安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高二下学期春季联赛数学试题（含解析）

第1页/共22页安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高二）描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.+b2A充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.A.-2025B.-2024C.2024D.20254.在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数m，n，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则m+n的最大值为()A.57B.58C.60D.615.设函数f(x)=cos3xcos4x的导函数为g(x)，则f,(0)+g,(0)=()A.25B.7C.7D.25第2页/共22页bc7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：的右焦点为F，y轴右侧的两点A，B在椭圆Γ上，且直线AB与圆O：x2+y2=b2相切，若椭圆Γ的焦距为12，△ABF的周长为15，则椭圆Γ的A.B.C.D.8.函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，都有f(x+y)+f(x—y)=2f(x)f(y)，则f(1)的值不可能是()A.-2B.C.1D.29.复数p，q，r在复平面内对应的点分别为P，Q，R，下列说法正确的有()prpqC.若∈R，则P，Q，R三点共线，则p，q，r成等比数列prpq10.在四棱锥PABC中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点，下列说法正确的有()A.PC丄BDB.EF//平面PAD第3页/共22页11.已知a,b,c为△ABC的三条边长，则下列结论正确的有()A.2ab＞2c13.曲线y=lnx在点A(a,lna)，B(b,lnb)处的切线分别与y轴交于点C(0,c)，D(0,d)．若c，lna，d成等差数列，则.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为.15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，D为边BC上一点.16.某品牌儿童玩具一箱80件，每箱玩具在出厂前都需要经过质检，如果质检不合格，则立即更换．质检时，先从一箱玩具中任取8件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有玩具进行检验，设每件玩具质检不合格的概率都为p(0<p<1)，且各件玩具质检是否合格相互独立.件玩具中至少有一件质检不合格的概率；（2）记8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为f(p)，求f(p)的极大值点p0.17.在矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC边上一点M，将△ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥S-AMCD.第4页/共22页（1）若M为BC的中点，二面角S-AM-B的大小为，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若将△ABM沿着AM折起后使得SD⊥AM，求线段MC的长.18.设p为任意给定的大于1的整数，每个正整数n均可以唯一地表示成(akak1...a1a0)p称为n（1）请给出2024的三进制表示；19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，点P1，P2，P3在抛物线Γ上，直线P1P2，PPP安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高二）第5页/共22页描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.+b2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.+b2+b2故选：BA.【答案】B【解析】【分析】根据向量线性运算化简求解即可..故选：BA.-2025B.-2024C.2024D.2025【答案】D【解析】第6页/共22页【分析】利用两角和的余弦公式和三角形内角和定理，计算求得答案；【详解】两式作差得，cosA-sinA=2024cosBcosC-2024sinBsinC=2024cos(B+C)=故选：D4.在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数m，n，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则m+n的最大值为()A.57B.58C.60D.61【答案】C【解析】【分析】由题意可得插入的两个数不可能都是3；可得一个为3，另一个数不小于8，由极差加倍，则另一的最大值.【详解】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是8，11，28”.①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为3，另一个不是3”，则一个为3，另一个数不小于8，又因为极差加倍，则另一个数为53，此时m+n=56；③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，中位数保持不变，则两个数可以为故选：C.5.设函数f(x)=cos3xcos4x的导函数为g(x)，则f,(0)+g,(0)=()A.-25B.-7C.7D.25【答案】A【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f,(x),g,(x)，再求出函数值即可.【详解】函数f(x)=cos3xcos4x，求导得g(x)=f,(x)=-3sin3xcos4x-4cos3xsin4x，第7页/共22页g(x)=-9cos3xcos4x+12sin3xsin4x+12sin3xsin4x-16cos3xcos4x=24sin4xsin3x-25cos3xcos4x，所以f(0)+g(0)=0-25=-25故选：Ac【答案】C【解析】【分析】利用放缩法可得a>，b<，作差可比较c,b的大小.【详解】令f(x)=tanx-x(0<x<),求导得f-1>0，所以f47故选：C.7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：的右焦点为F，y轴右侧的两点A，B在椭圆Γ上，且直线AB与圆O：x2+y2=b2相切，若椭圆Γ的焦距为12，△ABF的周长为15，则椭圆Γ的A.B.C.D.第8页/共22页【答案】D【解析】【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记AB与圆O:x2+y2=b2相切于点Q，A(x1,y1)，B(x2,y2)，)，即可推出AQ+AF=a，从而得到△ABF的周长为2a，即可求出a、c，从而求出离心率.【详解】首先证明椭圆上任意一点P(x,y)到左、右两焦点F1、F2的距离焦半径公式证明：因为F1(-c,0)、F2(c,0)，故椭圆两个焦半径为记AB与圆O:x2+y2=则-b2，又y=b2-第9页/共22页所以AQ+AFBQBF所以离心率故选：D8.函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，则f(1)的值不可能是(A.-2【答案】A【解析】)B.332【分析】采用“赋值法”为突破口，确定f(x)的取值范围，可得答案.【详解】令x=y=0，则2f(0)=2f(0)2，解得f(0)=0或f(0)=1所以f(t)≥-f(0)→f(t)≥-1故BCD皆有可能.故选：A9.复数p，q，r在复平面内对应的点分别为P，Q，R，下列说法正确的有()∈R，则P，Q，R三点共线，则p，q，r成等比数列【答案】CD【解析】 【分析】取p=q=1，r=2i，可判断A；取p=1，q=i，可判断B；两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，可判断C；由已知可得可判断D.第10页/共22页对于C，由“两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故P，Q，R三点共线，故C正确.对于→则ipi，iqi，iri成等比数列，故D正确.故选：CD.10.在四棱锥P-ABC中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点，下列说法正确的有()A.PC丄BDB.EF//平面PAD【答案】BCD【解析】【分析】若PC丄BD，可得BD丄平面PAC，进而可得BD丄AC，可判断可平面PCD，从而可得PA=AD，可判断D.【详解】选项A：PA丄平面ABCD，BD平面ABCD，则PA丄BD，若PC丄B又PA∩AC=A，PA,AC平面ABCD，所以BD丄平面PAC，又AC平面PAC，进一步有BD丄AC，而底面ABCD是矩形，不能保证BD丄AC，故A错误.第11页/共22页因为EF丈平面PAD，AM平面PAD，所以EF//平面PAD，故B正确.选项C：因为E是AB的中点，所以所以EF=，故C正确.由B可得AM∥EF，若EF丄平面PCD，则AM丄平面PCD，又PD平面PCD，所以AM丄PD，又M是PD的中点，所以PA=AD，故D正确.故选：BCD.11.已知a,b,c为△ABC的三条边长，则下列结论正确的有()A.2ab＞2c【答案】AD【解析】【分析】利用作差法判断A选项；特殊值法判断B,C选项；利用不等式性质判断D选项；选项A：2-3ab-3bc-3ca=2≥0，故A正确；abc；故B错误；故选：AD第12页/共22页【答案】3【解析】【分析】先用余弦定理求BC，用e=可求双曲线的离心率.【详解】根据余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA.BCcosB→49=25+BC2-2×5.BC×,所以BC2-2BC-24=0→(BC-6)(B所以故答案为：313.曲线y=lnx在点A(a,lna)，B(b,lnb)处的切线分别与y轴交于点C(0,c)，D(0,d)．若c，lna，d成等差数列，则=.【答案】e2【解析】【分析】分别求出曲线y=lnx在点A(a,lna)，B(b,lnb)处的切线方程，分别代入C,D两点坐标，再由等差中项的性质求解即可.曲线y=lnx在点A(a,lna)处的切线方程为：y-lna=同理得：lnb-d=1.得：.故答案为：e2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题若每次每组对的题数之和为3第13页/共22页的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为.【答案】【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n次由甲组答题的概率为Pn，由全概率公式得到Pn+1与Pn的递推公式，根据递推公式求数列{Pn}的通项公式，令n=7，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为x1，y1，则x1，y1∈{1,2,3,4,5,6}故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率进一步有所以数列{Pn-}是以为首项，以-为公比的等比数列，所以.故答案为：第14页/共22页=-得到数列{Pn}的递推公式是解决该题的关键.15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，D为边BC上一点.π4【答案】（1）证明见解析【解析】而证得结论；设上BAD=上CAD=AD=x，得到α+β=且tanα=，tanβ=结合两角和的正切公式，列出方程，求得x=6，结合△ABC的面积公式，即可求解.【小问1详解】所以a2=abcosC-accos(π-B)=两边同时约去a，可得a=bcosC+ccosB，即证毕.【小问2详解】因为，所以α+β=又因为AD丄BC，所以tanα=，tanβ=x化简得x2-5x-6=0，解得x=6或x=-1（舍去所以AD=6，第15页/共22页16.某品牌儿童玩具一箱80件，每箱玩具在出厂前都需要经过质检，如果质检不合格，则立即更换．质检时，先从一箱玩具中任取8件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有玩具进行检验，设每件玩具质检不合格的概率都为p(0<p<1)，且各件玩具质检是否合格相互独立.件玩具中至少有一件质检不合格的概率；（2）记8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为f(p)，求f(p)的极大值点p0.【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解.（2）利用独立重复实验的概率计算公式写出f(p)的解析式，再利用导数求函数的极大值点.【小问1详解】因为8件玩具质检都合格的概率为所以8件玩具中至少有一件质检不合格的概率为.【小问2详解】8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为Cp2(1-p)6，即f(p)=Cp2(1-p)6=28p2(1-p)6，所以在上单调递增，在上单调递减，第16页/共22页故为f的极大值点，即p0=.17.在矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC边上一点M，将△ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥S-AMCD.（1）若M为BC的中点，二面角S-AM-B的大小为，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若将△ABM沿着AM折起后使得SD⊥AM，求线段MC的长. 【解析】【分析】（1）通过二面角的定义得上BHS=再通过线面角的判断来确定AS与平面ABCD所成角的正弦值为，也可用向量法求解.（2）通过证明三点共线，以及相似三角形得对应边成比例关系，得解MC=BC.BM=取AM中点为H，连结HS，HB，因为上ABM=且AB=BM=1，所以△ABM为等腰直角三角形，同理△ASM也为等腰直角三角形，HS，HB均垂直AM于H，所以AM⊥平面BSH，所以二面角S-AM-B的平面角为上BHS=因为SH=BH=所以三角形SHB为正三角形，第17页/共22页取BH的中点Q，连结SQ，则SQ垂直与BH，得SQ=因为AM⊥平面BSH，所以AM垂直于SQ，又SQ⊥BH，所以SQ垂直于底面ABCD，连结AQ，∠SAQ为AS与平面ABCD.所成角，所以AS与平面ABCD所成角的正弦值为法2∶取AM中点为H，连接SH，BH，因为△AMS和△AMB均为等腰直角三角形，所以SH，BH均垂直于AM，所以AM⊥平面BSH..以H为坐标原点，HB，HM分别为x轴，y轴建系如图∶则点s在坐标平面xOz内，设其坐标为S（a，0，ca>0，c>0）由△AMS为等腰直角三角形且AS=1，得M（00）A（0，-，0设平面ASM的法向量为m-=（x，y，z取平面ABM的法向量为=（0，0，1π因为二面角B-AM-S的大小为，π3第18页/共22页设AS与平面ABCD所成的角θ的正弦值为 所以AS与平面ABCD所成角的正弦值为.法1∶在平面SAM内作SH⊥AM连结BH，DH，则BH⊥AM，又因为SD⊥AM、.AM⊥平面SHD所以AM⊥DH，又因为AM⊥BH.∵AM，BH