8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第二课时）课件高二下学期数学人教A版选择性

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计

(第二课时)非线性关系的回归模型一.求一元线性回归方程的步骤：

（1）以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关

（2）判断两个变量之间的线性相关关系

（4）残差分析：残差表、残差图对回归模型的拟合效果进行评估。复习引入其中：问题人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.951.画散点图：

以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到右图.在左图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.由散点图可知，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.根据最小二乘法，由表中数据可得经验回归方程为2.求经验回归方程：将经验回归方程叠加到散点图，如图(3)所示.(3)思考2：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.已学的函数_________________的图象具有类似的形状特征.思考1：仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？y=﹣lnx、y=﹣lgx由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2，我们引进一个中间变量x，令x=ln(t-1895).通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据(精确到0.01)，如下表所示.思考3：如何利用成对数据估计参数c1和c2？注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c2ln(t−1895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c2<0.非线性经验回归函数作出(xi，yi)的散点图，可见x与y呈现出很强的负线性相关特征.精确到0.01思考3：如何利用成对数据估计参数c1和c2？该经验回归方程对于表中的成对数据xi，yi具有非常好的拟合精度.x和Y之间的线性相关程度比t和Y的线性相关程度强得多.由图可看出，散点图中各散点都非常靠近②的图象，非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于线性经验回归方程①（2)残差分析:

残差平方和越小,模型拟合效果越好.用ti表示编号为i的年份数据，用yi表示编号为i的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.编号12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①.思考4：你能否通过残差分析来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏？方程②各项残差的绝对值远远小于方程①，即方程②的拟合效果要远远好于①.一般情况下，直接一一比较两个模型的各项残差绝对值比较困难，因为对于某些散点，模型①的残差的绝对值比模型②的小，而另一些散点的情况则相反.方案二：通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.方案一：通过比较残差的绝对值之和来比较两个模型的效果.方案二：通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.经验回归方程②的拟合效果要优于经验回归方程①的拟合效果.方案三：通过比较决定系数R2来比较两个模型的效果.残差平方和总偏差平方和(与回归方程无关)(与回归方程有关)R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好.经验回归方程②刻画效果比经验回归方程①的好很多.（3）用决定系数R2来比较这两个模型的拟合效果通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果.决定系数R2的计算公式为残差平方和偏差平方和（与经验回归方程有关）（与经验回归方程无关）R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.显然0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.①R2越大，R2越接近1，残差平方和越小，模型拟合效果越好.②样本相关系数r刻画线性相关关系的正负和强弱；

决定系数R2刻画模型拟合效果的好坏.③还可以证明，在含有1个解释变量一元线性回归模型中R2=r2，

即决定系数R2等于响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方.

例2为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：

(1)作出散点图，并求经验回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析．x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(2)求出R2；(3)进行残差分析．x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解：(2)列表如下：0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31解：(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量成线性关系．0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31练习：已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系如表所示：x1416182022y1210753(1)求y关于x的经验回归方程；(2)借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果如何．变式已知某种商品的单价x(单位:元)与需求量y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:x1416182022y1210753求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.解：列残差表如下：y1210753129.77.45.12.800.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4故回归模型的拟合效果很好.考点非线性经验回归问题

例3：近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，绘制了如图所示的散点图．(1)根据散点图判断在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d为大于0的常数)哪一个适宜作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)【解】根据散点图判断，y＝c·dx适宜作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．(2)根据(1)的判断结果求y关于x的经验回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．参考数据：其中v＝lgy，解决非线性回归问题的方法及步骤

例4

某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位:千万元)对年销售量y(单位:千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i=1,2,‧‧‧,10)的数据，得到散点图如图所示.(1)利用散点图判断y=a+bx和y=c‧xd(其中c,d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；(2)对数据作出如下处理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相关统计量的值如下表.根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),‧‧‧,(un,vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为解：(1)由散点图可知，选择回归类型y=c‧xd更合适.(2)对y=c‧xd两边取对数，的lny=lnc+dlnx，变式某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式．月份x/月123456人数y/人526168747883解：x123456u=lny3.95124.11094.21954.30414.35674.4188[2020全国卷I-5]某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）练习2.2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y关于x的二次回归方程为y=6x2+a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为(

)A．0 B．1 C．4 D．5周数(x)12345治愈人数(y)2173693142在使用经验回归方程进行预测时，需要注意下列问题:(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.例如，根据我国父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述美国父亲身高与儿子身高之间的关系.同样，根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的经验回归方程，不能用来描述北方干旱地区的树高与胸径之间的关系.(2)经验回归方程一般都有时效性.例如，根据20世纪80年代的父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述现在的父亲身高与儿子身高之间的关系.(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越远，预报的效果越差.(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.事实上，它是响应变量的可能取值的平均值.练习1.在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题解：分析残差可以帮助我们解决以下几个问题:(1)寻找残差明显比其他残差大很多的异常点，如果有，检查相应的样本数据是否有错.(2)分析残差图可以诊断选择的模型是否合适，如果不合适，可以参考残差图提出修改模型的思路.(1)作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:年份GDP/亿元年份GDP/亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：(1)画GDP与年份的散点图，如图所示，可以观察到随着年份的增加GDP也随之增加，GDP值与年份呈现近似线性关系，可以用一元线性回归模型刻画.(2)建立年份为解释变量,GDP为响应变量的一元线性回归模型,并计算残差;(3)根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的GDP，看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少;2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:解：(2)用y表示GDP的值，t表示年份，用一元线性回归模型拟合数据，用统计软件计算，得到经验回归方程为残差的计算结果见下表.年份1997199819992000200120022003200420052006残差171267752-1734-6873-11145-15145-14296-4732589223157(3)2017年的GDP预报值为359684亿元，2017年的实际的GDP为820754亿元，预测值比实际值少461070亿元.(4)你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗请说明理由.2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:解：(4)上面建立的回归方程的R2=0.9213，说明在1997-2006年内，该模型年份能够解释92.13%的GDP值变化，因此所建立的模型较好地刻画了GDP和年份的关系.但因为残差呈现一定的规律性，