《过程设备设计》课件-2.压力容器应力分析

《过程设备设计》压力容器应力分析目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力目录2.1.1载荷2.1.2载荷工况2.2.1薄壳圆筒的应力2.2.2回转薄壳的无力矩理论2.2.3无力矩理论的基本方程2.2.4无力矩理论的应用2.2.5回转薄壳应力分析压力容器受到介质压力、支座反力等多种载荷的作用。确定全寿命周期内压力容器所受的各种载荷，是正确设计压力容器的前提。载荷作用下压力容器的应力和变形分析，是压力容器设计的重要理论基础。载荷分析1载荷能够在压力容器上产生应力、应变的外力及其他因素压力非压力载荷载荷内压外压液体静压力重力载荷风载荷地震载荷运输载荷波浪载荷管系载荷支座反力吊装力整体载荷局部载荷上述载荷中，有的是大小和/或方向随时间变化的交变载荷，有的是大小和方向基本上不随时间变化的静载荷。间歇生产的压力容器的重复加压、减压；由往复式压缩机或泵引起的压力波动；生产过程中，因温度变化导致管系热膨胀或收缩，从而引起接管上的载荷变化；容器各零部件之间温度差的变化；装料、卸料引起的容器支座上的载荷变化；液体波动引起的载荷变化；振动（例如风诱导振动）引起的载荷变化。压力容器交变载荷的典型实例载荷工况根据载荷种类、大小、随时间的变化规律等进行分类载荷工况1正常操作工况容器正常操作时的载荷包括：设计压力液体静压力重力载荷(包括隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量)风载荷地震载荷他操作时容器所承受的载荷载荷工况载荷工况1正常操作工况2特殊载荷工况制造完工的容器在制造厂进行压力试验时，载荷一般包括试验压力、容器自身的重量。通常，在制造厂车间内进行压力试验时，容器一般处于水平位置。对于立式容器，用卧式试验替代立式试验，当考虑液柱静压力时，容器顶部承受的压力大于立式试验时所承受的压力，有可能导致原设计壁厚不足，试验前应对其做强度校核。开停工及检修时的载荷主要包括风载荷、地震载荷、容器自身重量，以及内件、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量。压力试验开停工及检修包括压力试验、开停工及检修等工况载荷工况载荷工况1正常操作工况2特殊载荷工况3意外载荷工况紧急状况下容器的快速启动或突然停车、容器内发生化学爆炸、容器周围的设备发生燃烧或爆炸等意外情况下，容器会受到爆炸载荷、热冲击等意外载荷的作用。回转薄壳应力分析2壳体：以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件。壳体中面：与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。薄壁圆柱壳或薄壁圆筒：外直径与内直径的比值（Do/Di）max≤1.1~1.2。厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di≥1.2。概念1、薄壁圆筒的应力壳体材料连续、均匀、各向同性受载后的变形是弹性小变形壳壁各层纤维在变形后互不挤压应力沿壁厚方向均匀分布基本假设典型的薄壁圆筒图2-1薄壁圆筒在内压作用下的应力B点受力分析轴向内压P经向应力或轴向应力σφ圆周的切线方向壁厚方向周向应力或环向应力σθ径向应力σrB点三向应力状态σθ

、σφ>>σr二向应力状态因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ轴向平衡应力求解圆周平衡静定图2-2==截面法图2-2薄壁圆筒在压力作用下的力平衡sjsjp(a)Ditsqsqpa(b)yx2、回转薄壳的无力矩理论回转薄壳：中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转360°而成。母线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线或直线。极点：中面与回转轴的交点。经线平面：通过回转轴的平面。经线：经线平面与中面的交线。平行圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。1、回转薄壳的几何要素中面法线：过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径。等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B）。平行圆半径r：平行圆半径。经线：经线平面与中面的交线。2、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。r与R1、R2的关系:r=R2sinφ2、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。2、无力矩理论与有力矩理论图2-4壳中的内力分量内力薄膜内力横向剪力弯曲内力Nφ、Nθ、Nφθ、NθφQφ、Qθ

Mφ、Mθ、Mφθ、Mθφ、无力矩理论或薄膜理论（静定）有力矩理论或弯曲理论（静不定）弯矩扭矩3、无力矩理论的基本方程1、壳体微元及其内力分量微元体：截线bd长：经线ab弧长：压力载荷：微元体abdc的面积：微元截面上内力：abcd=（）（=）、2、微元平衡方程图2-5微元体的力平衡微体法线方向的力平衡（2-3）微元平衡方程，又称拉普拉斯方程3、区域平衡方程压力在0-0′轴方向产生的合力：作用在截面m-m′上内力的轴向分量：区域平衡方程式：（2-4）图2-6部分容器静力平衡式（2-4）通过式（2-4）可求得，代入式(2-3)可解出微元平衡方程与区域平衡方程是无力矩理论的两个基本方程。4、无力矩理论的应用分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力承受气体内压的回转薄壳圆筒形壳体储存液体的回转薄壳球形壳体球形薄壳薄壁圆筒锥形壳体椭球形壳体1、承受气体内压的回转薄壳回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为：由式（2-4）得：（2-5）将式（2-5）代入式（2-3）得：（2-6）经向应力周向应力承受气体内压的回转薄壳1球形壳体球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得：（2-7）承受气体内压的回转薄壳1球形壳体薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为:R1=∞；R2=R将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得：（2-8）2薄壁圆筒薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体式（2-5）、（2-6）（2-9）R1=∞,图2-7锥形壳体的应力承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体由式（2-9）可知：周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零，离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向应力的两倍；锥壳的半锥角α是确定壳体应力的一个重要参量。当α→0°时，锥壳的应力→圆筒的壳体应力。

当α→90°时，锥体变成平板，应力→无限大。承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体4椭球形壳体图2-8椭球壳体的尺寸承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体推导思路：椭圆曲线方程R1和R2式（2-5）（2-6）（2-10）又称胡金伯格方程4椭球形壳体承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体4椭球形壳体从式（2-10）可以看出：椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。在壳体顶点处（x＝0，y＝b）R1＝R2＝，椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴之比a／b有关。a＝b时，椭球壳→球壳，最大应力为圆筒壳中的一半，a／b↗，椭球壳中应力↗，如图2-9所示。承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体图2-9椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律4椭球形壳体承受气体内压的回转薄壳1球形壳体2薄壁圆筒3锥形壳体4椭球形壳体椭球壳承受均匀内压时，在任何a／b值下,恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐递减至最小值。当时，应力将变号。从拉应力变为压应力。随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反，即顶点处为，赤道上为，恒是拉应力，在顶点处达最大值为。研究提高型讨论题回转薄壳的应力与母线的形状紧密相关。当长、短轴之比大于某一值时，椭圆形封头的周向应力出现压应力。随着周向应力增大，椭圆形封头会局部失稳。但是，减少长、短轴之比，又会增加制造难度。为避免局部失稳，工程上有两条技术路线。一条是研究局部失稳的机理，找出失稳判据，通过改变整体或局部厚度加以预防；另一条技术路线是改变母线形状，避免周向应力。请设计出一种母线，使得既能降低封头深度，又可避免周向压缩应力。2、储存液体的回转薄壳与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层深度变化。a.圆筒形壳体P0

ARtHχ图2-10储存液体的圆筒形壳筒壁上任一点A承受的压力:由式（2-3）得(2-11a)作垂直于回转轴的任一横截面，由上部壳体轴向力平衡得：(2-11b)思考：若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向应力，如何求？当图2-11储存液体的圆球壳（2-12a）式(2-4)（2-12b）式(2-3)b.球形壳体图2-11储存液体的圆球壳当（2-13b）（2-13a）式(2-4)式(2-3)b.球形壳体比较式（2-12）和式（2-13）和不连续，突变量为：这个突变量，是由支座反力G引起的。支座处(

=

0)：支座附近的球壳发生局部弯曲，以保持球壳应力与位移的连续性。因此，支座处应力的计算，必须用有力矩理论进行分析，而上述用无力矩理论计算得到的壳体薄膜应力，只有远离支座处才与实际相符。壳体的厚度、中面曲率和载荷连续，没有突变，且构成壳体的材料的物理性能相同。壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用。壳体的边界处的约束可沿经线的切线方向，不得限制边界处的转角与挠度。3、无力矩理论应用条件对很多实际问题：无力矩理论求解+有力矩理论修正目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力目录2.1.1载荷2.1.2载荷工况2.2.1薄壳圆筒的应力2.2.2回转薄壳的无力矩理论2.2.3无力矩理论的基本方程2.2.4无力矩理论的应用2.2.5回转薄壳应力分析2.2.5.1不连续效应与不连续分析的基本方法2.2.5.2圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解2.2.5.3一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解2.2.5.4组合壳不连续应力的计算举例2.2.5.5不连续应力的特性目录不连续效应与不连续分析的基本方法1不连续效应与不连续分析的基本方法1、不连续效应实际壳体是由球壳、圆柱壳、平板等基本壳体组合而成在基本壳体连接处不满足无力矩理论的适用条件基本壳体在连接处保持变形连续剪力弯矩有力矩理论周向应力经向应力切应力材料力学方法图2-12组合壳不连续效应与不连续分析的基本方法由于结构不连续，组合壳在连接处附近的局部区域出现衰减很快的应力增大现象，称为“不连续效应”或“边缘效应”。由此引起的局部应力称为“不连续应力”或“边缘应力”。分析组合壳不连续应力的方法，在工程上称为“不连续分析”。不连续应力不连续效应图2-12组合壳1、不连续效应以图2-13（c）和(d)所示左半部分圆筒为对象，径向位移w以向外为负，转角以逆时针为正。图2-13连接边缘的变形2、不连续分析的基本方法有力矩理论（静不定）边缘问题求解（边缘应力）薄膜解（一次薄膜应力）

弯曲解（二次应力）+=变形协调方程圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解2圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解分析思路：推导基本微分方程（载荷作用下变形微分方程）微分方程通解由边界条件确定积分常数边缘内力边缘应力1、求解基本微分方程轴对称加载的圆柱壳有力矩理论基本微分方程为：式中壳体的抗弯刚度，w

径向位移；单位圆周长度上的轴向薄膜内力，可直接由圆柱壳轴向力平衡关系求得；所考虑点离圆柱壳边缘的距离；(2-16)

(2-19)2、求微分方程的解齐次方程(2-19)通解为：(2-20)式中C1、C2、C3和C4为积分常数，由圆柱壳两端边界条件确定。

(2-21)圆柱壳的边界条件为：，

(2-22)最大挠度和转角发生在x=0的边缘上(2-23)其中:3、求内力(2-24)4、求应力

横向切应力与正应力相比数值较小，故一般不予计算。(2-18)4、求应力一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解3一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解一般回转壳受边缘力和边缘力矩作用，引起的内力和变形的求解，需要应用一般回转壳理论。有兴趣的读者可参阅文献[10]第373页至407页。组合壳不连续应力的计算举例4组合壳不连续应力的计算举例现以圆平板与圆柱壳连接时的边缘应力计算为例，说明边缘应力计算方法。图2-14圆平板与圆柱壳的连接圆平板：若板很厚，可假设连接处没有位移和转角，即圆柱壳：边缘力和边缘力矩引起的变形可按式（2-23）计算。内压p引起的变形为根据变形协调条件，即式（2-15）得：将位移和转角代入上式，得：解得：利用式(2-8)、式(2-18)和式(2-24)，可求出圆柱壳中最大经向应力和周向应力为：可见，与厚平板连接的圆柱壳边缘处的最大应力为壳体内表面的轴向应力，远大于远离结构不连续处圆柱壳中的应力。不连续应力的特性5不连续应力的特性1、局部性随着离边缘距离x的增加，各内力呈指数函数迅速衰减以至消失，这种性质称为不连续应力的局部性。例如，当时，圆柱壳中纵向弯矩的绝对值为已衰减掉95.7%

一般钢材：µ=0.3，则多数情况下：与壳体半径R相比是一个很小的数字，这说明边缘应力具有很大的局部性。局部性+自限性2、自限性不连续应力是由弹性变形受到约束所致，因此对于用塑性材料制造的壳体，当连接边缘的局部区产生塑变形，这种弹性约束就开始缓解，变形不会连续发展，不连续应力也自动限制，这种性质称不连续应力的自限性。不连续应力的特性目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力2.3.1弹性应力2.3.2弹塑性应力2.3.3屈服压力和爆破压力2.3.4提高屈服承载能力的措施目录2.3.1.1压力载荷引起的弹性应力2.3.1.2温度变化引起的弹性热应力目录厚壁容器：应力：径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力仅是半径的函数。位移：周向位移为零，只有径向位移和轴向位移应变：径向应变、轴向应变和周向应变分析方法：8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。厚壁圆筒应力分析弹性应力研究在内压、外压作用下，厚壁圆筒中的应力。有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中的三向应力。图2-15厚壁圆筒中的应力压力载荷引起的弹性应力1对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：

1、轴向（经向）应力（2-25）＝A压力载荷引起的弹性应力由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。2、周向应力与径向应力a.微元体b.平衡方程c.几何方程(位移－应变）d.物理方程（应变－应力）e.平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程（求解微分方程，积分，边界条件定常数）应力a.微元体如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。b.平衡方程（2-26）图2-15厚壁圆筒中的应力m'n'11mnmndrm'n'w+dww11rdq图2-16厚壁圆筒中微元体的位移径向应变周向应变变形协调方程（2-28）（2-27）c.几何方程(应力－应变）d.物理方程（2-29）e.平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程将式（2-28）中的应变换成应力并整理得到：解该微分方程，可得的通解。将再代入式（2-26）得。（2－33）边界条件为：当时，；

当时，。由此得积分常数A和B为：周向应力径向应力轴向应力称Lamè（拉美）公式（2-34）表2-1厚壁圆筒的筒壁应力值图2-17厚壁圆筒中各应力分量分布(a)仅受内压(b)仅受外压

从图2-17中可见，仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：

轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力和的一半，即除外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。以为例，外壁与内壁处的周向应力之比为：

K值愈大不均匀程度愈严重，当内壁材料开始出现屈服时，外壁材料则没有达到屈服，因此筒体材料强度不能得到充分的利用。温度变化引起的弹性热应力2因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。1、热应力温度变化引起的弹性热应力单向约束：（2－35）双向约束：（2－36）三向约束：（2－37）厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。2、厚壁圆筒的热应力当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：轴向热应力:周向热应力：径向热应力:详细推导见文献[11]附录——筒体内外壁的温差，——筒体的外半径与任意半径之比，——筒体的外半径与内半径之比，厚壁圆筒各处的热应力见表2-2，表中热应力任意半径r处圆筒内壁Kr=K处圆筒外壁Kr=1处

表2-2厚壁圆筒中的热应力厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为（a）内部加热(b)外部加热图2-20厚壁圆筒中的热应力分布①热应力大小与内外壁温差成正比

②

热应力沿壁厚方向是变化的③内压与温差同时作用引起的弹性应力（2-39）具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。表2-3厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力总应力-P0

由图可见图2-21厚壁筒内的综合应力（a）内加热情况(b)外加热情况内加热内壁应力叠加后得到改善，外壁应力有所恶化。外加热则相反，内壁应力恶化，外壁应力得到很大改善。热应力随约束程度的增大而增大。热应力与零外载相平衡，是自平衡应力（Self-balancingstress）。热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变可使热应力降低。热应力在构件内是变化的。3、热应力的特点目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力2.3.1弹性应力2.3.2弹塑性应力2.3.3屈服压力和爆破压力2.3.4提高屈服承载能力的措施目录弹塑性应力1弹塑性应力图2-22处于弹塑性状态的厚壁圆筒内压塑性区弹性区描述弹塑性厚壁圆筒的几何与载荷参数：本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力

材料假设：理想弹塑性图2-23理想弹-塑性材料的应力-应变关系1、塑性区应力平衡方程：Mises屈服失效判据：（2-26）（2-40）（2-42）（2-41）（2-43）（2-44）代入（2-40）联立积分内壁边界条件，求出A后带回上试（2-45）2、弹性区应力弹性区内壁处于屈服状态与(2-45)联立导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系（2-47）（2-34）99若按屈雷斯卡（H.Tresca）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。各种应力表达式列于表2-4中。Kc=Ro/Rc（2-46）表2-1拉美公式残余应力

o

图2-24卸载过程的应力和应变

思考：残余应力是如何产生的？卸载定理：卸载时应力改变量和应变的改变量之间存在着弹性关系。图2-24。思考：残余应力该如何计算？基于Mises屈服准则的塑性区（Ri≤r≤Rc）中的残余应力为残余应力的计算（2-49）弹性区（Rc≤r≤R0）中的残余应力为（2-50）残余应力的计算图2-25弹-塑性区的应力分布屈服压力和爆破压力2爆破过程OA：弹性变形阶段AC：弹塑性变形阶段（壁厚减薄+材料强化）C：塑性垮塌压力（PlasticCollapsePressure）

容器所能承受的最大压力D：爆破压力（BurstingPressure）PyPbABC容积变化量pOD图2-26厚壁圆筒中压力与变形关系屈服压力令，得基于米塞斯屈服失效判据的圆筒初始屈服压力。（2-51）不要把全屈服压力和塑性垮塌压力等同起来。前者假设材料为理想弹塑性，后者利用材料的实际应力应变关系。1、初始屈服压力2、全屈服压力当筒壁达到整体屈服状态时所承受的压力，称为圆筒全屈服压力或极限压力（Limitpressure），用表示。（2-52）令Rc=Ro，得爆破压力厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（Faupel）公式。爆破压力的上限值为:下限值为:且爆破压力随材料的屈强比呈线性变化规律。于是，福贝尔将爆破压力pb归纳为即：（2-53）提高屈服承载能力的措施3当径比大到一定程度后，用增加厚度的方法降低壁中应力的效果不明显。为此，对于压力很高的容器，工程中通常对圆筒施加外压或自增强处理，使内层材料受到压缩预应力作用，而外层材料处于拉伸状态。对圆筒施加外压的方法有多种，最常用的是采用多层圆筒结构。通过超工作压力处理，由筒壁自身外层材料的弹性收缩引起残余应力的方法，称为自增强。提高屈服承载能力的措施目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力2.4.1概述2.4.2圆平板对称弯曲微分方程2.4.3圆平板中的应力2.4.4承受对称载荷时环板中的应力目录概述1常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。平封头应用概述平板的几何特征及平板分类t/b≤1/5时，w/t≤1/5时，按小挠度薄板计算。图2-28薄板中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸几何特征平板分类厚板与薄板大挠度板和小挠度板载荷与内力载荷平面载荷横向载荷复合载荷（作用于板中面内的载荷）（垂直于板中面的载荷）内力薄膜力弯曲内力(中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形)(弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形)当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论

弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff只有横向力载荷圆平板对称弯曲微分方程2圆平板对称弯曲微分方程分析模型轴对称性半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz内力：Mr、Mθ、Qr三个内力分量在r、θ、z圆柱坐标系中

图2-29圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力微元体挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程。用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。微元体内力微元体外力径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：Mθ、Mθ横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr上表面P=prdθdr一、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即ΣMT=0（2-54）圆平板在轴对称载荷下的平衡方程二、几何方程W~ε

图2-30圆平板对称弯曲的变形关系二、几何方程板变形后：微段的径向应变为:过A点的周向应变为:作为小挠度，带入以上两式应变与挠度关系的几何方程（第2假设）（第1假设）图2-30圆平板对称弯曲的变形关系（2-55）三、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为（2-56）四、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程2-55代入2-56式：（2-57）图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系

、的线性分布力系便组成弯矩、。单位长度上的径向弯矩为：（2-58a）（2-58b）——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关同理得：参照38页壳体的抗弯刚度2-58代入2-57，得弯矩和应力的关系式为：（2-59）2-58代入平衡方程2-54，得：即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：（2-60）Qr值可依不同载荷情况用静力法求得圆平板中的应力3圆平板中的应力一、承受均布载荷时圆平板中的应力二、承受集中载荷时圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）简支固支一、承受均布载荷时圆平板中的应力图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：代入(2-60)式中均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为:对r连续两次积分（得到挠曲面在半径方向的斜率）（2-61）对r连续三次积分（得到中面在弯曲后的挠度）（2-62）C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2＝0

，于是上述方程改写为：（2-63）式中C1、C3由边界条件确定下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）图2-33承受均布横向载荷的圆板（a）周边固支圆平板（b）周边简支圆平板1、周边固支圆平板2、周边简支圆平板在支承处不允许有挠度和转角将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：周边固支圆平板（2-64）得周边固支平板的斜率和挠度方程代入式（2-63）1、周边固支圆平板将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：（2-65）由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：（2-66）图2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。最大应力在板边缘上下表面，即：（a）周边固支（b）周边简支将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：周边简支圆平板得周边简支平板的挠度方程代入式（2-63）（2-67）2、周边简支圆平板弯矩表达式：（2-68）应力表达式：（2-69）不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心r=0处，周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。图2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）（a）周边固支（b）周边简支这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。挠度a周边固支时，最大挠度在板中心周边简支时，最大挠度在板中心（2-70）（2-71）slidefix3、支承对平板刚度和强度的影响这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力应力b周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为（2-72）周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为（2-73）挠度反映板的刚度，应力则反映强度周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板最大正应力与同一量级；最大切应力则与同一量级。因而对于薄板R>>t，板内的正应力远比切应力大。内力引起的切应力：在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力，（r=R处）近似采用矩形截面梁中最大切应力公式得到若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度

4、薄圆平板应力特点二、承受集中载荷时圆平板中的应力

图2-35圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值承受轴对称载荷时环板中的应力4承受轴对称载荷时环板中的应力

图2-36外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板

（2-74）图2-37圆环转角和应力分析目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力2.5.1概述2.5.2均布轴压圆筒的临界应力2.5.3周向受外压圆筒的临界压力2.5.4其他回转薄壳的临界压力2.5.5壳体许用临界载荷2.5.6壳体屈曲数值模拟方法目录概述1深海操作设备的壳体、真空操作容器、减压精馏塔的外壳；用于加热或冷却的夹套容器的内层壳体。1、外压壳体举例概述承受外压载荷的壳体，当外压载荷增大到某一值时，壳体会突然失去原来的形状，出现被压扁或出现波折等现象，此时壳体发生了屈曲，它是外压壳体破坏的常见形式之一。2、屈曲的定义概述注：除外压壳体外，在较大区域内存在压缩薄膜应力的壳体、扭转壳体等也可能产生屈曲。屈曲的形式多种多样，与构建本身的结构尺寸、材料力学性能、载荷条件、边界条件等因素有关。3、屈曲的形式概述美国AP1000，中国CAP1000、CAP1400核电站等采用双层圆柱形钢安全壳结构形式,实现功能分离。内层的钢安全壳由椭圆形顶封头、圆柱形筒壁、椭圆形底封头组成。椭圆底封头嵌在钢筋混凝土基础和包围反应堆腔的混凝土结构之间。钢安全壳主要作用：①承受事故工况下的高温及内压；②防止放射性物质对外辐射；③作为有效的导热体进行安全壳内外的热量交换。核反应堆钢安全壳参数AP1000总自由体积/m358615设计压力/MPa0.407设计温度/℃148.89材料SA738Gr.B钢壳体标称厚度/mm44.5直径/m39.6总高度/m65.6椭圆形封头顶封头内径39.6m，高11.5m底封头内径39.6m，高11.5m筒体顶环3板层中环4板层下环4板层椭圆形封头椭圆形底封头贯穿件及其他附件圆柱形筒体钢安全壳结构椭圆形封头椭圆形底封头贯穿件及其他附件圆柱形筒体设计标准：ASMEⅢNE分卷。安全壳顶封头与底封头均由41.3mm的钢板压制组装成半个椭球面。由64块球壳板拼焊而成，单块球壳板最长尺寸约：3.9m(宽)X9.6m(长)。每个封头重约604t。安全壳筒体用44.5mm规格的钢板做成，筒体有11层，每层由12块圆弧钢板焊接而成,每片圆弧钢板的规格为：3.8m(宽)X10.4m(长)，约15t。安全壳总重量约为3600t。钢安全壳结构L瓣片形貌随压力变化600kPa形貌无明显变化880kPa形貌无明显变化900kPaL瓣片左侧经向拼焊缝鼓起975kPa形貌无明显变化1100kPaL瓣片右侧经向拼焊缝鼓起1341kPa压力下封头屈曲形貌瓣片A瓣片B瓣片C瓣片D瓣片E瓣片F瓣片G瓣片H瓣片I瓣片J瓣片K瓣片L瓣片M瓣片N屈曲视频屈曲发生时刻压力1093kPa2S压降24kPa屈曲发生时刻压力1162kPa2S压降19kPa极值屈曲：在载荷与位移曲线最高点（极值点）处发生的垮塌。分叉屈曲：结构从一种平衡状态向另一种平衡状态转变，结构的位形将突然发生很大的改变。4、屈曲的分类概述图2-39轴压薄壁圆筒的载荷-位移关系曲线Pu前屈曲后屈曲PcrOACBDEF理想容器极值屈曲分支屈曲非理想容器极值屈曲

概述

5.理论求解壳体临界载荷的方法均布轴压圆筒的临界应力2均布轴压圆筒的临界应力弹性小挠度理论基于如下假设：圆柱壳厚度t与半径D相比是小量，位移w与厚度t相比是小量。屈曲时圆柱壳体的应力仍处于弹性范围。理论轴对称分叉屈曲时临界应力该理论的局限性（1）轴压圆筒屈曲除了对称分叉屈曲，还可能为非对称屈曲（2）实际圆筒为非理想圆柱形，存在各种初始形状缺陷（3）实际问题可能涉及几何非线性、材料非线性等线弹性小挠度理论不适用于实际轴压圆筒屈曲问题工程中，通常先由式（2-76）计算得到理论的临界应力，再引入经验修正系数进行修正，来求得设计的临界应力。周向受外压圆筒的临界压力3周向受外压圆筒的临界压力对于屈曲后形成n个波纹的单位圆环，其临界压力为I—圆环截面惯性矩，I=t3/12,mm3周向受均布外压的无限长圆筒屈曲时出现两个波纹，其临界压力为（Bresse公式）1、周向受均布外压的无限长圆筒仅周向受均布外压圆筒（Mises公式）同时受周向和轴向外压的圆筒上述公式过于复杂，工程常采用近似公式2、两端简支的周向受均布外压圆筒短圆筒最小临界压力近似计算式（拉姆（B.M.Pamm）公式）：(仅适用于弹性屈曲）短圆筒临界压力计算公式（R.V.Southwell公式）：

工程计算中，考虑到外压壳体壁厚比较薄,故直接用外径D0代替以上公式中的D进行计算。临界长度Lcr由于Bresse公式仅适用于长圆筒，而拉姆公式等只适用于短圆筒，故提出临界长度Lcr概念加以区分。L>Lcr——长圆筒（n=2）L<Lcr——短圆筒（n>2）L=LcrBresse公式和拉姆公式计算压力相等（2-84）工程上，计算外压短圆筒临界压力时，还可采用具有较高精度的美国海军水槽公式：其他回转薄壳的的临界压力4其他回转薄壳的的临界压力其他回转薄壳球壳碟形壳椭球壳锥壳1、球壳按小挠度弹性屈曲理论，受均布外压的理想球壳的临界压力计算公式：（2-86）实际临界压力远小于公式计算值，工程中同样需引入修正系数进行修正。

碟形壳的过渡区受拉应力，而中央球壳部分是压应力，可能产生屈曲。临界压力计算式同球壳，其中R用碟形壳中央球壳部分的外半径R0代替。椭球壳与碟形壳类似，用当量半径R=K1D0

代替，K1取值见第4章。

2、碟形壳和椭球壳该等效方法仅适用于锥顶角α≤60°；否则需按圆平板考虑。3、两端简支圆锥壳——等效圆筒的临界压力——关联系数壳体许用临界载荷5一、临界压力理论计算公式的局限性1、实际壳体往往存在形状缺陷整体不圆局部区域中的折皱、鼓胀、凹陷内压下，有消除不圆度的趋势外压下，缺陷处产生附加应力临界压力降低工程设计标准中，往往在对临界应力按形状缺陷修正系数进行修正的同时，对其形状缺陷进行严格的限制。一、临界压力理论计算公式的局限性上述公式均基于线弹性假设得出，当应力水平超过材料比例极限后，必须计及材料的非线性行为。在工程计算中，通常采用材料的切线模量来代替上述公式的弹性模量，来计算相关的临界载荷。在有些标准中，则直接选取相关的弹塑性修正系数来修正上述公式计算的临界载荷。2、上述公式只适用于线弹性范围二、许用临界载荷的计算流程考虑设计裕度系数引入修正系数几何形状尺寸、材料性能数据、载荷条件及边界条件求弹性屈曲临界载荷的理论值和塑性极限载荷的理论值确定壳体许用临界载荷壳体屈曲数值模拟方法6壳体屈曲数值模拟方法用于预测理想线弹性结构的理论临界载荷。但是，初始缺陷和非线性使得很多实际结构都不是在其理论临界载荷处发生屈曲。因此，特征值屈曲分析经常得出非保守结果，通常不能直接用于实际的工程分析。特征值屈曲分析（线性屈曲分析）非线性屈曲分析用于实际结构的抗屈曲能力评估。使用非线性屈曲分析可以包括诸如初始缺陷、材料弹塑性、缺口、大变形等行为，还可以跟踪结构的后屈曲行为。目录2.1载荷分析2.2回转薄壳应力分析2.3厚壁圆筒应力分析2.4平板应力分析2.5壳体屈曲分析2.6典型局部应力2.6.1概述2.6.2受内压壳体与接管连接处的局部应力2.6.3降低局部应力的措施目录概述1概述局部载荷：通过管道传递的载荷、支座反力、局部温度变化引起的载荷。不连续：材料、结构和载荷不连续处，在局部区域产生的附加应力，如截面尺寸、几何形状突变的区域、两种不同材料的连接处等。局部应力的产生局部应力的危害性与材料韧性、载荷（大小、加载方式）有关。危害性：过大的局部应力使结构处于不安定状态；在交变载荷下，易产生裂纹，可能导致疲劳失效。参考资料

1、TheWeldingResear