2020年湖北省襄阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

湖北省襄阳市2020年中考数学真题

一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将

其标号在答题卡上涂黑作答

L-2的绝对值是（）

c11

A.—2B.2C.----D.一

22

2.如图，AB//CD,直线EF分别交AB,CO于点E,F.EG平分NBEF,若NEFG=64。,则NEGZ）的大

小是（）

A.132°B.128°C.122°D.112°

3.下列运算一定正确的是（）

C.,3)4="2

A.a+a=a2B.a2-a3=a6D.(ab)2=ab2

4.下列说法正确的是()

A.“买中奖率为卡的奖券10张，中奖”是必然事件

B.“汽车累积行驶10000km,从未出现故障”是不可能事件

C.襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨

D.若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定

5.如图所示三视图表示的几何体是（）

尤—442（x—1）

6.不等式组,1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）

—（x+3）>x+1

D

Bc-^-oV

A币--

7.如图，R/ABC中,ZABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）

ADB=DEB.AB=AEC.NEDC=/BACD.ADACAC

8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦,

1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）

x+y=100x+y=100

X+y=100x+y=100

A.B.<C.hD.h

y=3xx=3ygX+3y=100-y+3x=100

9.已知四边形ABC。是平行四边形，AC,BD相交于点O,下列结论错误是（）

A.OA^OC,OB=OD

B.当AB=C。时，四边形ABC。是菱形

C.当NABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D.当AC=B£）且AC_L6。时，四边形A8CQ是正方形

10.二次函数y=办2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0；②3a+c=0；®4ac-b2<0；④当x>-l

时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题：本大题共6个小题，把答案填在答题卡的相应位置上

11.函数y=中，自变量x的取值范围是.

12.如图，在z\ABC中，AB=AD=DC,ZBAD=20°,则NC=

BD

13.《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成(线形为一或■■),如正

北方向的卦为三,从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根一和1根■■的概率为.

14.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间r(秒)的函数关系是s=15/-6~汽车从刹车到停下来所用时间是

秒.

15.在。O中，若弦垂直平分半径。4,则弦3c所对的圆周角等于0.

16.如图，矩形ABCD中，E为边A8上一点，将，沿OE折叠，使点A的对应点F恰好落在边8C上，连接

AE交OE于点N,连接8N.若3FAD=15,tanZB7VF=—,则矩形ABCD的面积为.

三、解答题：本大题共9个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每

题对应的答题区域内

17.先化简，再求值：(2x+3y)2—(2x+y)(2x-y)—2y(3x+5y),其中*==@—1.

2

18.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工

程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A,C,E三点在一条直

线上，工程队从AC上的一点B取NA8D=140°,80=560米，N£>=5()°.那么点E与点D间的距离是多少

米？(参考数据：sin50°。0.77,cos50°®0,64.tan50°®1.19)

ABc/))\\E

19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后，现在每天用水量

4

是原来每天用水量的彳，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？

20.3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次

数学趣味知识竞骞(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(本次竞赛没有满分)，经过整理数

据得到以下信息：

信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含前端点值，不

含后端点值).

，%数(人数)

05060708090100成绩（分）

信息二：第三组成绩(单位：分)为747173747976777676737275

根据信息解答下列问题：

(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全)；

(2)第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；

(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人.

m

21.如图，反比例函数X=-(x>0)和一次函数％=丘+人的图象都经过点41,4)和点6(〃,2).

x

(1)"=；

(2)求一次函数的解析式，并直接写出X<%时x的取值范围；

(3)若点P是反比例函数y=—(x>0)图象上一点，过点P作PA/_Lx轴，垂足为M,则POM的面积为

x

22.如图，AB是。o的直径，E,C是。。上两点，且EC=BC，连接4E,AC,过点C作8_LAE交AE的

延长线于点D.

D

瓦

T-----2~V

(1)判定直线CD与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若4?=4,CD=6求图中阴影部分的面积.

23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援.”某水果经销商主

动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买

量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关

(1)直接写出当0WxW50和x>50时，y与x之间的函数关系式；

(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克.如

何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？

(3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分

配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值.

24.在「ABC中，NB4c=90°,AB=AC.点D在边8C上，。6_1,04且。£=D4,4E交边8C于点F,

连接CE.

(1)特例发现：如图1,当AO=A尸时，①求证：BD=CF；②推断：NACE=

(2)探究证明：如图2,当AQHAF时，请探究NACE的度数是否为定值，并说明理由；

EF1

(3)拓展运用：如图3,在(2)的条件下，当一=一时，过点D作AE的垂线，交AE于点P,交AC于点K,

AF3

若CK=^,求OR的长.

25.如图，直线y=-gx+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线+c经过点A,点C,且交x

轴于另一点B.

(1)直接写出点A,点B,点C的坐标及抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形A3CM面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)将线段0A绕x轴上的动点人见0)顺时针旋转90。得到线段O'A',若线段O'A与抛物线只有一个公共点，请

结合函数图象，求m的取值范围.

湖北省襄阳市2020年中考数学真题

一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将

其标号在答题卡上涂黑作答

L-2的绝对值是（）

c11

A.—2B.2C.---D.一

22

【答案】B

【分析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得一个数的绝对值.

【详解】解：-2的绝对值是2,

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数.

2.如图，AB//CD,直线EF分别交AB,CO于点E,F.EG平分'ZBEF,若N£FG=64°,则NEGD的大

小是（）

A.132°B.128°C.122°D.112°

【答案】C

【分析】

利用平行线的性质求解NEE5,利用角平分线求解NBEG,再利用平行线的性质可得答案

【详解】解：AB//CD,

：.Z£FG+ZFEB=180°,

NEFG=64。,

ZFEB=180o-64°=116°,

EG平分ZBEF,

NFEG=NBEG=58°,

AB//CD

NBEG+NEGD=180°,

Z£，G£>=180°-58°=122°.

故选C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键.

3.下列运算一定正确的是()

A.a+a=a2B.a2-a3=a6C.=a'2D.(ab)2=ab~

【答案】C

【分析】

利用合并同类项，同底数事乘法，鬲的乘方与积的乘方运算法则逐一进行判断即可.

【详解】解：A、a+a^2a,故原式错误；

B、a2-a3=a5,故原式错误;

C、(,『=r2,原式正确;

D、(ab)2-a2h2,故原式错误，

故选：C.

【点睛】此题考查了合并同类项，同底数募乘法，骞的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.

4.下列说法正确的是()

A.“买中奖率为，的奖券10张，中奖”是必然事件

B.“汽车累积行驶l(XXX)km,从未出现故障”是不可能事件

C.襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨

D.若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定

【答案】D

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可.

【详解】A.“买中奖率为，奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；

B.“汽车累积行驶10000km,从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；

C.襄阳气象局预报说“明天降水概率为70%”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；

D.若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理

解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定.

5.如图所示的三视图表示的几何体是()

□□

humCWR

O

MlMIU

E年

【答案】A

【分析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱.

故选：A.

【点睛】本题考查了由三视力还原几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体.

x-4<2(x-l)

6.不等式组,1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是()

—(x+3)>x+1

A-B.C.手aD.

【答案】A

份析】

分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为-2?x1,即可选出答案.

x-4<2(X-1)(D

【详解】解：h~,

—(x+3)>x+1(2)

12

解不等式①：去括号，得x—4K2x—2,

移项，得刀-2xW4-2,

合并同类项，得一XW2,

系数化为1,得xN-2；

解不等式②：去分母，得x+3>2（x+l）,

去括号，得x+3>2x+2,

移项,得x—2x>2—3,

合并同类项，得-x>-L

系数化为1,得x<l；

故原不等式组的解集为-2?x1.

故选A.

【点睛】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键.

7.如图，RjABC中，NABC=90。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）

A.DB=DEB.AB=AEC.NEDC=/BACD.NDAC=/C

【答案】D

【分析】

由尺规作图可知AD是NCAB角平分线，DEJ_AC,由此逐一分析即可求解.

【详解】解：由尺规作图可知，AD是NCAB角平分线，DELAC,

在^AEDABD中：

ZED=NABO=90

V<ZEAD=ZBAD,.'△AED丝△ABD（AAS）,

AD=AD

；.DB=DE,AB=AE,选项A、B都正确，

又在RtAEDC中，ZEDC=90°-ZC,

在RtAABC中，ZBAC=90°-ZC,

.\ZEDC=ZBAC,选项C正确，

选项D,题目中缺少条件证明，故选项D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键.

8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦,

1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）

x+y-100x+y=100

x+y=100x+y=100

A.,B.vc.,1D.,1

y=3xx=3y§x+3y=100§y+3x=100

【答案】c

份析】

设小马有X匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100,根

据等量关系列出方程组即可.

【详解】解：设小马有X匹，大马有y匹，由题意可得：

x+y=100

41

-x+3y=100'

故选：c.

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出

方程组.

9.已知四边形A3CD是平行四边形，AC,30相交于点O,下列结论错误的是（）

A.OA=OC,OB=OD

B.当A3=CD时，四边形ABC。是菱形

C.当NABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D.当AC=8□且AC，3。时，四边形A3CD是正方形

【答案】B

【分析】

根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，

:.OA=OC,OB=OD,故A正确，

四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,

不能推出四边形ABCD是菱形，故B错误，

四边形ABCO是平行四边形，ZABC=90°,

四边形ABC。是矩形，故C正确，

四边形ABCO是平行四边形，AC=BD.AC±BD.

四边形ABC。是正方形.故D正确.

故选B.

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键.

10.二次函数y=办2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0；®3a+c=0；®4ac-b2<0；④当x>-l

时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】

根据抛物线的开口向上，得到a>0,由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c<0,于是得到ac<0,故①正确；根据

b

抛物线的对称轴为直线x=-9=l,于是得到2a+b=0,当x=・l时，得到3。+。=0故②正确；把x=2代入函数

2a

解析式得到4a+2b+c<0,故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，

即可得出③正确根据二次函数的性质当x>1时，y随着x的增大而增大，故④错误.

【详解】解：①:•抛物线开口向上与y轴交于负半轴，

.,.a>0,c<0

ac<0

故①正确；

②•••抛物线的对称轴是x=l,

.•."1

2a

b=-2a

・.•当x=・l时，y=0

/.0=a-b+c

1.3a+c=0

故②正确；

③•••抛物线与X轴有两个交点，即一元二次方程0=0?+乐+C有两个不相等的实数解

b2-4ac>0

，4ac-b2<0

故③正确；

④当时，y随x的增大而减小，当x>1时y随x的增大而增大.

故④错误

所以正确的答案有①、②、③共3个

故选：B

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并

逐一分析各结论是解题的关键.

二、填空题：本大题共6个小题，把答案填在答题卡的相应位置上

11.函数y=J仁中，自变量x的取值范围是___.

【答案】%>2

【分析】

根据被开方式是非负数列式求解即可.

【详解】依题意，得x—220,

解得：x>2,

故答案为xN2.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式

是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式

时，被开方数为非负数.④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际

问题有意义.

12.如图，在AABC中，AB=AD=DC,ZBAD=20°,则/C=

【答案】40。

试卷解析：VAB=AD,ZBAD=20°,

\S00-ZBAD1800-20°

AZB--------------------=----------------=80°,

22

；/ADC是AABD的外角，

ZADC=ZB+ZBAD=80°+20°=100°,

VAD=DC,

180°-ZADC180°-100°

NC=--------------------=-----------------=40°.

22

13.《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为一或■・），如正

北方向的卦为三.从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根一和1根■■的概率为

【分析】

利用概率公式即可求解.

【详解】解：观察图形可得，一共有8种情况，恰有2根一和1根■•的的情况有3种，

所以p=(

O

故答案为：I.

O

【点睛】此题考查了等可能事件的概率求解，对于等可能事件发生的概率=所求情况数与总情况数之比.

14.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间r(秒)的函数关系是s=15-6凡汽车从刹车到停下来所用时间是一

秒.

【答案】1.25

【分析】

利用配方法求二次函数最值的方法解答即可.

【详解】Vs=15r-6^=-6("1.25)2+9.375,

二汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.

故答案为：1.25.

【点睛】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.

15.在。O中，若弦垂直平分半径Q4,贝弦8C所对的圆周角等于°.

【答案】120喊60。

【分析】

根据弦垂直平分半径04及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA,OE=!求出/BOE=60。，即

2

可求出答案.

【详解】设弦垂直平分半径。4于点E,连接OB、OC、AB、AC,且在优弧BC上取点F,连接BF、CF,

.\OB=AB,OC=AC,

VOB=OC,

・•・四边形OBAC是菱形，

.•.ZBOC=2ZBOE,

VOB=OA,OE=—,

2

/.cosZBOE=—,

2

・•・ZBOE=60°,

AZBOC=ZBAC=120°,

.\ZBFC=-ZBOC=60°,

2

弦8C所对的圆周角为120°或60°,

故答案为：120°或60°.

【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质

定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键.

16.如图，矩形ABC。中，E为边上一点，将八4）上沿£>£折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接

A尸交。E于点N,连接©7.若3户4。=15,1211/97/=好，则矩形ABCD的面积为.

【答案】15小

【分析】

根据折叠的性质以及矩形的性质推导出NCFD=NB",故BF=EBE,在RtABEE中应用勾股定理，得到

2

AB=、BE=^BF,即可求解.

2

【详解】解：由折叠可得：AN=NF,AFLDE,AE=EF,

/.ZABN=ZBAF

,/ZBNF=/BAF+ZABN=2ZBAF,

且易得ZADF=2ZADE=2ZBAF,

•••ZADF=4BNF=ZCFD,

•••tanNBNF=—=tan乙CFD=—.

2CF

•；ZBFE+ZCFD=90°,ZBFE+ZBEF=90°,

•••4CFD=/BEF,

•••—=tanZBEF=—,即BF=更BE,

BE22

在RtABEF中，BE2+BF2=(AB-BE)2.

解得==

2

BF-AD^15,

•••AB-AD=15y[5,

故答案为：15遍.

【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是不求出线段的具体长度，而是得到

A8和8尸的比例关系直接求解矩形的面积.

三、解答题：本大题共9个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每

题对应的答题区域内

17.先化简，再求值：(2x+3y)2—(2x+y)(2x-y)-2y(3x+5y),其中％=&,丫=当—1.

【答案】化简结果为6孙，求值为60-60.

【分析】

根据完全平方公式、平方差公式、单项式和多项式相乘运算法则求解即可.

【详解】解：原式=4/+12与，+9y2-+9—6孙—io/

=(4x2一)+(y2Toy2+9>2)+(]2孙—6孙)

=6xy.

当x==—1时代入：

原式=6x0x（曰—1）=66-6应.

故答案为：673-672.

【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及多

项式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键

18.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工

程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A,C,E三点在一条直

线上，工程队从AC上的一点B取NABD=14（）°,89=560米，"=50°.那么点E与点D间的距离是多少

米？（参考数据：sin50°。0.77,cos500®0.64.tan50"«1.19）

【答案】点E与点。间的距离是358.4米.

【分析】

由NA8O=140。，根据三角形外角的性质可得ZB£Z）=90°,故,6DE为直角三角形，根据的余弦值即可求

解.

【详解】解：：ZABD=140°,ZD=50°

/.NBED=90°,

DEDE

cosZD=——,即——«0.64,解得358.4（米），

BD560

答：点E与点力间的距离是358.4米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到3DE为直角三角形.

19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后，现在每天用水量

4

是原来每天用水量的一，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？

【答案】现在每天用水量是8吨.

【分析】

4120——

设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为一x吨，原来使用的天数为——天，现在使用的天数为4天，根

5X-X

据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.

【详解】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为14x吨，根据题意得.

5Xx

解得，x=10,

经检验，x=10是原方程根.

44

.•.《*=一、10=8吨，

答：现在每天用水量是8吨.

【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求解后要进

行检验.

20.3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次

数学趣味知识竞骞（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数

据得到以下信息：

信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不

根据信息解答下列问题：

（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；

（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；

（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人.

【答案】（1）补全图形见解析；⑵76；78；（3）720.

【分析】

(1)用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直

方图即可;

(2)根据众数和中位数的定义求解即可；

(3)样本估计总体，样本中不低于80分的占2一0+方4，进而估计1500名学生中不低于80分的人数.

【详解】⑴第二组人数为：50-4-12-20-4=10(人)

补全统计图如下：

05060708090100成绩(分)

(2)第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；

50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：

受77+二79=78(分)，故中位数为78(分)；

2

故答案为：76；78；

..20+4..

3)1500X-----=720人，

50

故答案为：720.

【点睛】考查扇统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的

关键，样本估计总体是统计中常用的方法.

m

21.如图，反比例函数%=—(％>0)和一次函数^=丘+人的图象都经过点4(1,4)和点6(〃,2)

x

(2)求一次函数的解析式，并直接写出y<%时x的取值范围；

(3)若点P是反比例函数y=—(x>0)的图象上一点，过点P作轴，垂足为M,贝IJPOM的面积为

x

【答案】(1)4,2；(2)y=-2x+6,1<x<2；(3)2

【分析】

m

(1)把A(l,4)代入弘=—(x>0)求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；

x

(2)由(1)可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出y时x

的取值范围；

4

(3)设P点横坐标为a,则纵坐标为一，即可知道OM、PM,进而求出面积即可.

a

详解】解：⑴把x=l,y=4代入y=—(x>0)得，

X

解得m=4

4

・•・y=-U>o)

x

4

当y=2时，2=—

n

解得，n=2

(2)把A(l,4),B(2,2)分别代入％=奴+。得

4=k+bk=—2

解得<

2=2k+bb=6

y2=-2x+6

当yi<y2时，从图象看得出：lvx<2

4

(3)设P点横坐标为a,则纵坐标为一,

a

0M

4

.♦.OM=a,PM=一，

a

1141

SAPOM=—OM-PM=—•«•—=—k=2

2lai

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形

求不等式的解集以及如何求三角形的面积.

22.如图，A3是。0直径，E,C是,。上两点，且EC=BC，连接AE,AC,过点C作CD交AE的延

长线于点D.

(1)判定直线8与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若4?=4,CD=6求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)直线DC与。0相切，理由见解析(2)正工兀

23

【分析】

(1)连接0C,如图，由圆周角的的定理推论得到NEAC=NOAC,加上NACO=/OAC,则NACO=NDAC,

于是可判断OC〃AD,则根据平行线的性质得到OCLCD,然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是

©0的切线；

(2)连接0E、BC,作CHJ_AB于H,如图，先利用角平分线的性质得到CH=CD=百，求出AACH的面积，

再根据三角形全等的判定和性质得出4ADC的面积二△ACHD的面积，再利用S阴影二S梯形OCDE-S扇形OCE=S.ACD-S扇形OCE二

S^ACH-S扇形OCE,即可得出答案.

【详解】证明：(1)直线DC与。O相切.

理由如下：连接0C,如图，

■:EC=BC

：.ZEAC=ZOAC

VOA=OC,

Z.ZACO=ZOAC,

AZACO=ZDAC,

・・・OC〃AD,

VCD±AE,

AOC1CD,

・・・DC是。O的切线；

(2)连接OC、OE、CB,&C^CH±ABTH,

D

VCH±AB,CD±AE

.,.ZADC=ZAHC,

VZEAC=ZOAC,AC=AC

AAADC^AAHC

:.CH=CD=6AH=AD,

ZCAH+ZACH=ZBCH+ZACH=90°

.\ZCAH=ZBCH,

XVZCHA=ZBHC,

:.ACAH^ABCH

.CHAH

4-AZ7-VT

；.AH=3或1(舍去1)

BH=1

SAACH=—X3X>/3=3”.

在Rt^CHB中，BH=1,HC=V3

AZBCH=30°=ZCAB

・・・ZCOB=ZEOC=60°

.35/360x2?73G2

.•S阴影=S横形OCDE-Sa®OCE=SAACD-Sg®OCE=SAACH-S用形OCE=---------------------------------71

236023

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线

的判定和性质、扇形的面积公式及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键，求阴影部分面积时要注意转

化思想的应用.

23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援.”某水果经销商主

动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买

量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关

系如图所示.

(1)直接写出当0WxW50和x>50时，y与x之间的函数关系式；

(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克.如

何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？

(3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分

配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值.

30x(04xW50)12

【答案】⑴y=”''；(2)甲进40千克，乙进60千克付款总金额最少；(3)126二千克.

24x+300(x>50)13

份析】

(1)根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式.

(2)甲进x千克，则乙进(100-x)千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40SXS50时，甲水果进货量x

与付款y的关系式为y=30x,结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w

的最小值；第二，当50Vx<60时，甲水果进货量X与付款y的关系式为y=24x+300,同样加上乙水果花费金额，

表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量.

(3)通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货

价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值.

【详解】(1)当0WXW50时，设丫=1«,

将(50,1500)代入得1500=50k,

解得k=30,

所以y=30x;

当x〉50时，设y=kix+b,

将(50,1500).(70,1980)分别代入得

1500=50^+6

1980=70^+&1

%=24

解得：

6=300'

所以y=24x+300;

30x(0<x<50)

综上v=4'-

•124x+300(x>50)

(2)甲进货x千克，则乙进货(100-x)千克

①40Wx£50

w=30x+(100-x)x25

=5x+2500

Vk>0

...当x=40时,w有最小值为2700；

②50<x<60,

w=24x+300+(100-x)x25,

=-x+2800,

Vk<0,

当x=60时w有最小值为2740,

V2700<2740,

当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；

23

(3)由题可设甲为ga,乙为《a；

2

当0WyaW50时，即gaW125

则甲的进货价为30元/千克，

23

-ax(40-30)+-ax(36-25)>1650,

8250

Aa>---->125,

53

与0WaW125矛盾，故舍去，

2

当>50时，即a>125,

则甲的进货价为24元/千克,

23

-ax(40-24)+-ax(36-25)>1650,

,“12

.,.论126—>125,

一13

12

，a的最小值为126号

13

12

答：a的最小值为126—,利润不低于1650元.

13

【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性质和一元

一次不等式，运用数形结合思想进行解题.

24.在,ABC中，N84c=90°,AB=AC.点D在边3C上，OE_LD4且Z)E=ZM,4E交边于点F,

连接CE.

(1)特例发现：如图1,当4)=•时，①求证：BD=CF；②推断：ZACE=

(2)探究证明：如图2,当ADHAE时，请探究NACE的度数是否为定值，并说明理由；

EF1

(3)拓展运用：如图3,在(2)的条件下，当——=一时，过点D作AE的垂线，交AE于点P,交AC于点K,

AF3

若CK=，，求的长.

3

【答案】⑴①证明见解析，②NACE=90°；(2)NACE=9O°为定值，证明见解析；⑶5近.

【分析】

(1)①利用已知条件证明一A3。且_ACF,即可得到结论，②先证明-OEES,AFC,利用相似三角形的性质再证

明-AEDs—CRE,结合相似三角形的性质可得答案；

(2)由(1)中②的解题思路可得结论；

(3)设斡=a,则A/=3a,利用等腰直角三角形的性质分别表示：。P,AP,EP,PF,D£由_OFES_AFC表

示bC,AC,再证明.APKSsAC及利用相似三角形的性质建立