高考数学一轮复习专题讲座5解析几何在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关文北师大版

PAGE专题讲座五解析几何在高考中的常见题型与求解策略1．(2016·长春质量检测)若F(c，0)是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为eq\f(12a2,7)，则该双曲线的离心率e＝()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(8,5)解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tanθ＝eq\f(b,a)，tan2θ＝eq\f(2ab,a2－b2)，因此△OAB的面积可以表示为eq\f(1,2)·a·atan2θ＝eq\f(a3b,a2－b2)＝eq\f(12a2,7)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，则e＝eq\f(5,4).故选C.2．(2016·山西省考前质量检测)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，与C交于点P，则点P的坐标为()A．(1，2) B．(2，2eq\r(2))C．(3，2eq\r(3)) D．(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，F(1，0)．设E(－1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|＝|FQ|，即y－eq\f(3,2)＝eq\r(（－1－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))，解得y＝4，所以kEF＝eq\f(4－0,－1－1)＝－2，kPQ＝eq\f(1,2)，所以直线PQ的方程为y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋4＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即点P的坐标为(4，4)，故选D.3．已知F1、F2分别为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值为________．解析：易知当P，Q分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．由于F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，不妨设P(0，1)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－2.答案：－24．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(2π,3)，离心率为e，则eq\f(a2＋e2,2b)的最小值为________．解析：由题意，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以b＝eq\r(3)a，所以c＝2a，e＝2，eq\f(a2＋e2,2b)＝eq\f(a2＋4,2\r(3)a)＝eq\f(a,2\r(3))＋eq\f(2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(3),3)(当且仅当a＝2时取等号)，则eq\f(a2＋e2,2b)的最小值为eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)5.(2016·山西省四校联考)已知椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq\r(2)＝0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．解：(1)由题意知：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以a2＝4b2.又圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋eq\r(2)＝0相切，所以b＝1，所以a2＝4，故所求椭圆C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，将y＝kx代入椭圆的方程x2＋eq\f(y2,4)＝1整理得：(k2＋4)x2＝4，故x2＝－x1＝eq\f(2,\r(k2＋4))，①因为A(1，0)，B(0，2)，故由两点式得直线AB的方程为：2x＋y－2＝0，设点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2，则h1＝eq\f(|2x1＋kx1－2|,\r(5))＝eq\f(2（2＋k＋\r(k2＋4)）,\r(5（k2＋4）))，h2＝eq\f(|2x2＋kx2－2|,\r(5))＝eq\f(2（2＋k－\r(k2＋4)）,\r(5（k2＋4）))，|AB|＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，所以四边形AEBF的面积为S＝eq\f(1,2)|AB|(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\f(4（2＋k）,\r(5（k2＋4）))＝eq\f(2（2＋k）,\r(k2＋4))＝2eq\r(\f(4＋k2＋4k,k2＋4))＝2eq\r(1＋\f(4k,k2＋4))＝2eq\r(1＋\f(4,k＋\f(4,k)))≤2eq\r(2)，当k2＝4(k>0)，即k＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积取最大值时，k＝2.6.(2016·河南省八校联考)已知点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．(1)若直线AB的斜率为eq\f(1,2)，求四边形APBQ的面积的最大值；(2)当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x＋t，把其代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＝t2－4(t2－12)>0，解得－4<t<4，由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12.四边形APBQ的面积S＝eq\f(1,2)×6×|x1－x2|＝3eq\r(48－3t2)，所以当t＝0时，Smax＝12eq\r(3).(2)当∠APQ＝∠BPQ，则直线PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3＝k（x－2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，则x1＋2＝eq\f(8（2k－3）k,3＋4k2)，同理直线PB的方程为y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝eq\f(－8k（－2k－3）,3＋4k2)＝eq\f(8k（2k＋3）,3＋4k2)，所以x1＋x2＝eq\f(16k2－12,3＋4k2)，x1－x2＝eq\f(－48k,3＋4k2)，kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(k（x1－2）＋3＋k（x2－2）－3,x1－x2)＝eq\f(k（x1＋x2）－4k,x1－x2)＝eq\f(1,2)，所以直线AB的斜率为定值eq\f(1,2).1．(2016·洛阳统考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝kx＋m))得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.因为x1＋x2＝－eq\f(8mk,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4（m2－3）,3＋4k2)，所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(3（m2－4k2）,3＋4k2).由kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(3,4)得y1y2＝－eq\f(3,4)x1x2，即eq\f(3（m2－4k2）,3＋4k2)＝－eq\f(3,4)·eq\f(4（m2－3）,3＋4k2)，化简得2m2－4k2＝3，满足由弦长公式得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(48（4k2－m2＋3）,（3＋4k2）2))＝eq\r(\f(24（1＋k2）,3＋4k2)).又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·d·|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(\f(24（1＋k2）,3＋4k2))·eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(24m2,3＋4k2))＝eq\r(\f(3×2m2,3＋4k2))＝eq\r(\f(3×（3＋4k2）,3＋4k2))＝eq\r(3).故△AOB的面积为定值eq\r(3).2．(2016·太原模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝eq\f(1,2)，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4eq\r(3).(1)求椭圆的方程；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值此时S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|OP|＝bc，所以bc＝4eq\r(3)，因为e＝eq\f(1,2)，所以b＝2eq\r(3)，a＝4，所以椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，则F1的坐标为(－2，0)，因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以AC⊥BD，①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝6＋8＝14，②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－16k2,3＋4k2),x1x2＝\f(16k2－48,3＋4k2)))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(24（k2＋1）,3＋4k2)，此时直线BD的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋2)，同理，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)（x＋2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))可得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(24（k2＋1）,3k2＋4)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(24（k2＋1）,4k2＋3)＋eq\f(24（k2＋1）,3k2＋4)＝eq\f(168（k2＋1）2,（3k2＋4）（4k2＋3）)，令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，所以|eq\o