2019-2020学年高中数学课时分层作业8反证法与放缩法含解析新人教A版选修

PAGE课时分层作业(八)反证法与放缩法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③C[由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．]2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”时，假设的内容是()A.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b) B.eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)C.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)且eq\r(3,a)＜eq\r(3,b) D.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)D[应假设eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)，即eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b).]3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个C[对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．]4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝eq\f(8,27－27a)，N＝(a＋c)·(a＋b)，则()A．M≥N B．M≤NC．M>N D．M<NA[依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知eq\r(3,1－a1－b1－c)≤eq\f(1,3)[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝eq\f(2,3)，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤eq\f(8,27)，从而有eq\f(8,271－a)≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，取等号．故选A.]5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2C[∵a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.]二、填空题6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________．[答案]a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)7．lg9·lg11与1的大小关系是________．[解析]∵lg9＞0，lg11＞0，∴eq\r(lg9·lg11)＜eq\f(lg9＋lg11,2)＝eq\f(lg99,2)＜eq\f(lg100,2)＝1，∴lg9·lg11＜1.[答案]lg9·lg11＜18．设M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)，则M与1的大小关系为________．[解析]∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)＜eq\f(1,210)＋eq\f(1,210)＋…＋eq\f(1,210)＝1.[答案]M＜1三、解答题9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b[解]2a＋b＝2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，由2a＋2b＋2c＝2a＋b得2a＋b＋2c＝2a＋b∴2c＝eq\f(2a＋b,2a＋b－1)＝1＋eq\f(1,2a＋b－1)≤1＋eq\f(1,4－1)＝eq\f(4,3)，故c≤log2eq\f(4,3)＝2－log23.10．已知n∈N＋，求证：eq\f(nn＋1,2)<eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)<eq\f(n＋12,2).[证明]k<eq\r(kk＋1)<eq\f(k＋k＋1,2)＝eq\f(1,2)(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．若记Sn＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)，则Sn>1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，Sn<eq\f(1,2)(3＋5＋…＋2n＋1)＝eq\f(1,2)(n2＋2n)<eq\f(n＋12,2).[能力提升练]1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D[三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．]2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(eq\r(2)＋1) B．xy≤eq\r(2)＋1C．x＋y≤(eq\r(2)＋1)2 D．xy≥2(eq\r(2)＋1)A[由已知(x＋y)＋1＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∵x，y都是正实数，∴x＞0，y＞0，∴x＋y≥2eq\r(2)＋2＝2(eq\r(2)＋1)．]3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．[解析]∵a＞2，∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，∴eq\r(logaa－1logaa＋1)＜eq\f(logaa－1＋logaa＋1,2)，而eq\f(logaa－1＋logaa＋1,2)＝eq\f(1,2)loga(a2－1)＜eq\f(1,2)logaa2＝1，∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.[答案]＜4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2·an(n∈N＋)，(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝eq\f(n,an)，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜eq\f(7,10).[解](1)∵a1＝2，an＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\s\up16(2)·an(n∈N＋)，∴a2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\s\up16(2)·a1＝16，a3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\s\up16(2)·a2＝72.又∵eq\f(an＋1,n＋12)＝2·eq\f(an,n2)，n∈N＋，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n2)))为等比数列．∴eq\f(an,n2)＝eq\f(a1,12)·2n－1＝2n，∴an＝n2·2n.(2)证明：cn＝eq\f(n,an)＝eq\f(1,n·2n)，∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·22)＋eq\f(1,3·23)＋…＋eq\f(1,n·2n)＜eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,24)＋\f(1,25)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)·eq\f(\f(1,24)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a