2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理

科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.(5分)已知集合知={-1,0,1},N={x|(x+2)(x-l)<0},则MN=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{0}D.{-1）

2.（5分）已知袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，则2球都是红球的概率为

（）

A.-B.-C.-D.—

36321

3.（5分）点P到直线y=3的距离比到点歹（0,-1）的距离大2,则点P的轨迹方程为（）

A.y1=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

4.（5分）已知三个不同的平面P,/,三条不重合的直线相，n,I,有下列四个命

题：

①若加_L/,nLl,则机//〃；

②若a_Ly,B］丫,则。///?；

③若m_Ltz,mlIn则a_L£；

④若a//a,a/3=n,则机//〃

其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（5分）已知。=（x,2）,b=（-2,1）,a-Lb,贝！J|a—》|=（）

A.A/5B.275C.MD.10

6.（5分）下列说法错误的是（）

A.在AABC中，若贝！!cosAvcos6

B.若我=ac,则a,c的等比中项为b

C.若命题P与〃人学为真，则4一定为真

D.若p:Vx£（0,+oo）,lnx<x-l,则*£（0,+oo）,lnx..x-l

7.（5分）已知等差数列｛凡｝的前3项和为4,后3项和为7,所有项和为22,则项数〃为（

）

A.12B.13C.14D.15

8.（5分）如图所示，是一个空间几何体的三视图,且这个空间几何体的所有顶点都在同一

个球面上，则这个球的体积是（）

侧视图

B.22828币

C.一71D.-------71

92739

9.(5分)已知tan(a+/7)=/,tan/?=g,JT

则tan(a-R=()

6

ABC.-D.

-1-77

10.(5分)已知P是直线fcv+4y-10=0(%>0)上的动点，是圆C:f+y?-2x+4y+4=0的

两条切线，A,3是切点，C是圆心，若四边形必CB面积的最小值为2近，则左的值

为（）

A.3B.2C.-D.—

32

y..x

11.（5分）已知z=2x+y,其中实数％,y满足2,且z的最大值是最小值的2倍，

x..a

则。的值是（）

22

12.（5分）已知居为曲线C：L+°^=1的左、右焦点，点P为曲线C与

44-m

2

曲线一二二=1在第一象限的交点，直线/为曲线C在点P处的切线，若三角形

m—1

耳尸名的内心为点直线月M与直线/交于N点，则点A/,N横坐标之和为（）

A.1B.2

C.3D.随机的变化而变化

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）

13.（5分）已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有〃颗落在该

封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为.

22

14.（5分）已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆上+匕=1的长轴端点、焦点，

167

则双曲线C的渐近线方程是.

15.（5分）已知a=0.2°3,b=log023,c=log024,则〃、b、。从小到大的顺序为・

16.（5分）已知过抛物线方程/=2px,过焦点F的直线I斜率为k（k>0）与抛物线交于A,

B两点,满足一'一+—L=1,又AF=2FB,则直线/的方程为

|AF|\FB\

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（12分）在AABC中内角A,B,C所对的边分别为b,c,已知

2c沅2siffii=«

2

（1）求角C的大小；

（〃）若0=也,4=a,求AABC的面积.

18.（12分）已知正项数列｛凡｝的前几项和为S“，满足a,”[=2信"+1,（〃eN"）,且q=1

（1）求册；

]

（〃）设数列前〃项和为7；,求

a„an+1

19.（12分）如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起,使得平面ADEY

平面BCDE,并得到四棱锥A-BCDE.

（I）求证：平面ABC_L平面AGO；

（II）A/是棱CD的中点，过M的与平面ABC平行的平面a,设平面口截四棱锥A-3CDE

所得截面面积为三角形ABC的面积为S2,试求H：邑的值.

图1图2

22

20.（12分）已知椭圆C:二+斗=1（。＞6＞0）的左，右焦点分别为尸1,F2,上顶点为瓦Q

ab

为抛物线丁=24x的焦点，且G8。8=0,2G居+。耳=0

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）过定点尸（0,4）的直线/与椭圆C交于M,N两点（M在尸，N之间），设直线/的斜

率为k（k＞0）,在x轴上是否存在点A（m,0）,使得以AM,AN为邻边的平行四边形为

菱形？若存在，求出实数机的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.(12分)已知函数/(x)=x/nr+a(aeR)

（I）若/（尤）..0恒成立，求实数。的取值范围;

（II）若。＜玉＜%，求证：对于任意xw（X，为），不等式".一"王）＜.⑴一"马）成

X—Xxx—x2

立.

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4：

坐标系与参数方程］

x=t

22.（10分）平面直角坐标系中，直线/的参数方程是「（A为参数），以坐标原点为极

J=J3f

点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为

p1cos20+p1sin26-2/?sind-3=0.

（1）求直线/的极坐标方程；

（2）若直线/与曲线C相交于A、3两点，求|A8］.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知/（x）=|x+l|+|x-2|

（I）已知关于x的不等式/（x）＜2a-l有实数解，求实数。的取值范围；

（II）解不等式/（x）..x2-2x.

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学

试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.)

1.(5分)已知集合加={-1,0,1},N={x|(x+2)(x-l)<0},则MN=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{0}D.{-1}

【考点】IE：交集及其运算

【专题】11：计算题；37：集合思想；40：定义法；5J：集合

【分析】先分别求出集合N,由此利用交集定义能求出MN.

【解答】解：集合"={-1,0,1},

N={x|(x+2)(x-1)<0}={x|-2<x<1},

:.MN={-1,0}.

故选：A.

【点评】本题考查交集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用.

2.(5分)已知袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，则2球都是红球的概率为

()

A.-B.-C.-D.—

36321

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【专题】11：计算题；35：转化思想；40：定义法；51：概率与统计

【分析】先求出基本事件总数〃==6,再求出2球都是红球包含的基本事件个数

m=C；=1,由此能求出2球都是红球的概率.

【解答】解：袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，

基本事件总数〃=C；=6,

2球都是红球包含的基本事件个数m=Cl=l,

2球都是红球的概率为「='=上.

n6

故选：B.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公

式的合理运用.

3.(5分)点P到直线y=3的距离比到点b(0,-1)的距离大2,则点P的轨迹方程为()

A.y2=4xB.y1=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

【考点】J3：轨迹方程

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D；圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由题意得，点P到直线y=l的距离和它到点(0,-1)的距离相等，故点P的轨迹是

以点(0,-1)为焦点，以直线y=l为准线的抛物线，可得轨迹方程.

【解答】解：点P到直线y=3的距离比到点尸(0,-1)的距离大2,

.•.点P到直线y=1的距离和它到点(0,-1)的距离相等，

故点P的轨迹是以点。-1)为焦点，以直线y=l为准线的抛物线，方程为d=_4y.

故选：D.

【点评】本题考查抛物线的定义,抛物线的标准方程,判断点P的轨迹是以点(0,-1)为焦点，

以直线y=l为准线的抛物线，是解题的关键.

4.(5分)已知三个不同的平面tz,0,y,三条不重合的直线％,n,I,有下列四个命

题：

①若m_LI,n±/,则力z//”；

②若a_L7,/_L7,则a//；

③若mlIn,nu/3,则a_L尸；

④若mlla,a/3=n,则m///

其中真命题的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】11：计算题；35：转化思想；47?：转化法；5F：空间位置关系与距离

【分析】在①中，加与〃相交、平行或异面；在②中，a与力相交或平行；在③中，由面

面垂直的判断定理得e_LP；在④中，机与"异面或平行.

【解答】解：由三个不同的平面a,(3,Y,三条不重合的直线机，〃，/,知：

在①中，若〃?,nLl,则与九相交、平行或异面，故①错误；

在②中，若a，/,2,则口与，相交或平行，故②错误；

在③中，若mla,m//n,nu/3,则由面面垂直的判断定理得a_L4,故③正确；

在④中，若m"a,a/3=n,则机与〃异面或平行，故④错误.

故选：A.

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、

面面间的位置关系的合理运用.

5.(5分)已知。=(x,2),b=(-2,1),a±b,则|a-b|=()

A.-J5B.2乖C.屈D.10

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】34：方程思想；40：定义法；5A：平面向量及应用

【分析】根据。■1人时a6=0,求出x的值，再计算a-6的模长.

【解答】解：。=(%2),6=(-2,1),alb,

ab=-2x+2=Q,

解得％=1,

a—b=(1+2,2—1)=(3,1),

:.\a-b\=yj32+12=A/10.

故选：C.

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质与应用问题，是基础题目.

6.(5分)下列说法错误的是()

A.在AABC中，若A>3,则cosAvcosB

B.若/=ac,则a,c的等比中项为6

C.若命题夕与°人4为真，则q一定为真

D.若p:Vxe(0,+co),lm<x-\,则-p:*e(0,+oo),lnx..x-l

【考点】2K：命题的真假判断与应用

【专题】21：阅读型；35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑

【分析】根据余弦函数性质可判断A,举反例a=>=c=0可判断3,由命题的真假可判断C,

根据特称命题的否定是全称命题，借助全称命题写出命题的否定形式可判断D.

【解答】解：对于A,根据余弦函数的单调性可知，若A>3,则8sA<axB,故A正确；

对于5,取a=Z?=c=O,显然满足Z?2=ac,但不满足/是a,c的等比中项，故3错误；

对于C,若命题0与2Aq为真，则q一定为真命题，故C正确；

对于£),特称命题的否定是全称命题，，―0*€(0,+<»),lnx..x-l,故£)正确.

.•.说法错误的是：B.

故选：B.

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质以及特称命题和全称命

题，是中档题.

7.(5分)已知等差数列｛凡｝的前3项和为4,后3项和为7,所有项和为22,则项数〃为(

)

A.12B.13C.14D.15

【考点】85：等差数列的前"项和

【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列

【分析1由题思可得:Oj+a2+Oj=4,a“-2+1+a“=],可得3(q+<?”)=4+7,再利用

求和公式即可得出.

【解答】解：由题意可得：+a2+a3=4,an_2+an_t+an=l,

3(q+a,)=4+7,

11

:.ay+an=-,

j(q+4)=22,...业=22,解得〃=12.

〃26

故选：A.

【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

8.(5分)如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一

个球面上，则这个球的体积是()

正视图侧视图

俯视图

2801

------------71

【考点】L7：简单空间图形的三视图；LG：球的体积和表面积

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离

【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长

是2,根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求

出半径即可求出球的体积.

【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧

棱长是2,

三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，

Rx后+E球的体积刍叮3=空亘万.

V3V3327

故选：B.

【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的体积，利用棱柱的几何特征求外接球的半

径是解题的关键.

9.(5分)已知tan(a+£)=g,tan£=g,则tan(a-?)=()

【考点】GP：两角和与差的三角函数

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值

【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tana,进而利用两角差的正切函数公式即

可计算得解.

【解答】解：tan（a+£）=g,tan/?=g,

tana+-

tana+tan0

3解得:

-p「轲a2

tana—tan一

tan(a-£)=4

1+tanatan—1+—xl

47

故选：B.

【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了

计算能力和转化思想，属于基础题.

10.（5分）已知尸是直线Ax+4y-10=0（左>0）上的动点,是圆5:炉+/-2%+4y+4=0的

两条切线，A,3是切点，C是圆心，若四边形以CB面积的最小值为2近，则上的值

为（）

A.3B.2C.-D.—

【考点】J9：直线与圆的位置关系

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5B：直线与圆

S

【分析】S四边形咏8=APAC+SAPBC，当।PC|取最小值时，|尸川=|尸3|取最小值,即5AMe=S"BC

取最小值，此时，CP，/由此利用四边形P4CB面积的最小值，即可得出结论..

【解答】解：圆的标准方程为（X-1）。+（y+2>=1,

则圆心为C（l,-2）,半径为1,

则直线与圆相离，如图，S四边形如虚=5"m+5V蹂

而S”4c=glPA”CA|=g|PA|,

SAPBC=^\PB\\CB\=\PB\,

又IPA1=1/8|=J|PC『一1,

当IPCI取最小值时，IB4HPB|取最小值，

即5"m=5仔/取最小值，此时，CP±l,

四边形PACB面积的最小值为2点,SAPAC=S^BC=A/2,

PA|=20,CP|=3,.I,-8Toi=3,

7^2+16

k>0,.,.左=3.

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，在解答过程中要合理地运用数

形结合思想.

y..x

H.（5分）已知z=2x+y,其中实数x,y满足，x+y,,2,且z的最大值是最小值的2倍，

x..a

则a的值是（）

211

A.—B.-C.4D.-

1142

【考点】7C：简单线性规划

【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,

联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到Z的最值，再由z=2尤+y的最大值是

最小值的2倍列式求得。值.

y..x

【解答】解：由约束条件x+y,,2,作出可行域如图,

x..a

y

联乂｛\x=a,得

联立卜得

[x+y=2

化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,

由图可知z”=2x1+1=3,zmin=2a+a=3a,

由6a=3,得a=」.

2

故选：D.

【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

22

12.（5分）已知1＜加＜4,工,F2为曲线C:上+—匕一=1的左、右焦点，点P为曲线C与

44-m

2

曲线E:f-E=l在第一象限的交点，直线/为曲线C在点P处的切线，若三角形

m-1

的内心为点直线与直线/交于N点，则点N横坐标之和为（）

A.1B.2

C.3D.随加的变化而变化

【考点】KC-.双曲线的性质

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形招尸&的内切圆的半径、直线月M的

方程，联立求出N的横坐标，即可得出结论.

【解答】解：联立两曲线方程，消去y可得x=/,

yjm

设尸（尤0,%）,直线/的方程为出+=叱=1①，

44—m

设三角形耳尸鸟的内切圆的半径为r,则由等面积可得2J浣%=（4+2，五）r,

直线的方程为了=%（x+疯）③,

1+Vm

联立①②③，化简可得36力=6^/^?,

XN=2，

=1，

F+xN=3

故选：C.

【点评】本题考查题意、双曲线方程的性质，考查直线与椭圆的位置关系，正确计算是关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）

13.（5分）已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有〃颗落在该

封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为—.

一N—

【考点】CE：模拟方法估计概率

【专题】11：计算题；34：方程思想；4G：演绎法；5/：概率与统计

【分析】设阴影部分的面积为S,则»即可得出结论.

71N

【解答】解：由题意，符合几何概型，

故设阴影部分的面积为S,则»=?，

TCN

..o-----•

N

故答案为竺.

N

【点评】本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题.

22

14.(5分)已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆上+乙=1的长轴端点、焦点，

167

则双曲线c的渐近线方程是>=±2尤.

一.3―

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；50：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】利用椭圆的性质可得其长轴的端点、焦点，进而得到双曲线的c,6,即可得

到双曲线的渐近线方程.

【解答】解：椭圆长轴端点为(-4,0),(4,0),焦点为(-3,0),(3,0),

.■.对于双曲线中，c=4,4=3,得6=,

.••双曲线的渐近线方程为：y=±J7^x,

3

故答案为y='

【点评】熟练掌握椭圆与双曲线的标准方程及其性质是解题的关键.

15.(5分)已知。=0.2°3,b=log023,c=log024,则a、。、c从小到大的顺序为_c<b<a_

【考点】4M：对数值大小的比较

【专题】11：计算题；33：函数思想；40：定义法；51：函数的性质及应用

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.

【解答】解：0<。=0.2°3<0.2°=1,

b=log023<log021=0,

c=log024<log023=6，

:.c<b<a.

故答案为：c<b<a.

【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对

数函数的单调性的合理运用.

16.(5分)已知过抛物线方程y2=2px,过焦点F的直线I斜率为k(k>0)与抛物线交于A,

3两点，满足二一+」一=1,又AF=2FB,则直线/的方程为y=20(x—l).

|AF|IFBI

【考点】K8：抛物线的性质

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；50：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】先求出0的值，再设A,3两点的抛物线的准线上的射影分别为E,尸，过3作短

的垂线BC,在三角形ABC中，N班C等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，利

用在直角三角形A5c中，求出tanNBAC,得出直线相的斜率，即可得出结论.

【解答】解：—+—=1,

\AF\\FB\

，由抛物线的性质，可得已=1,；.p=2.

P

如图，设A,3两点的抛物线的准线上的射影分别为E,F,

过3作AE1的垂线3C,

在三角形ABC中，NS4c等于直线的倾斜角,

其正切值即为K值，

设|3用=〃,\AF^2\BF\,：\AF\=2n,

根据抛物线的定义得：|AE|=2w,\BF\=n,

AC|=n,

L

在直角三角形MC中，tan/BAC=—=2夜,

AC

直线I的方程为y=2A/2(X-1).

故答案为y=20(x-l).

【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题,

解题时要善于运用抛物线的定义解决问题.

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（12分）在AABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

2岳加_sinC=G

2

(1)求角C的大小；

(〃)若0=也,。=应，求AA6C的面积.

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形

【分析】(/)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos(C+&)=0,由余弦函数

6

的性质，结合范围Ce(0,;r),可求C的值.

(〃)由余弦定理可得匕的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.

【解答】解：(/)2yf3sin2^--smC=y/3,

A/3(1+cosC)-sinC=e,可得：2cos(C+—)=0，

6

:.C+—=k7i+—9左GZ,解得：C=k7i*三,k^Z,

623

Cs(0㈤，

：.c=—.

3

(〃)C=-,c=6,a=也，

3

，由余弦定理可得：3=2+廿一2四xbxL整理可得：〃-恒-1=0,解得：6=0十遍,

22

或，|二田(舍去)，

2

•QA3+n百—括+3

..3A.一一absinC——xV2x----------x——---------.

,22224

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质，余弦定理，三角形面

积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题.

18.(12分)已知正项数列｛凡｝的前几项和为S“，满足4币=2#；+1,(〃eN*),且q=1

(/)求册；

]

(〃)设数列前〃项和为7；,求

a„an+l

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式

【专题】35：转化思想；4Q：参数法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（1）由4s“=晨|+2%+|+1,当加.2时，4si=4+2a,+l,两式相减得：

（4+%）（4-的-2）=0,则％-a,i=2,由等差数列通项公式即可求得《；

（2）」一=-------------=-（—-------）,采用裂项法即可求得数列［」一］前〃项

anan+i（2n-l）（2n+1）22n-l2n+lU%+iJ

和为《.

【解答】解：（1）由。，用=2四+1,贝U4S“=a3+2%+i+l,

当加.2时，4S,i=d+2a“+l,

4%=4sli-4S,T=（a；+|+2an+i+1）-（片+2an+1）,

整理得：（%+-an_x-2）=0,

由。“w0,贝!I%—an_x=2,

则数列｛%｝是以q=1为首项，d=2为公差的等差数列，an=l+2（n-1）=2w-1,

an=2〃-1；

⑵数列」一的通项公式数列^—=------1------=-(-......—),

[anan+lJanan+\(2〃-1)(2〃+1)22九一12九+1

，二"（」）+..「（」一-一二）

2323522〃-12〃+1

------------------)

2〃-12〃+1

—(1----------)

22〃+1

n

2n+l

即数列前"项和Tn=」一

［a„a„+1J2〃+1

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查“裂项法”求数列的前"项和，考查计

算能力，属于中档题.

19.（12分）如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起,使得平面ADEA.

平面3CDE,并得到四棱锥A-3CDE.

(I)求证：平面ABC_L平面ACO；

(II)M是棱CD的中点，过Af的与平面ABC平行的平面c,设平面e截四棱锥A-3CDE

所得截面面积为S1,三角形ABC的面积为S?,试求S］：S?的值.

图1图2

【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离

【分析】(1)ADYDE,平面ADE，平面3CDE,根据两个平面垂直的性质定理得AD_L平

面BCDE,所以4Z5_L3C,又CDLBC,根据线面垂直的判定定理3C_L平面ACD,

BCu平面ABC,所以平面ABC_L平面ACD

(2)由于平面a//平面ABC,故平面ACD与平面a的交线M。//AC,M是CD的中点，

故。是AD的中点；同理平面3CDE与平面口的交线A/N//3C,N为鹿的中点；平面

ABE的交线NP//AB,P为AE的中点，连接P。即为平面a与平面AZJE的交线，故平

面a与四棱锥A-3CDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MVPQ,进一步观察可

知四边形肱VP。是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与AABC的面积之比.

【解答】解：(1)ADYDE,平面AZ)E_L平面3CDE,平面ADEC平面3CDE=DE,

，AD_L平面BCDE,

:.AD±BC,

又CD±BC,ADCD=D,

3C_L平面ACO,

又3Cu平面ABC,

平面ABC_L平面AGO

(2)平面a//平面ABC,设平面ACD与平面a的交线为MQ,

:.MQ//AC,

又M是CD的中点，

，。是的中点；

同理：设平面3cDE1与平面"的交线为MV,

:.MN//BC,

又M是CD的中点，

・•.N为3E的中点；

同理：平面ABE的交线NP〃钙，P为AE的中点，

连接PQ即为平面a与平面ADE的交线,故平面c与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成

多边形是图中的四边形MVPQ,

由于PQ//DE,DEV/M?V,故PQ//MN,根据（1）3C_LAC,由M2V//3C,MQ//AC,

故即四边形MNP。'是直角梯形.

设CM=a,则〃。=缶，MN=3a,PQ=a,BC=4a,AC=2^2a,

故四边形MN尸的面积是"的＞＜缶=旷,三角形ABC的面积是

2

—x4axs/~0=J~42„

2

故平面a与四棱锥A-33各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比

为1:2.

【点评】本小题主要考查空间线面关系、多边形的面积计算等知识，考查数形结合、化归与

转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

22

20.（12分）已知椭圆C:「+当=1（。＞匕＞0）的左，右焦点分别为月，居，上顶点为3.Q

ab

为抛物线/=24x的焦点，且£8QB=0,2F[F2+QFX=0

(I)求椭圆c的标准方程;

(II)过定点尸(0,4)的直线/与椭圆C交于N两点(M在P,N之间)，设直线/的斜

率为％(%>0),在无轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为

菱形？若存在，求出实数机的取值范围；若不存在，请说明理由.

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】34：方程思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】(I)由已知Q(6,0),FtB±QB,|=4c=6+c,解得c=2.在Rf△4中,

\BF2\=2c=a,所以。=4,由此能求出椭圆C的标准方程.

(II)设/:y=履+4(左>0),M(x1,%),N(X2,%)，取跖V的中点为E(x(),%).假设

存在点A(m,0),使得以AV,AN为邻边的平行四边形为菱形，联立

y=kx+4

<X2y2=(4左2+3优+32履+16=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数"7

——+—=1

[1612

的取值范围.

【解答】解：(I)由已知。(6,0),KB1.QB,

\QF{|=4c=6+c,所以c=2....(1分)

在及△£3。中，后为线段片。的中点，

故|B《|=2c=4,所以q=4....(2分)

22

于是椭圆。的标准方程为工+匕=1.

1612

(II)设/:y=Ax+4(%>0),M(±,%),N®,%),取MN的中点为EQ。，%).

假设存在点A（m,O）,使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形，则MLMN.

y=履+4

联立，/2=(4左2+3)/+32立+16=0

——+—=1

[1612

△>0n左>4,

2

-32k-16k712

X,+X.=)4

---------/.X0E，…。+4=E

勺2442+3

因为AE_LM?V,所以必£=—1

k

12116k、4k4

——x(z-------------m)=>m=------------

4公+3k4左2+34左2+3T~3

4Z+—

k

k>-,4yt+-..4A—e

k3

2忆4k+-

k

所以相£,0].

【点评】本题考查椭圆C的标准方程的求法,考查在X轴上是否存在点A（m,0）,使得以AM,

AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数机的取值范围的求法，解题时要认真审题,

注意函数与方程思想的合理运用.

21.（12分）已知函数/（x）=x/nx+a（aeR）

（I）若/（x）..O恒成立，求实数a的取值范围；

f

（II）若0＜用＜%,求证：对于任意xeQ,x2）,不等式（'A）＜二尤）一/区）成

无一王尤一々

立.

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值

【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用

【分析】（I）先求导，根据导数求出函数的最值，问题即可解决，

（II）欲证明不等式/（、-/（尤1）＜/。）7（无2）成立，从图象分析可先证

X-Xxx-x2

/（%）~/（%1）＜fXx）＜/（%）~/（^-）,分别构造函数，根据导数和函数的单调性和最值关

x-xxx-x2

系即可证明

【解答】解：（I）/（%）=%历％+4的定义域为（。,+00）,

.,./'(%)=\+lnx,

令广(x)=0,解得x=L,

e

当ra)>。时，即时，函数/(无)单调递增，

e

当ra)<o时，即0<*<1时，函数/(幻单调递减，

e

ee

/(x)..O恒成立，

---Fa..0,

e

.1

e

(H)证明：由(i)知，r(%)=i+历x,

.•.八%)在(。,内)上为增函数，

欲证明不