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文档简介
PAGE第4讲垂直关系1.若a,b表示两条不同的直线,α表示平面,a⊥α,b∥α,则a与b的关系为()A.a⊥b,且a与b相交 B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥b D.a与b不一定垂直解析:选C.因为b∥α,所以在α中必有一条直线c与b平行,因为a⊥α,所以a⊥c,所以a⊥b.2.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”,反之可以,所以应该是必要不充分条件.3.(2016·南昌调研)已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四个命题中不正确的是()A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊥β,则α∥βC.若m⊥α,m∥n,nβ,则α⊥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n解析:选D.由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确;对于C,因为m⊥α,m∥n,所以n⊥α,又nβ,所以β⊥α,即C正确;对于D,m∥α,α∩β=n,则m∥n,或m与n是异面直线,故D项不正确.4.在如图所示的四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()解析:选A.A中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB;B中,AB与CD成60°角;C中,AB与CD成45°角;D中,AB与CD夹角的正切值为eq\r(2).5.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α∥β,aα,bβ,则a∥bB.若a∥α,b⊥β,且α⊥β,则a∥bC.若a⊥α,a∥b,b∥β,则α⊥βD.若a⊥b,aα,bβ,则α⊥β解析:选C.若α∥β,aα,bβ,则直线a与b可能平行或异面,所以A错误;若a∥α,b⊥β,且α⊥β,则直线a与b可能平行或相交或异面,所以B错误;若a⊥α,a∥b,b∥β,则α⊥β,所以C正确;若a⊥b,aα,bβ,则α与β相交或平行,所以D错误.故选C.6.(2016·九江模拟)如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE解析:选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上的一个动点,则PM的最小值为________.解析:作CH⊥AB于H,连接PH.因为PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,PH为PM的最小值,等于2eq\r(7).答案:2eq\r(7)8.(2016·无锡质检)已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,若把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个.解析:若把α,β换为直线a,b,则命题转化为“a∥b且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若把α,γ换为直线a,b,则命题转化为“a∥β且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;若把β,γ换为直线a,b,则命题转化为“a∥α且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题.答案:29.四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对.解析:因为AD⊥AB,AD⊥PA且PA∩AB=A,可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,共有5对.答案:510.已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;③若α⊥β,α∩β=a,bβ,a⊥b,则b⊥α;④若aα,bα,l⊥a,l⊥b,l⃘α,则l⊥α.其中正确命题的序号是________.解析:若平面α、β、γ两两相交于三条直线,则有交线平行,故①不正确.因为a、b相交,假设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正确.由面面垂直的性质定理知③正确.当a∥b时,l垂直于平面α内两条不相交直线,不能得出l⊥α,④错误.答案:②③11.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且(1)证明:B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA1B1C1解:(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1又AO⊥平面BB1C所以B1C⊥AO故B1C⊥平面ABO由于AB平面ABO,故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形.又BC=1,可得OD=eq\f(\r(3),4).由于AC⊥AB1,所以OA=eq\f(1,2)B1C=eq\f(1,2).由OH·AD=OD·OA,且AD=eq\r(OD2+OA2)=eq\f(\r(7),4),得OH=eq\f(\r(21),14).又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为eq\f(\r(21),7),故三棱柱ABCA1B1C1的高为eq\f(\r(21),7).1.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:①三棱锥AD1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DB⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________.解析:连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C所以三棱锥PAD1C又VPAD1C=VAD1PC,连接A1B,A1C1,因为平面A1C1B∥平面ADA1P平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.由于DB不垂直于BC1,显然③不正确;连接B1D,由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D所以DB1⊥平面AD1C,DB1平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.答案:①②④2.(2015·高考北京卷)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=eq\r(2),O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥VABC的体积.解:(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⃘平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC平面ABC,所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=eq\r(2),所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=eq\r(3).又因为OC⊥平面VAB,所以三棱锥CVAB的体积等于eq\f(1,3)OC·S△VAB=eq\f(\r(3),3).又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,所以三棱锥VABC的体积为eq\f(\r(3),3).3.(2016·青岛质检)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.(1)求证:B1D1∥平面A1BD;(2)求证:MD⊥AC;(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解:(1)证明:由直四棱柱ABCDA1B1C1D1,得BB1∥DD1,BB1=DD1所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD.因为BD平面A1BD,B1D1⃘平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.(2)证明:因为BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC,且BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D1D,因为MD平面BB1D1D,所以MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下:取DC的中点N,D1C1的中点N
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