专题07 双曲线解析版

Page2Page1专题07双曲线知识总结：1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.题型归纳【题型1双曲线的定义】【题型2利用双曲线的定义求标准方程】【题型3利用双曲线定义求点到焦点距离】【题型4判断方程是否表示双曲线】【题型5根据方程表示双曲线求参数】【题型6求双曲线方程】【题型7等轴双曲线】【题型8直线与双曲线的位置关系】【题型9求弦长】【题型10双曲线与渐近线的关系】【题型1双曲线的定义】一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.【典例1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【答案】B【详解】如图：设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，则若在线段（不包含两端点）上，有；若在直线外，有；若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），则有.故选：B【题型2利用双曲线的定义求标准方程】【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为．【答案】或【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，可得，即，解得，又由直线过双曲线的一个焦点，当时，可得；当时，可得；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，则，此时双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，则，此时双曲线的方程为，所以双曲线的方程为或.故答案为：或【题型3利用双曲线定义求点到焦点距离】【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】由双曲线标准方程得：，由双曲线定义得:即，解得（舍去）或，故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支【答案】D【详解】设，，则.则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.故选：D.【题型4判断方程是否表示双曲线】【典例1】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（

）A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线【答案】BCD【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．故选．【题型5根据方程表示双曲线求参数】【典例1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为曲线是双曲线，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选：.【题型6求双曲线方程】【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，又因为双曲线过点，可得，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B.【题型7等轴双曲线】（，）当时称双曲线为等轴双曲线①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；④等轴双曲线的方程，；【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为【答案】【详解】设所求双曲线方程为：，双曲线经过点，，所求双曲线方程为：.故答案为：.【题型8直线与双曲线的位置关系】1、代数法：设直线，双曲线联立解得：（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点；【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为．【答案】2【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：2【题型9求弦长】1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则为直线斜率2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.【典例1】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为．【答案】【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以．故答案为：【题型10双曲线与渐近线的关系】1、若双曲线方程为渐近线方程：2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）【典例1】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.同步练习一、选择题1.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】D【详解】设双曲线的实轴长为，则，由双曲线的定义知，，故选：D2.（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，因为由可推出或，，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A.3.（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，双曲线的离心率为，可得，即，解得，即双曲线的渐近线的方程为.故选：B.4.（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点【答案】ABD【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.故选：ABD5.（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（

）A．实轴长为1 B．虚轴长为2C．离心率 D．渐近线方程为【答案】BCD【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，离心率，渐近线方程为，即.故选：BCD6.（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为双曲线方程为，化为标准方程为：，所以，由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.故选：C.7.（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得双曲线的渐近线方程为．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A．8.（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【详解】解：由题知，，因为在双曲线上，且，所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故；所以，故选：C9.（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.设双曲线的方程为，故，解得，故双曲线的标准方程为.故选:A.10.（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】曲线表示双曲线，所以即可.解得或，所以实数k的取值范围是：.故选：B.二、填空题1.（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为．【答案】【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为．故答案为：2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为.【答案】【详解】由已知可得,即得,所以双曲线方程为:.故答案为:.3.（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为．【答案】【详解】由题意可设双曲线方程为，焦距设为，由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故，又双曲线上的点到点，的距离的差的绝对值等于6，故，所以，故双曲线标准方程为.故答案为：.4.（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数．【答案】【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，则，所以，解得：.故答案为：.5.（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】【详解】双曲线经过点，，，解得，所以双曲线方程为，又，则该双曲线的渐近线方程为．故答案为：．三、解答题1.（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；(2)经过点和．【答案】(1)(2)【详解】（1）易知椭圆短轴的两个端点坐标为；所以双曲线焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，且，点在双曲线