专题04 平面向量的内积（解析版）

专题04平面向量的内积知识总结：一、向量的夹角对于非零向量和,作,称射线成的夹角为向量和的夹角，记作当和同向时，当和反向时，，因此平面向量夹角的范围为二、向量的内积已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积（或数量积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．三、内积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．四、内积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．题型总结：【题型1平面向量的内积概念】【题型2平面向量的内积的运算】【题型一】平面向量的数量积的运算策略方法平面向量数量积的三种运算方法【典例1】已知向量，且两向量夹角为，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用数量积的定义即可得到答案.【详解】，故选：A.【典例2】已知向量的夹角为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】.故选：D.题型二平面向量的模长策略方法求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a．(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2．【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】先求，再利用模长公式可得答案.【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；因为，所以.故选：D.【典例2】已知向量，的夹角为，，，则（

）A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．【详解】依题意，.故选：B.题型三平面向量的夹角策略方法求向量夹角问题的方法【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.【详解】∵，，∴.∵，∴，，则，设向量与的夹角为，与反向,则.故选：C.【典例2】已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（

）A．45° B．135° C．60° D．120°【答案】B【分析】根据得到，结合即可得到，然后求即可得到与的夹角.【详解】根据题意，设与的夹角为θ，因为，，所以，变形可得．则．又由，所以θ＝135°．故选：B．牛刀小试：一、单选题1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.2．已知向量和的夹角为，且，则（

）A．-10 B．-7 C．-4 D．-1【答案】D【解析】根据平面向量的数量积公式，代入条件，计算即可.【详解】＝＝故选：D.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算化简的能力，属基础题.3．有4个式子：①；②；③；④；其中正确的个数为()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④.【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误；由，所以，即③正确；由，得不一定成立，故④错误.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.4．设为向量,则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】为向量,,向量的夹角为或则“”是”的充分必要条件.此类问题解答要注意掌握好命题条件和向量共线的基本知识.【考点定位】本题考查向量的数量积、向量夹角、向量模长和充要条件等知识.属于容易题.5．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量数量积公式，结合运算律，即可求解.【详解】，因为为单位向量，所以，因为，所以.故选：D6．已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到，即可求解.【详解】由且，可得，所以.故选：D.7．平面向量与的夹角为，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为，所以，.故选：B8．在中，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理求出，再运用定义法求数量积.【详解】在中，根据余弦定理得，，所以.故选：C9．已知，，且与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，且与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：A.10．已知，，与的夹角为60°，则（

）A． B．7 C．3 D．【答案】A【分析】运用平面向量数量积、模的运算公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：A.11．已知平面向量，，且，则（

）A．10 B．14 C． D．【答案】B【分析】由已知可得，根据已知可得，然后根据数量积的运算律，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以有，所以，所以，.故选：B.12．在中，，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.【详解】由，故.故选：A13．在四边形中，若，且，则该四边形是（

）A．正方形 B．菱形C．矩形 D．等腰梯形【答案】C【分析】由结合平面向量数量积可得出，再结合可得出结论.【详解】因为，则，即，整理可得，易知、均为非零向量，则，因为，则且，所以，四边形为矩形.故选：C.14．已知向量满足，则（

）A．8 B． C． D．4【答案】D【分析】根据模长平方可得.【详解】因为，所以，又因为所以，所以.故选：D.15．已知平面向量的夹角为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据