第2章 平面力系

平面力系第2章——《理论力学》平面力系平面汇交力系平面力偶系平面任意力系1）物体的受力分析（第一章）2）力系的等效替换（或简化）→合成3）建立各种力系的平衡条件→平衡平面力系：力系中各力的作用线处于同一平面内。静力学主要研究内容：平面平行力系2.1平面汇交力系1、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面汇交力系：各力的作用线同一平面且汇交于一点。力多边形规则力三角形法则2.1平面汇交力系2、平面汇交力系平衡的几何条件平衡条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。求解平面汇交力系平衡问题时可用几何法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后，用尺和量角器在图上量得所要求得未知量。对汇交于一点得三个力来说，常常根据图形几何关系，画出封闭的力三角形，用三角公式计算所要求出得未知量。2.1平面汇交力系例2-1平面结构如图所示，习惯称之为梁的水平杆AB与斜杆CD在点C用铰链连接，并在A、D处用铰链连接在铅垂墙上。AC=CB，角度如图，不计各构件自重，在B处作用一铅垂力F=10kN。求CD杆受力和铰支座A处的约束力。2.1平面汇交力系解：1）受力分析用几何法，画封闭力三角形。按比例量得2.1平面汇交力系3、平面汇交力系合成与平衡的解析法设由n个力组成的平面汇交力系作用在一个刚体上，此汇交力系的合力的解析表达式为：合力在x,y轴上的投影：合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。2.1平面汇交力系3、平面汇交力系合成与平衡的解析法合力的大小为：方向为：

作用点为力的汇交点。平面汇交力系平衡的必要和充分条件：该力系的合力等于零。平衡方程2.1平面汇交力系例2-2如图所示，重物重量P=20kN，用钢丝绳连接如图。不计杆、钢丝绳、和滑轮B的重量，忽略轴承摩擦和滑轮B的大小。角度如图所示。求平衡时杆AB，BC所受的力。解：（1）取研究对象，画受力图2.1平面汇交力系例2-2如图所示，重物重量P=20kN，用钢丝绳连接如图。不计杆、钢丝绳、和滑轮B的重量，忽略轴承摩擦和滑轮B的大小。角度如图所示。求平衡时杆AB，BC所受的力。解：（2）列平衡方程（1）汇交力系:各力的作用线同一平面且汇交与一点。小结2.1平面汇交力系（2）几何法合成:力多边形法则。（3）几何法平衡:力多边形法自行封闭。（4）力在坐标轴上投影:（5）解析法合成:（6）解析法平衡:大小方向2.2平面力对点之矩·平面力偶1、力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离

称为力臂。此平面中，力使物体绕O转动的效果取决于两个要素。力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负.常用单位或。1.大小：力与力臂的乘积2.方向：转动方向2.2平面力对点之矩·平面力偶2、合力矩定理与力矩的解析表达式合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。该结论适用于任何合力存在的力系解析表达式2.2平面力对点之矩·平面力偶直接按定义按合力矩定理例2-3如图所示圆柱直齿轮，受到另一齿轮对其啮合力F的作用，大小为F=1400N，压力角θ=20°，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，求力F对于轴心O的力矩。解:2.2平面力对点之矩·平面力偶思考：三角形分布荷载的合力及其位置如何计算？由合力矩定理得解：取微元如图此结论后续可直接应用2.2平面力对点之矩·平面力偶3、力偶与力偶矩力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作。1）大小：力与力偶臂乘积2）方向：转动方向力偶矩：力偶作用面内，力偶矩是一个代数量，其绝对值大小等于力的大小与力偶臂的乘积，转向以使物体逆时针转动为正，反之为负。在力偶作用面内，力偶使物体转动的效果取决于两个要素：特殊力系2.2平面力对点之矩·平面力偶4、力偶的性质（1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力偶矩与力矩的重要区别2.2平面力对点之矩·平面力偶4、力偶的性质（2）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。====2.2平面力对点之矩·平面力偶4、力偶的性质补充：力偶不能简化为集中力，向任意坐标轴投影的力也为零；因此写力投影方程时无需考虑力偶，力偶也不能和力相等或平衡。2.2平面力对点之矩·平面力偶5、平面力偶系的合成和平衡条件已知：求合力偶任选一段距离d===?=2.2平面力对点之矩·平面力偶5、平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。平面力偶系平衡的充要条件，有如下平衡方程2.2平面力对点之矩·平面力偶解得由力偶只能由力偶平衡的性质，得受力图为例2-4如图所示工件，用多轴钻床在工件上同时钻三个孔，钻头对工件作用有三个力偶，其矩分别为固定螺栓A和B的距离。求两个光滑螺栓所受的水平力。解：由平衡条件2.2平面力对点之矩·平面力偶例2-5不计图中机构自重，圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一矩为的力偶，,图示位置时OA和OB垂直，，系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶，铰链O,B处的约束力。取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.解得解得

取杆

，画受力图.解：（1）力对点之矩：小结2.2平面力对点之矩·平面力偶（2）合力矩定理：（3）力对点之矩的解析式：（4）力偶:（5）力偶矩:（6）力偶等效定理:（7）力偶性质：①矩心无关性；②保持力偶矩不变，可在平面内任意移转；③力偶与力不合成不平衡。（9）平面力偶系平衡:（8）平面力偶系合成:2.3平面任意力系0、平面任意力系力的作用线在同一平面内，并且是任意分布的。（平面一般力系）简化？平衡？2.3平面任意力系1、力的平移定理可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B,但必须同时附加一个力偶，该力偶的矩就等于力对新作用点B的矩。==2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面内任意一点的简化主矢和主矩==平面任意力系=平面汇交力系+平面力偶系主矢主矩把一个复杂的问题等效分割成几个简单问题的组合2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面内任意一点的简化主矢和主矩主矢计算的解析表达式：其中主矢大小：方向余弦：主矩计算的解析表达式：主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面内任意一点的简化主矢和主矩平面固定端约束2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面内任意一点的简化主矢和主矩平面固定端约束===≠2.3平面任意力系3、平面任意力系的简化结果分析合力矩定理合力+合力偶合力偶大小与简化中心有关1）合力作用线过简化中心2）合力偶与简化中心的位置无关3）4）平衡与简化中心的位置无关2.3平面任意力系例2-6重力坝受力如图所示，P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系向点O简化的结果，合力与基线OA交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。解：主矢：2.3平面任意力系例2-6重力坝受力如图所示，P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系向点O简化的结果，合力与基线OA交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。解：主矩：求合力及其作用线位置：或：2.3平面任意力系例2-6重力坝受力如图所示，P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系向点O简化的结果，合力与基线OA交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。解：合力作用线方程：（1）力的平移定理：从A平移到B,附加力偶为对B的矩。小结2.3平面任意力系（2）主矢：（3）主矩:（4）平面任意力系向面内一点简化:一个主矢+一个主矩。（5）平面固定端约束:约束反力三个分量，两个力分量和一个力偶。（6）平面任意力系简化结果:由四种结果分析，最简化结果三种。

①单个力；②单个力偶；③平衡与简化中心无关与简化中心有关2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零因为所以，有平面任意力系的平衡方程其中平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。一般式2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程例2-7起重机重P1=10kN，可绕铅垂轴AB转动，起重机的挂钩上挂一重为P2=40kN的重物。起重机的中心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和径向轴承B处的约束力。解：取起重机，画受力图.2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程例2-8如图所示均质水平横梁AB,A端为固定铰链支座，B端为滚动支座。梁长为4a,梁重为P。在梁的AC上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受矩为M=Pa的力偶作用，求支座A和B处的约束力。取梁，画受力图。解：2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程例2-9自重为P=100kN的T字形钢架ABD，置于铅垂面内，尺寸l=1m，载荷如图所示，。求固定端A处的约束力。其中解：取

型刚架，画受力图。2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡方程另两种形式二矩式两个取矩点连线，不得与投影轴垂直三矩式三个取矩点，不得共线2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面平行力系的平衡方程力矩形式A、B连线不与力的作用线平行。一个独立方程2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程练习如图所示起重机自重P1=700kN，满载时吊重物P2=200kN，起重机轮间距AB=4m，其他尺寸如图。求（1）为保证起重机满载和空载均不翻倒，平衡所需配重P3应在哪个范围内；（2）若配重P3=180kN，轨道AB给轮子的约束力是多少？解：取起重机，画受力图。满载时，为不安全状况2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程练习如图所示起重机自重P1=700kN，满载时吊重物P2=200kN，起重机轮间距AB=4m，其他尺寸如图。求（1）为保证起重机满载和空载均不翻倒，平衡所需配重P3应在哪个范围内；（2）若配重P3=180kN，轨道AB给轮子的约束力是多少？解：空载时，为不安全状况

时2.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程小结（1）平衡条件：力系的主矢等于0，且对任意点主矩也为0。（2）平衡方程：二矩式:（3）平面平行力系平衡方程:三矩式:2.5物体系的平衡·静定和超静定问题未知量数目<=独立方程数目时，静定问题（可由平衡方程求解全部未知量）力系类型平衡方程独立方程数目平面汇交力系2平面力偶系1平面平行力系2平面任意力系3未知量数目>独立方程数目时，超静定问题（由平衡方程不能求解全部未知量）物体系的平衡：工程重大部分构架都是由几个物体组成的系统，当系统平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，每一个物体均可以写出其对应个数的平衡方程。若物体系中的每个物体受力均为平面任意力系，系统包含n个物体，则该系统具有3n个独立的平衡方程。2.5物体系的平衡·静定和超静定问题2.5物体系的平衡·静定和超静定问题例2-10如图所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑轮半径R，动滑轮半径r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的约束力与杆BD所受的力。2.5物体系的平衡·静定和超静定问题例2-10如图所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑轮半径R，动滑轮半径r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的约束力与杆BD所受的力。思考：（1）欲求未知量可以选择的研究对象。（2）整体分析几个未知量。（3）不同的研究对象分别有几个未知量。（4）不同的研究对象未知量之间的联系。（5）确定求解顺序。2.5物体系的平衡·静定和超静定问题例2-10如图所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑轮半径R，动滑轮半径r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的约束力与杆BD所受的力。思考：（1）欲求未知量可以选择的研究对象。（2）整体分析几个未知量。（3）不同的研究对象分别有几个未知量。（4）不同的研究对象未知量之间的联系。（5）确定求解顺序。2.5物体系的平衡·静定和超静定问题例2-10如图所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑轮半径R，动滑轮半径r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的约束力与杆BD所受的力。解：取整体,画受力图.2.5物体系的平衡·静定和超静定问题例2-10如图所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑轮半径R，动滑轮半径r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的约束力与杆BD所受的力。解：取DCE杆,画受力图。(拉)2.5物体系的平衡·静定和超静定问题练习构架由不计自重的杆AB，AC和DF铰接而成，如图所示，杆DF上的销子E套在杆AC的光滑槽内。在水平杆DF的一端作用一铅垂力F，求杆AB上铰链A,D和B所受的力。思考：（1）欲求未知量可以选择的研究对象。（2）整体分析几个未知量。（3）不同的研究对象分别有几个未知量。（4）不同的研究对象未知量之间的联系。（5）确定求解顺序。2.5物体系的平衡·静定和超静定问题练习构架由不计自重的杆AB，AC和DF铰接而成，如图所示，杆DF上的销子E套在杆AC的光滑槽内。在水平杆DF的一端作用一铅垂力F，求杆AB上铰链A,D和B所受的力。思考：（1）欲求未知量可以选择的研究对象。（2）整体分析几个未知量。（3）不同的研究对象分别有几个未知量。（4）不同的研究对象未知量之间的联系。（5）确定求解顺序。2.5物体系的平衡·静定和超静定问题DEF整体ABCADB未知量个数3456√未知量个数0444未知量个数相同，最好选横平竖直的√0332选择任意一个均可√001100002.5物体系的平衡·静定和超静定问题练习构架由不计自重的杆AB，AC和DF铰接而成，如图所示，杆DF上的销子E套在杆AC的光滑槽内。在水平杆DF的一端作用一铅垂力F，求杆AB上铰链A,D和B所受的力。解：选DEF，画受力图选ADB，画受力图2.5物体系的平衡·静定和超静定问题练习构架由不计自重的杆AB，AC和DF铰接而成，如图所示，杆DF上的销子E套在杆AC的光滑槽内。在水平杆DF的一端作用一铅垂力F，求杆AB上铰链A,D和B所受的力。选整体，画受力图再选ADB，列平衡方程2.6平面简单桁架的内力计算桁架：一种由杆件彼