四川省重点中学高2006级数学能力题训练四

四川省重点中学高2006级数学能力题训练四（由四川教科院组织名校教师联合编写）直线与椭圆相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有 （）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个已知曲线与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是，则实数a的值是 （） A．1 B． C．2 D．3方程所表示的曲线是 （） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．不能确定从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程中的系数，则确定不同椭圆的个数为（） A．20 B．18 C．9 D．16如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （）A．90° B．60° C．45° D．30°四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积 （） A． B． C． D．以上全不正确已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别是 （） A．6，8 B．8，6 C．8，10 D．10，ABCDABCDO图一图二如图一，在△ABC中，AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，则（射影定理）。类似有命题：三棱锥A－BCD(图二)中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，ABCDABCDO图一图二上述命题是（） A．真命题 B．假命题 C．增加“AB⊥AC”的条件才是真命题 D．增加“三棱锥A－BCD是正三棱锥”的条件才是真命题下列各式中，若1＜k＜n,与Cnk不等的一个是 （） A．Cn+1k+1 B．Cn－1k－1 C．Cn－1k D．Cn－1k+1从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （） A．P102P403 B．C102P31P44C103 C．C152C403P55 如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （） A．240 B．204 C．729 D．920使得多项式能被5整除的最小自然数为 （）A．1 B．2 C．3 D．4已知两个正数x,y满足x＋y=4，则使不等式≥m，恒成立的实数m的取值范围是已知>b，·b=1则的最小值是已知圆C的方程为定点M(x0,y0),直线有如下两组论断:第Ⅰ组第Ⅱ组(a)点M在圆C内且M不为圆心(1)直线与圆C相切(b)点M在圆C上(2)直线与圆C相交(c)点M在圆C外(3)直线与圆C相离由第Ⅰ组论断作为条件,第Ⅱ组论断作为结论,写出所有可能成立的命题.(将命题用序号写成形如的形式)过直线上一点M向圆作切线，则M到切点的最小距离为_____.设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（）.（1）求的值；（2）求函数的表达式；（3）求证：.m解关于的不等式＞0.如图9-3，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为y=－kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k.（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域.已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使=λ？请说明理由..已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x－4)+B(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数.22．如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.高三数学能力训练4参考答案123456789101112BCABBABADBACm≤9/49⑴解：，,,……4分(2)解：,，又即…………8分(3)证明:，原式…………解：原不等式可化为＞0。即＞0x（－1）＞0……3分当m＞0时，解得x＜0或x＞……6分当m＜0时，解得＜x＜0……9分当m=0时，解得x＜0……11分综上，当m＞0时，不等式的解集为{＜0或x＞}当m＜0时，不等式的解集为{＜x＜0}当m=0时,不等式的解集为{＜0.}……12分（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。则|OM|=a，|ON|=b。由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx。∴|PM|==，|PN|==∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x-(a-b)y]=k∴k(a+b)x-(a-b)y=2k①又由kPM=-=，kPN==，分别解得a=，b=，代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1。∵y>0，∴y=（2）由0<y<kx，得0<<kxEMBEDEquation.3EMBEDEquation.3(*)当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)EMBEDEquation.3x>。当0<k<1时，由不等式②得x2<，x<，∴(*)EMBEDEquation.3<x<。当k>1时，由不等式②得x2>，且<0，∴(*)EMBEDEquation.3x>但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y<x，将它代入函数解析式，得<x解得<x<(k>1)，或x∈k（0<k≤1）.综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；当0<k<1时，定义域为{x|<x<};当k>1时，定义域为{x|<x<}.⑴以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系xy则A（2，0），设所求椭圆的方程为：=1(0<b<2),xy由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由·=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上∴=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1……………5分（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,由得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*）……………8分∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=,同理xQ=,kPQ=………10分而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0）∴kAB=∴kPQ=kAB，∴与共线，且≠0,即存在实数λ，使=λ.……12分解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则-|y|=2，整理=|y|+2，所求曲线的方程.C1：当y0时，x2=8y；C2：当y<0时，x=0.……………5分（2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A、B不同时为零，（数形结合）当B=0时，A0，直线x=4与曲线有1个的交点；……………7分当B0时，令k=-，则y=k(x-4)+2，与x2=8y联列：x2-8kx+32k-16=0当=0时，k=1，即A=-B时，直线与C1和C2各一个交点；当k>1时，<-1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；当<k<1时，-1<<-时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；当k时，-时，直线与C1和C2各一个交点.……………10分直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A0；直线与曲线有2个的交点,A=-B和-；直线与曲线有3个的交点,-1<<-和<-1.……………12分解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………2分又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.……………5分∴曲线E的方程为………………6分