]的前2019项和为1」+'4••+」-----」=故选B.

l(an+2)(an+1+2)J223201920202020

8.D对于A选项，假设瓜｝有界,即存在常数M,对任意nEN;都有a『WM,aWM,

则1+n=aM&WM+M=2M.由于左边1+n递增到无穷大,而右边为常数，因此A选项错误;

同理对于C选项,an，ian=l+2"WM；错误；

对于B选项，n—1时，31=32,n22且n£N*时,aa+i-a—1——,累加可得,a「a22二(n-2),又a2=a1二l,所以an2力n=l时，

nn222

符合上式,所以a“N；(nWN*),显然不是有界的；

对于D选项,吩2,皿=1+9=号<*=r*不=-7•台，

zzz

annnn-l(n+l)(n-l)n+1n-1

累乘可得出X吧x…x9〈(炉x*x...x,•(mx—X-X^),

n

an，ian，2a2'n-13/n-2n-31

即生=2•(n-i)<2,从而a„<4,D正确.故选D.

a2n

9.BD当n=l时,Si=2a-2,解得a,=2,当n22时，由S“=2a「2①，得S„尸2al.H②，

①-②得a.=2a-(n22),所以数歹心a“｝是以2为首项,2为公比的等比数列,故A错误；

易知a„=2",贝I]成=4",所以数列｛成｝的前n项和$'“=^三等=故B正确,C错误；

1—43

n

又bn=log2an=log22=n,所以;;一--=—^―-=--士，

所以1\,一工+乙一3+…二一二-=1一--<1,故D正确.

1223nn+1n+1

10.ABC对于A,若数列｛a,J为等差数列,S0>0恒成立,则公差d>0,故｛a.｝为递增数列，故A正确；

对于B,若数列｛a,J为等差数列,ai>0,设其公差为d,由53=5,0,得3al号d=10al+等d,即a,=-6d,故a„=(n-7)d,

所以当nW7时,a.20,a7=0,故S”的最大值在n=6或7时取得,故B正确；

对于C,若数列｛aj为等比数列，设其公比为q,

则$20,•a。产―°叼•a,•q2侬=山•q，*上E>0恒成立，故C正确；

221-q1-q

对于D,若数列｛a„｝为等比数列,设其公比为q,则2"=2aLq"\所以喋=2a^nl\不是常数，故｛2而｝不为

等比数列，故D错误.故选ABC.

==

11.BCD因为Sn+l=Sn+2an+1,所以an+lSn+l—Sn2an+1,可化为841+1+1=2(4+1),

n

由S尸an,可得数列瓜+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，则an+l=2,即&=27n£N)

口2n_2n__1_____]

Xn+1

anan+i-(2-7)--2-f

可得T"=l-击'+高:一高+…+高一岛1=1一苏%〈卜所以A错误，B，C,D均正确•

故选BCD.

12.BCD在选项A中，取a„=n,则｛aj是等差数列,且磋=忧则a"1-忌=(n+1)/2=2/1,不是常数,所以｛磷｝不是

等方差数列，故A错误.

在选项B中,W-硫i=[(-1)"]2-[(-1)",]2=1-1=0,是常数,所以｛(T)"｝是等方差数列,故B正确.

在选项C中，由｛aj是等方差数列，得碎-a£i=P,从而嫌=谥+(n-l)p,所以或(”+[)-a葭=[al+(kn+k-

l)p]-[^+(kn-l)p]=kP)是常数,所以｛a吊(kGN*,k为常数)是等方差数列，故C正确.

在选项D中，由｛&｝是等差数列,可设其公差为d,则a「a„T=d,又｛a„｝是等方差数列,所以W-*吏,所以忌-

硫i=(a0+a“J(a„-a„i)=(a„+a„1)d=p®,AKlfn(a„,i+a„)d=p(2).

②-①得，(d+d)d=0,解得d=0,所以｛a.｝是常数歹ij,故D正确.故选BCD.

13.答案3n2+n

解析设｛a„｝的前n项和为S„.令b"=3n+l,则a„=b2„-l=3(2n-l)+l=6n-2,

因为a„»i-a„=6(n+1)-2-6n+2=6,所以｛a„｝是以6为公差,4为首项的等差数列,所以S„=4n+n^X6=3n*+n.故答案为

3n2+n.

14.答案2iil,+25k4'+25k+2+25k*3+25k<4

解析根据数学归纳法，

当n=k时,原式为1+2+2町2」+…+2$i;

zs5k-15k5k5k，25k，35k1

当n=k+l时,原式为1+2+2+2+...+2+2+2*'+2+2'+2''.

故从k到k+1,等式左边需添加的项是2m+2"”+25k'2+2"”+2以”.

15.答案5;|

解析因为｛a,.)是等比数列，a2a4+2@3%+日冏=25,

2

所以送+2a3a5+Q125,即(a3+a5)=25,因为a>0,所以a3+a5=5,

易知a^+as^2y/a3as=2ah当且仅当a3二25吐等号成立，即aW|,故at的最大值为|.

16.答案12288

解析设a%n表示第m行的第n个数，由题中数表可知,每一行均成等差数歹U,且第m行的公差为2"、则

=-==m

naB,1+(nl)•2"'\Hn,13(„-1),i+a(n-i),22a(m-i),i+2",

则舞1-器芈=;，即数歹11｛瑞｝是首项为公差为3的等差数列，

则骡=；+竽，即awF(m+l)2"2,

2m24

所以〃„=(m+1)2'2+(n-l)2i=(m+2n-l)2"r2,

故a.,,7=(11+14-1)X29=24X29=12288.

17.解析设等比数列｛a“｝的公比为q,因为a,=|,所以心三色,

所以q3=；,故a„=（|Y'.（2分）

3\3/

选①,S.=2b„-1,则S„.i=2b„i-l（n>2）,

两式相减并整理得要=2（n》2）,

bn-l

又bi=l,

nH

所以｛bn）是首项为1,公比为2的等比数列，所以bn=2,（5分）

所以皿=（|）"・2一弓（丁.（8分）

由指数函数的性质知,数列｛ah｝单调递增,没有最大值，

所以不存在kGN；使得对任意nGN,,ahWab恒成立.（10分）

选②，由-4b.=*（n>2）,b=l知数列｛b“｝是首项为1,公比为5的等比数列，

所以*«旷,（5分）

所以a„b„=（|）n-（-I）"1=（-4）x（J）”W4X（3nW4X*=|,当且仅当n=l时取得最大值|.（8分）

所以存在k=1,使得对任意nWN；ahWab恒成立.（10分）

选③，由b.=*+2（n22）可知瓜｝是以2为公差的等差数列，

又bi=l,所以bn=2n-l.（5分）

设Cn=ah=（2nT）G）,

则dCn=（2n+D（3-（2n-l）•停）==券修），也分）

所以当nW2时,CnQc“当n23时,cn+i<cn,

则Ci<C2<C3>C4>C5>***,所以存在k=3,使得对任意nGN*,ahWab恒成立.（10分）

18.解析（1）设等差数列｛a..｝的公差为d,（1分）

由题意得俨=4%+竽=4%+6d=16,（3分）

Qi+2d=3（%+d）,

解哦:41沁分）

所以须二-2+4（nT）=4n-6.（6分）

（2）1

由（1）得，a=房；=（4n-6）（4n-2）=4（2n-3）（2n-l）

熹一熹）出分）

所以T2n=bl+bz+b3+…+b2n-l+b2n

n

号(-1-熹)=2(l-4n)>

所以⑹的前2n项和“（12分）

19.解析⑴当n=l时,（Si-1）2=Sf,

当n22时,(Sn・l)2=(Sn-SQSn，

•.S=|,S3/(3分)

猜想S=-^-,nWN*.（6分）

nn+l

（2）用数学归纳法证明：

①当n=l时,SW，T=；,猜想正确；（8分）

2n+l2

②假设n=k（k》l,kCN*）时,猜想正确，即&=；,

k+1

那么当n=k+l时，

可得“言=左=上，

即n=k+l时,猜想也成立.（10分）

由①②可知,对任意的正整数n,S“=」-都成立.（12分）

20.解析（1）设甲、乙两个超市第n年全年的销售额分别为a.万元、b“万元，甲超市前n年的总销售额为S.万元,

贝IJ$,=（庐；+2"万元.（2分）

当n=l时，Si=ai=a;

当n22时,an=Sn-Sn-苗•[n2-n+2-(nT)2+(nT)-2]=(nT)a.(3分)

经检验,a^a不满足上式，

(a,n=1,

改a"-l(n-l)a,n>2,n£N*.

71-1

©a,

所以b=bi+(b-bi)+(b-b)+•,,+(b-b„-i)=a+1a+修)a+***+Q)a=_za=3-2a

B232n[(l)]-

3

显然b,=a也满足上式,所以b„=(3-2(|)nl]a(neN*).(6分)

(2)当n=2时,a2=a,b?=，则a2>|b2;3n=3时，,a3=2a,bs谭a,则a杉bs；当n，4时、an^3a,b(1<3a,故乙超市有可能被

甲超市收购.（8分）

当n，4时,令*>bn,贝g（n—l）a>卜一2（|）卜，

©H-1

所以

即n+4（§”">7,所以n》7,

即第7年开始乙超市的年销售额不足甲超市的年销售额的50%,乙超市将被甲超市收购.（12分）

21.解析（1）设等差数列偌的公差为d.

由已知得白2,所以9=2+（nT）d,

T1Tn

所以工=2+d,2=2+4d,(2分)

T2丁5

1

因为丁2一北三,所以白；一7~~7

62+a2+4a6J

解得d=l,所以」^n+l,即T产二（3分）

Tn汽+1

又Tn=ai-a2....an17,

所以当n=l时,akT】g,

当n》2时，北尸a「a?•…'

所以4啾=看，

当n=l时也符合上式,

所以a“=A(nGN*).(6分)

⑵证明:证法一:由⑴知a产券

所以&=忌一

、

因ra为M_一n+1＞—n,

n+2n+T

所以号=名义岩〉岛）2,（7分）

所以后>£?

所以叱忌一羔刈

所以S）0.（8分）