《余弦定理、正弦定理的应用》教学设计、导学案、同步练习

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教学设计

第3课时余弦定理、正弦定理的应用

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向

量及其应用》，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、

底部不能到达的建筑物的高、角度问题。

正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定

理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。把应

用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数

学问题。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；1.数学抽象：常用的测量相关术语；

B.了解常用的测量相关术语；2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；

C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距离、

解决有关距离、高度、角度的实际问题。角；

4.数学模型：在适当的三角形中解高度、距离、角度。

【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际

问题的解；

【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。

教学过程教学设计意图

一、复习回顾，温故知新

1.正弦定理：-^—=-^—=-^=2R通过复习前面所学知

sinAsin3sinC

识，引入本节新课。建

立知识间的联系，提高

2.正弦定理的变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC

sinA=-^,sinB=-^-,sinC学生概括、类比推理的

2R2R2R

能力。

sinA:sinB:sinC=<2:/?:c

3.余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a1+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

变形：

.b2+c2-a2

cosA=--------------

2bc

_c2+CL1-b2

cosn=--------------

lea

a+b2-c1

cosC=--------------

lab

4.三角形中的结论：

A+B+C=TI\sin(A+B)=sinC,cos(A+jB)=-cosC

,A+BCA+B.C

sin-------=cos-,cos--------=sin—

2222

5.情境引入：(1)现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的

高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？

(2)在实际的航海生活中，人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上

如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？

二、探索新知

通过例题让学生进一步

类型一距离问题

理解用正弦定理、余弦

例1如图，A,B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A,B

定理求距离，提高学生

.............

A，的解决问题、分析问题

的能力。

两点间的距离的方法.并求出A,B间的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得

缁a,并且在G2两点分别测得一"Z

A,.........

BCA=a,ZACD=&，ZCDB=y,Z—i*-'

!/■"

BDA=8,:•'

一、，7^

在AADC和ABDC中，应用正弦定小，「一理得

<lln(y+a)<rsin(/1

nMnLlSO'-^-by-lff)]Mn(//l>Iff)'

,心iiiY<.•sin7

sin180"(a1fl-|sin(rr4/),

于是，在AABC中，应用余弦定理可得A,B两

点间的距离

A8一疯'阡BC匚2AL，B('m<a

/a：*in“y+d)a'itfy2a'而。+&)而Occwa

V»in:<^+y+3)sin'S+f+y)*in(，+y+8”in(a+P+y)'

思考：在上述测量方案下，还有其他计算A,B两点间距离的方法吗？

【分析】先求AD,BD的长度，进而在三角形ABD中，求A,B间的距离。

可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的

方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两

个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.

通过思考，进一步理解

L基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。

用正弦定理、余弦定理

如例1中的CD,为使测量具有较高精准度，应根据实际需要选取合适的

求距离问题的一题多

基线长度，基线越长，精确到越高。如：

解，提高学生分析问题、

.\概括能力。

/****<-

*2_____________■

ft

类型二底部不可到达的建筑物的高度

例2如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，

设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

A

m

【分析】如图，求AB长的关键是先求AE,在4ACE中，如能求出C点

到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出

AE的长.

通过例题让学生进一步

【解析】选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上.由在

理解用正弦定理、余弦

H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是a,B,CD=a，测角仪器的高是h,

定理求高度，提高学生

那么，在4ACD中，根据正弦定理可得

的解决问题、分析问题

AC—sin2.的能力。

sinS—'V

所以，这座建筑物的高度为

AB=AE+A

=ACsina+/i

asinasinB

«in（4r—jJ）+"•

类型三角度问题

例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处

有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知

位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7nmile的C处的乙船，那么乙船

前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是

北偏东多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n

mile）?

北

20nmile

通过例题让学生进一步

解：根据题意，画出示意图，如图。

理解用正弦定理、余弦

由余弦定理，得=AB2+AC2—2AB-ACCOS120°定理求角度，提高学生

=202+72-2X20X7X(-1)=589的用数学知识解决实际

问题的能力、分析问题

于是BCb24(nmile)

的能力。

9nV3

由.sinCsin120°工日.„25V3

由正弦定理，得-----=--------,于是sinC=----------=------

20242412

由于0°<C<90°,所以0^46°

因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°

大约需要航行24nmile.

三、达标检测

1.如图所示，已知两座灯塔/和方与海洋观察站。的距离相等，灯塔/通过练习巩固本节所学

在观察站C的北偏东40°,灯塔6在观察站。的南偏东60°,则灯塔/知识，通过学生解决问

在灯塔8的（）题的能力，感悟其中蕴

含的数学思想，增强学

生的应用意识。

7B

A.北偏东5°B.北偏西10°

C.南偏东5°D.南偏西10°

【答案】B

【解析】由题意可知/42?=180°-40°-60°=80°.'：AC=BC,：.Z

。6=/加=50°,从而可知灯塔/在灯塔6的北偏西10°.

2.如图，D,C,8三点在地面同一直线上，2c=100米，从G，两点测

得力点仰角分别是60°,30°,则/点离地面的高度46等于（）

A.5附米B.100第米

C.50米D.100米

【答案】A

【解析】因为/为。一/小60°-30°=30°,

所以△4%为等腰三角形，

所以/C=2C=100米，

在中，AB=ACsi'a60°=50斓米.

3.一艘船上午9：30在/处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且

与它相距8斓海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达

6处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75。的方向，此船的航速是（）

A.8（加+镜）海里/时

B.8（4一嫡）海里/时

C.16（m+镜）海里/时

D.16（4一镜）海里/时

【答案】D

【解析】由题意得在△必6中，N皿S=30°,/泌=180°-75°=

105°,N6弘=45°.

,丁4、虫,口SAAB

由正弦定理得一一o=——左二，

sin1in05sm45

即得AB=8（乖一小）,

si.n呼105=si.n#45vv

因此此船的航速为空坪诋=16（小一也）（海里/小时）.

2

4.在高出海平面200m的小岛顶上/处，测得位于正西和正东方向的两

船的俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为m.

【答案】200（73+1）

【解析】过点A作加于点H,

由图易知/54Q45°,ZCAH=60°,47=200m,

贝l|BH=AH=2QQm,CH=AH-tan60°=200^3m.

故两船距离8C=加帕200(/+l)m.

5.海上某货轮在4处看灯塔6在货轮北偏东75°,距离为12小海里；

在/处看灯塔G在货轮的北偏西30°,距离为外向海里；货轮向正北

由4处航行到。处时看灯塔8在北偏东120°,求：

(1)/处与，处之间的距离；

⑵灯塔C与，处之间的距离.

【解析】由题意，画出示意图.

⑴在△/M中，由己知//应=60°,6=45°,26=124.

AB

由正弦定理得/〃=.劭。•sin45°=24(海里).

sin60

(2)在△/加中，由余弦定理得切=/〃+//—249•/Cbos30°=242+

(873)2-2X24X8小乂坐=(8^3)2,

...缪=八舟(海里).

即/处与，处之间的距离为24海里，C,〃之间的距离为海里.

四、小结通过总结，让学生进一

1、解决应用题的思想方法是什么？步巩固本节所学内容，

把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。提高概括能力,提高学

2.求解三角形应用题的一般步骤：生的数学运算能力和逻

(1)、审题(分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；辑推理能力。

(2).建模(将实际问题转化为解斜三角形的数学问题)

(3)求模(正确运用正、余弦定理求解)

(4)还原。

五、作业

习题6.48,9题

【教学反思】

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课,可

以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要

作用。并根据本节课的教学内容以及学生的认知水平,确定了本节课的教学目标，学生已经

学习了正弦定理和余弦定理,能够运用解决一些三角形问题,具有了一定的基础。但学生在运

用正弦定理和余弦定理解三角形时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能

力有待提高。我认为本堂课学生难点在于:实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后解三角

形,得到实际问题的解，并且能根据题意建立数学模型,画出示意图。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》导学案

第3课时余弦定理、正弦定理的应用

【学习目标】

1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；

2.了解常用的测量相关术语；

3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。

【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际

问题的解；

【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【知识梳理】

1.基线的概念与选择原则

(1)定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的叫做基线.

(2)性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的,使测量具有较高的精确度.一般

来说，基线越长，测量的精确度越高.

2.测量中的有关角的概念

（1）仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方

时叫,目标视线在水平视线下方时叫.（如图所示）

（2）方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边，顺

时针方向向西旋转60°.（如图所示）

【学习过程】

一、探索新知

类型一距离问题

例1如图，A,B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间的距离

的方法.并求出A,B间的距离。

..........

思考：在上述测量方案下，还有其他计算A,B两点间距离的方法吗？

可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过

程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择

最佳的计算方式.

L基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做0如例1中

的CD,为使测量具有较高精准度，应根据实际需要选取合适的基线长度，基线,

精确到越高。如：

类型二底部不可到达的建筑物的高度

例2如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量

建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

类型三角度问题

例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇

险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相

距7nmile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标

的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n

mile）?

【达标检测】

1.如图所示，已知两座灯塔4和6与海洋观察站C的距离相等，灯塔/在观察站C的

北偏东40°,灯塔8在观察站C的南偏东60°,则灯塔4在灯塔6的（）

A.北偏东5°

C.南偏东5°D.南偏西10°

2.如图，D,C,6三点在地面同一直线上,2c=100米，从C,2两点测得/点仰角分

别是60°,30°,则/点离地面的高度45等于（）

A.5咪米B.10附米

C.50米D.100米

3.一艘船上午9：30在4处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距队也

海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达8处，此时又测得灯塔S在它的

北偏东75°的方向，此船的航速是（）

A.8（m+4）海里/时

B.8（加—/）海里/时

C.16（4+镜）海里/时

D.16（加一镜）海里/时

4.在高出海平面200m的小岛顶上/处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别

是45°与30°,此时两船间的距离为m.

5.海上某货轮在4处看灯塔6在货轮北偏东75°,距离为124海里;在4处看灯塔C,

在货轮的北偏西30。，距离为队门海里；货轮向正北由4处航行到，处时看灯塔8在北偏

东120°,求：

（1）4处与〃处之间的距离；

⑵灯塔。与。处之间的距离.

参考答案：

例1.解：测量者可以在河岸边选定两点GD,测得。a,并且在G〃两点分别测得

ZBCA=a,ZACD=&,ACDB^y,ZBDA=8,

:入：

•'«7

在AADC和ABDC中，应用正弦定理得

_八w)irsin(/I8)

M"sintiaO'-^-brM-fl))sin(/?lyIfl)'

...•/sinYasn\Y

’sinIs。(«i■/?-y)|nin(a阳y>,

于是，在AABC中，应用余弦定理可得A,B两

点间的距离

Ali一代、阡心"二2八1'\心'<、娘。

_/a：xin“y+占)n:sitfy2<t：甫n(y+5)xinyccwa

y»irr(^+X+i)sin"a+a+y)3in(^+/+^)sin(a+^+y)'

思考：先求AD,BD的长度，进而在三角形ABD中，求A,B间的距离。

例2.选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器

测得A的仰角分别是a,B,CD=a,测角仪器的高是h,那么，在4ACD中，根据正弦定理可

得

八八asinB

AC^-r-z-

suAa-fl)

所以•这座建筑物的高度为

AB=AE+A

=ACsina+A

asinasinR,

4n(a—㈤+h*

例3.根据题意，画出示意图，如图。

20nmile

由余弦定理，得3c2=AB2+AC2—2AB-ACCOS120°

=202+72-2X20X7X(-1)=589

于是BCq24(nmile)

P口»士工m

141ZBsinCsin120.2573

由正弦定理，得-----=--------，于是sinC=--------------------

20242412

由于0°<C<90°,所以CB46°

因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°

大约需要航行24nmile.

达标检测

1.【答案】B

【解析】由题意可知N4%=180°-40°-60°=80°.,：AC=BC,：.Z.CAB=ACBA

50°,从而可知灯塔力在灯塔6的北偏西10°.

2.【答案】A

【解析】因为/的「=///—/〃=60°-30°=30°,

所以△力%为等腰三角形，

所以4C=〃C=100米，

在Rt△被7中，AB^ACsin60°=50m米.

3.【答案】D

【解析】由题意得在△义方中，N掰S=30°,ZSS4=180°-75°=105°,ZBSA

45

CJAB

由正弦定理彳%

sin45

即品！10歹=市%得AB=8(#—p,

8(A/6—J2)

因此此船的航速为1=16（小—豆）（海里/小时）.

2

4.【答案】200(^3+1)

【解析】过点A作AHLBC于点、H,

A

由图易知/掰〃=45°,/俏〃=60°,47=200m,

贝l|BH=AH=2QQm,CH=AH-tan60°=200mm.

故两船距离比'=9+)=200(45+1)m.

5.【解析】由题意，画出示意图.

（1）在△9中，由已知/4%=60°,6=45°,48=12#.

AB

由正弦定理得力。=.皈。•sin45°=24（海里）.

sin60

⑵在中，由余弦定理得af^Alf+A^-2AD-ACcos30°=242+（8-\/3）2-

2X24X8（><2=（8小）:

.•.切=84（海里）.

即/处与，处之间的距离为24海里，C,2之间的距离为8镉海里.

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习

第3课时余弦定理、正弦定理的应用举例

一、选择题

1.某人向正东走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走3km,结果离出发点恰好

小km,那么x的值是（）

A.有B.273C.3D.或百

2.蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离卫士。的军事基地C和。，测得红军的两支

2

精锐部队分别在A处和8处，且NAZ）B=3O°,ZBDC=30°,ZDCA=6Q°,

ZACB=45°,如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）

B

.旦aB.亚

42

3.如图，为了测量某障碍物两侧A,B间的距离（此障碍物阻挡了A,B之间的视线）,

给定下列四组数据，测量时应当用数据

D.辂勰颔

4.如图所示，长为4m的木棒A5斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处2m的

地面上，另一端3在离堤足。处3nl的石堤上，石堤的倾斜角为a,则坡度值tana等于

5.（多选题）某人向正东走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走3km,结果离出

发点恰好看km,那么x的值是（）

A.也B.2上C.3D.6

6.（多选题）一艘轮船从A出发，沿南偏东70。的方向航行40海里后到达海岛B,然后

从B出发，沿北偏东35。的方向航行了40立海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到

C,此船航行的方向和路程（海里）分别为（）

A.北偏东80°B.北偏东65°C.20(#+也)D.20(b+2)

二、填空题

7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°,

塔底B的俯角为15°,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高

为米.

8.在0点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后,

其位置在Q点，且NPOQ=90°,再过一分钟，该物体位于R点，且NQOA=30。，则

tanZOPQ的值是.

9.如图，海中有一小岛B,周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A地出发由西向东航行，

望见小岛B在北偏东75°,航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改

变航行的方向继续前进，则此舰触礁的危险.(填''有"或“没有”)

10.甲船在岛B的正南A处，AB="10"km,甲船以每小时4km的速度向正北航行，同

时，乙船自B出发以每小时6km的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近

时，它们所航行的时间是h,最近距离是km.

三、解答题

11.如图，在平面直角坐标系龙中，已知点/(—3,1),直线阳的倾斜角为45°,且

如=用

(1)求点B的坐标及线段AB的长度；

2)在平面直角坐标系xoy中，取1厘米为单位长度.现有一质点户以1厘米/秒的速度

从点8出发，沿倾斜角为60°的射线8c运动，另一质点0同时以镜厘米/秒的速度从点/

出发作直线运动，如果要使得质点。与户会合于点G那么需要经过多少时间？

12.如图，在海岛力上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站户(观察站高度忽

略不计），上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的6处，到n时10

分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处.

（1）求船的航行速度是每小时多少千米？

⑵又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的，处，问此时船距岛/有多远?

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习答案解析

第3课时余弦定理、正弦定理的应用举例

一、选择题

1.某人向正东走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走3km,结果离出发点恰好

73km,那么x的值是（）

A.也B.273C.3D.或百

【答案】D

【解析】

由题作出不意图，如图所不，易知5=30°,AC==3,由正弦定理得

..BCsinB3sin3O。百

sinA--------=----尸—=—，

AC62

C

因为所以又因为5=30°，所以A有两解，即A=60°或A=120°.

当A=60。时，NACB=90°,x=2百；

当A=120°时，ZACB=30°,x=y/3.

本题选择〃选项.

2.蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离。的军事基地。和£>,测得红军的两支

2

精锐部队分别在A处和8处，且NADS=30°,ZBDC=30°,ZDC4=60°,

ZACB=45°,如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（

V63

---CLC.-CLD2

282

【答案】A

【解析】因为NAO3=30°,ZBDC=30°,所以44。。=/4。£>=60°,所以4ADC

是等边三角形，所以AC=CD=、3a.

2

A/31

DC，所以5C=2渔q.

在ABDC中，根据正弦定理得，——

sinZBDCsinZDBC丁4

在4ABC中，根据余弦定理得,

AB-=⑶+如一2."acos45°--a1,

I2JI4J248

所以=

4

3.如图，为了测量某障碍物两侧A,B间的距离（此障碍物阻挡了A,B之间的视线）,

给定下列四组数据，测量时应当用数据

C.碑剧,爵D.喇飙离

【答案】C

【解析】

由余弦定理,短户=渥书景1-巍澈以藤野知，需要测量数据蒯色趴故选C.

4.如图所示，长为4m的木棒A3斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处2m的

地面上，另一端3在离堤足C处3m的石堤上，石堤的倾斜角为a,则坡度值tana等于

()

12315n~T11

A.-——B.—C.VI5D.—

5165

【答案】C

【解析】由题意可得，在AABC中，AB=4m,AC=2m,BC=3m,且a+/ACB=m.

由余弦定理可得，AB2^AC2+BC2-2xACxBCxcosZACB,即

cosa=—,所以sina=边5,所以

42=22+32-2x2x3xcos(7i-«),解得

44

sina

tana=-----=屈.

cosa

5.（多选题）某人向正东走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走3km,结果离出

发点恰好看km,那么x的值是（）

A.也B.2^3C.3D.6

【答案】AB

【解析】由题作出示意图，如图所示，易知8=30"，工C=4，BC=3,由正弦定理得

BCsinB3sM300_出

sinA==

AC~1TT

A>B

C

因为BC＞工C，所以工＞3，又因为3=30•，所以/有两解，即工=600或4=120,.

当4=600时，/jiCB=90°,x=2y/3；

当月=1200时，^ACB=30",x=y/3.

本题选择AB选项.

6.（多选题）一艘轮船从A出发，沿南偏东70。的方向航行40海里后到达海岛B,然后

从B出发，沿北偏东35。的方向航行了40立海里到达海岛Q如果下次航行直接从A出发到

C,此船航行的方向和路程（海里）分别为（）

A.北偏东80。B.北偏东65。C.20（#+也）D.20（布+2）

【答案】BC

【解析】依题意可得在LABC中N8=70°+35°=105°,\AB\=40,|5C|=4072.

0

cosB—cos105°=cos（45°+60°）=cos45cos60°—sin45°sin60°

_V2vl短y书—贬-X

-V2~~TT~~

由余弦定理可得

Mcf=\ABf+\Bcf-2M同忸C|cos3

=1600+3200-2x40x4072

4

=800（4+24j=[200|'V3+1）]2

二,3=20点[的+lj=20[•+VT|.

sinB=sin105,=sin（45°+60"）=sin45°cos60°+cos45,sin60"

_721显出_0+依

-------X-+-------X-------=------------------,

22224

由正弦定理可得变1=四■=＞SmA=忸"in8=64=也，

sin工sm5"«C|-20硬+后~?

由题意可知在2UBC中/工为锐角，所以/j=4夕.

所以如果下次航行直接从A出发到C,此船航行的方向为北偏东

90'-[45,-（90o-70oi]=65G,路程为20（R+点）海里.故BC正确.

二、填空题

7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°,

塔底B的俯角为15°,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高

为米.

【答案】120+40指

【解析】

如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,

C

--------'D

因为NCAE=30°,NBAE=15°,AD=BE=60,

fBE60_

贝ijAE===bl20+60、,3，

在RtAAEC中，

CE=AE•tan30°=（120+60、口）X?60+4（\天，

BC=CE+BE=60+40v,l+60=（120+40vg）米，

所以塔高为（120+40W）米.

8.在0点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后,

其位置在Q点，且NPOQ=90。，再过一分钟，该物体位于R点，且NQOA=30。，则

tanNOPQ的值是.

【答案】旦

2

【解析】由于物体均速直线运动，根据题意，PQ=QR,不妨设其长度为1.

在RtNPOQ中，OQ=sinAOPQ,OP=cosAOPQ.

OP

在AO依中，由正弦定理得-------,在AORQ中,

sinl20°sinZORP

1_OQ

s，〃30°sinZORQ

两式两边同时相除，得也=心.

OP2

又在WAOPQ中，tanZOPQ=^,所以ta〃NOPQ=^.

9.如图，海中有一小岛B,周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A地出发由西向东航行，

望见小岛B在北偏东75°,航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改

变航行的方向继续前进，则此舰触礁的危险.(填“有”或“没有”)

【答案】没有

【解析】

过点B作BD_LAE交AE于D,由已知，AC=8,ZABD=75°,ZCBD=60°,

在RtAACD中，AD=BD•tanZABD=z，BD•tan”75°,

在Rt△，露麒翘中，CD=BD•tanZCBD=BD•tan60°,

所以AD—CD=BD(tan75°-tan60°)=AC=8,

陶叫

所以孰='=碱所以该军舰没有触礁的

他醐K卷尸一他则蒯尸