高考数学二轮复习第2部分 大综合测5解析几何(含解析)

5解析几何

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.（2015,郑州市质检）"a=l"是"直线ax+y+l=0与直线（a+2）x—3y—2=0垂

直”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B

［解析］两直线垂直的充要条件为a（a+2）—3=0,解得a=—3或a=l,故选B.

2.（文）已知圆。的方程是8x—2y+10=0,则过点”（3,0）的最短弦所在的直线

方程是（）

A.x+y-3=0B.X—y—3—O

C.2,x~y-6=0D.2x+y—6=0

［答案］A

［解析］圆。的方程是/+7—8x—2y+10=0,即(x—4)?+(y—1>=7,

圆心。(4,1),设过点M3,0)的最短弦所在的直线为1,,:k0尸1,

的方程为：y=—l・（x—3）,即x+y—3=0.

（理）已知动圆。经过点尸（0,1）并且与直线y=-l相切，若直线3x—4y+20=0与圆C

有公共点，则圆C的面积（）

A.有最大值为“B.有最小值为Ji

C.有最大值为4nD.有最小值为4”

［答案］D

［解析］如图所示，由圆，经过点尸（0,1）,并且与直线y=-1相

切，可得点C的轨迹为抛物线x?=4y,显然以抛物线x,=4y上任一点为

圆心可作出任意大的圆与直线3x—4y+20=0相交，且此圆可无限大，

即圆。的面积不存在最大值，设圆。与3x—4y+20=0相切于点4其

圆心为（照，㈤，则由可得d="°—•+2。=%+1（点。在直线

3x—4p+20=0的右方），即包~~；+4+1,解得照=—2或照=学（舍去），当照=一

34o

2时，圆心C坐标为（-2,1）,此时圆C的半径为2,即可得圆C的面积的最小值为4”，故

应选D.

3.（文）（2015•江西上饶三模）已知点欣一6,5）在双曲线C,l(a>0,6>0)上,

双曲线C的焦距为12,则它的渐近线方程为（）

A.尸土吟B.尸土当

,2,3

C.y=±-xD.y=±~x

o

［答案］A

(a=4,

［解析］由条件知才+公。25b=2季,

lc=6.

、c=6,

•••渐近线方程为尸土坐X.

（理）（2015•新课标H理，11）已知48为双曲线£的左，右顶点，点〃在£上，△/阴

为等腰三角形，且顶角为120。，则£的离心率为（）

A.mB.2

C.小D.^2

［答案］D

［解析］考查双曲线的标准方程和简单几何性质.

x2y2

设双曲线方程为F—S=l（a〉0,6〉0）,如图所示，26=刚，//阴=120°,过点〃

ab

作腑J_x轴，垂足为“在Rt△砌V中，|刎=a,|列=/a,故点〃的坐标为〃（2a,小

a）,代入双曲线方程得#=左=/—a?,即/=2/，所以e=镜，故选D.

4.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x—y=0与抛物线，交于46两点,

若P（1,D为线段46的中点，则抛物线C的方程为（）

A.y—2,xB.y—2x

C.x=2,yD.y=—2.x

［答案］B

^=2pxi

［解析］设/（X1,%）,6（如72）,抛物线方程为y=2px,则,两式相减

/=2p照

可得2'=‘—-X（yi+j2）=^X2=2,即可得4=1,・••抛物线。的方程为_/=2x,故应选

X1-X2

B.

5.（文）（2015•新课标I文，5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为aE的右焦

点与抛物线G/=8x的焦点重合，A,夕是C的准线与£的两个交点，则4引=（）

A.3B.6

C.9D.12

［答案］B

［解析］抛物线/=8x的焦点坐标为（2,0）.因为£的右焦点与抛物线焦点重合，所以

cl

椭圆中C=2,离心率e=-=w，所以3=4,

a2

22

所以^=@2—C2=i6—4,则椭圆方程为*+£=1,因为抛物线的准线方程为x=-2,

1612

当X=-2时，y=±3,则冽=2X3=6.故本题正确答案为B.

22

（理）过原点。作直线/交椭圆X下+6V=1（。＞力0）于点46,椭圆的右焦点为用，离心率

ab

为e.若以/夕为直径的圆过点长，且sinN4S^=e,则e=（）

-1\/2

A."B.~~

C盅D

L-3亚2

［答案］B

［解析］记椭圆的左焦点为修依题意得|朗=2c,四边形阳在为矩形，sinNABB

===e，=2ce＞22222

TOT^Tl^l\AFi\=（2a-\AF2\y=（2a-2ce）,\AFl\+\AF2\=\FlF2\,

、历

（2a—2ce）2+（2ce）"=（2c）2,由此解得6=学,选B.

6.半径不等的两定圆4、。没有公共点，且圆心不重合，动圆。与定圆。和定圆。都

内切，则圆心。的轨迹是（）

A.双曲线的一支B.椭圆

C.双曲线的一支或椭圆D.双曲线或椭圆

［答案］C

［解析］设。。、。&、。。的半径分别为八象、R,且以＞打〉o,当。a与。。外离时,

由条件知。。与。。都内切于。。，AIoa\^R-n,\oa\^R-n,:.\oa\-\oa\^n-

四0〈右一々〈laal，...点。的轨迹是以a、a为焦点的双曲线靠近a点的一支；当。a内含

于。a时，应有。。内切于。a,。。内切于。a

：.\Oa\^r-R,\oa\^R-r2,||+|弦|=八一小与2不重合，且小

...点。的轨迹为以a、。为焦点的椭圆，故选C.

X22V

7.(文)已知L—方K程2攵一表1示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

()

A.(1,2)B.(1,+8)

C.(1,2)D.(1,1)

［答案］C

［解析］由题意可得，2«—1>2—4>0,

{2k—1>2—k,

即解得1<衣2,故选C.

[2—k>0,

XVxv

(理)(2014•广东文,8)若实数“满足0〈人5,则曲线句打尸与曲线语一11

的()

A.实半轴长相等B.虚半轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

［答案］D

［解析］：0〈人5,.,.两方程都表示双曲线，由双曲线中•=/+而得其焦距相等，选口.

X2V2

8.(2014•大纲全国理，6)已知椭圆。：F+S=1(〃>6>0)的左、右焦点为£、否，离心

ab

率为号，过用的直线，交C于48两点，若△/片8的周长为六P，则C的方程为()

O

X2,V2X2,

A.—+—=1B.—+y?=1

J乙O

2222

r—X—I——V1I)—X—I——V=1

128124

［答案］A

［解析］根据条件可知且4a=44，.》=/,c=l,"2,椭圆的方程为］

9.（文）已知产点是/+/=/+芥与双曲线C：百一方=l（a>0,力0）在第一象限内的交

点，A、K分别是C的左、右焦点，且满足I阳1=3|阳则双曲线的离心率6为（）

A.2B.当

「迎亚

2n2

［答案］C

［解析］设］也|=x,则I期|=3x,

・•・出£「=|阳」+|网2=10/=4上

•—迎

••c—2x，

由双曲线的定义知，2a=\PFi\-\PH\=2x,

a=x,e=-=~^-,故选C.

a2

X2V2

（理）已知双曲线=—0=1（a>0,6>0）的左、右焦点分别为£、点/在双曲线上，且

ab

轴，若奈=|，则双曲线的离心率等于（）

A.2B.3

C.^/2D.小

［答案］A

［解析］设］/£|=3x,则|"!|=5x,

|F1F21=4x,c=2x,

由双曲线的定义知,2a=由川一|通|=2£,

..c

、♦a—x,••e———2.

a

10.（文）过抛物线/=2px（o>0）的焦点厂的直线/与抛物线在第一象限的交点为4直

线，与抛物线的准线的交点为8点/在抛物线的准线上的射影为C,若苏=砺，BA-BC=

36,则抛物线的方程为（）

A.y=&xB.y=3x

C.y=12xD.y=2y［3x

［答案］D

［解析］wg,0）,设Z（xo,㈤，%>0,则。（一与珀，B（p-xo,一为），由条件知夕

__P._3p

—XQ——2，..刘一2-

.,.后=2。•^=3/?2,.,.yo=\[3p,~y[3p),/(券,小加,C~gy[3p),.,.BA•BC

=(2.p,2-\[3p)•(0,2镉p)=12/=36,:.p=(,

•••抛物线方程为y=2y[3x.

（理）过双曲线眩V—南=1的左顶点/作斜率为2的直线1,若/与双曲线〃的两条渐

近线分别相交于点6、C,且诙=2诵，则双曲线〃的离心率是（）

A.乖B.A/10

C."D.^37

［答案］C

［解析］由条件知/（—1,0）,；./：y=2（x+l）,双曲线渐近线方程为y=±6x,;卫C=

y=x+

2AB,二夕在4C之间,得'(—7T?7+2)!

y=—bx,

y=x+

_y=bx.

再由应l=2位得6=4,.*.6=717.

11.若抛物线/=2px上恒有关于直线x+y—1=0对称的两点4B,则0的取值范围

/3、

B.(0,-)

/2、

C.(0,-)

0

［答案］c

［解析］设直线46：y=x+b,代入/=2,X中消去X得，y-2py+2pb=QfAyi+j^

=2,，为+吊=%+度-28=20—26,由条件知线段23的中点（一―,一一），

即（夕一6,4）在直线x+y—1=0上，/.b=2p—l,A=442—846=4/—80（24-1）=一

2.2

12/?+84>0,/.0</?<-

X2V2

12.（2015•郑州市质检）已知椭圆p+z=l（a>6>0）的两焦点分别是否，石，过月的直

ab

线交椭圆于己0两点，若|必|=出£|,且2|依|=3|的|,则椭圆的离心率为（）

3也

,5

［答案］A

［解析］由已知得|必|=|F川=2°,

|阳|=2a一|必|=2a—2c,

24224

\QFx\=-^\PFx\=-(a—c),\QF\=2己一I/I=2a--(2a—2c)=-a+^c

oo2JJJ

在△阳月和△必0中，由余弦定理得:

期广十|"12TA加2

cos/FzPQ=

2\PF,\•\PF2\

%2+|/「T小」

一1\PQ\•\PF2\

即-a—2cy__£

a-2cc

'1010\?

Ja~~c)+c-（1。+壬2

io"""io-

-a——c

oo

整理得5c*2—8己。+3才=0,即5e2—8e+3=0,

/.e=-^e=l（舍）.

5

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）

22

13.（文）已知双曲线当一系=l（a>O,6>0）与抛物线/=8x有公共焦点，且双曲线上的

ab

点到坐标原点的最短距离为1,则该双曲线的离心率为.

［答案］2

22

［解析］..•抛物线/=8x的焦点为（2,0）,.•.双曲线当一V=l（a〉O,6>0）中c=2,

ab

又H=1,.*.e=~=2.

a

22

（理）过双曲线当一看=l（a〉O,力0）的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线

ab

Y2V2

R+4=1上，则双曲线的离心率为

ba

［答案］

b

［解析］不妨设双曲线的一个焦点为（C,。），（C〉。），一条渐近线方程为尸y由

J2b2,224

<匕得垂足的坐标为（"I■，学，把此点坐标代入方程：+?=1，得

y=~x

Ia

2/2

+/1=1,化简，并由o2=且2+方得a=6,/.e=-1=^/2.

14.（文）设抛物线f=4y的焦点为尸，经过点尸（1,4）的直线/与抛物线相交于4、8两

点，且点P恰为48的中点，则I诙+|而=.

［答案］10

［解析］设/（xi,yi）,8（x2,㈤，由题意知xi+xz=2,且京=4%，装=4%,两式相减

整理得，匚更=受要=<，所以直线加的方程为x—2y+7=0,将户2-7代入V=4y

X\—X242

整理得4/—32p+49=0,所以k+度=8,又由抛物线定义得|//|+|跖|=%+乃+2=10.

22

（理）椭圆r.今+%=l（a>6〉0）的左、右焦点分别为£、&焦距为2c,若直线尸:

abv

（x+c）与椭圆厂的一个交点〃满足/%兆=2/姐R,则该椭圆的离心率等于.

［答案］73-1

［解析］本题考查了椭圆离心率的求解.

15.（2015•潍坊市模拟）抛物线C,4=2四（0〉0）的焦点为凡点。是坐标原点，过点0、

尸的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36n，则抛物线方程为.

［答案］/=16x

［解析］由圆的面积为36兀，得圆的半径r=6,圆心到准线的距离为苴+：=6,得0=

8,所以抛物线方程为/=16x.

16.（文）（2015•兰州市诊断）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆。的离心率

等于右且它的一个顶点恰好是抛物线丁=队门了的焦点，则椭圆C的标准方程为.

22

［答案］条+{=1

1612

［解析］由题设知抛物线的焦点为（0,2馅），所以椭圆中6=2线.因为e=£=2所以

a乙

22

a=2c,又因为才一方=/,联立解得。=2,@=4,所以椭圆。的标准方程为土+£=］.

1612

（理）（2014•安徽理，14）若尤、石分别是椭圆A3+台=1（0＜次1）的左、右焦点，过

b

点£的直线交椭圆£于A6两点.若|/用=3出固，ZKLx轴，则椭圆£的方程为.

［答案］/+|y=l

［解析］如图，由题意，/点横坐标为c,

又4+02=1,：.y=lj,：.\AF2\=k),

又川=3|跖I，

51

工8点坐标为（一可。--Z?2）,

OO

代入椭圆方程得,

方程为x°+|/=l.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）（2015•唐山市二模）已知抛物线£：x?=4y,m,〃是过点/（a,—

1）且倾斜角互补的两条直线，其中0与£有唯一公共点6,〃与£相交于不同的两点GD.

(1)求0的斜率A的取值范围；

(2)当〃过£的焦点时，求6至的距离.

［解析］⑴血y+l="(x—a),n：y+l=—A(x—a),分别代入I=4y,得

4Ax+44a+4=0①，

x+4^—4^a+4=0②，

由/1=0得万一ka—1=0,

由z>2>0得A'+Aa—l>。，

故有242—2>0,得孑2>1,即“<一1或A>1.

(2)£的焦点户(0,1),k^—=~k,所以a"=2.

Aa

・，・女2=公+1=3,8(2A,必),

br.,,.|3好一ak-\-11|―11

所以夕至u〃的距禺d=-石了了—=vm5=4,

18.(本题满分12分)(2015•石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点

(1,0)且与直线x=-1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.

(1)求曲线6的方程；

JI

(2)已知点A(5,0),倾斜角为彳的直线/与线段力相交(不经过点。或点/)且与曲线£

交于以”两点，求△加加面积的最大值，及此时直线/的方程.

［解析］(1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x=—l的距离，

由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y=4x

(2)解法一：由题意，可设/的方程为y=x—如其中0<卬<5

(y=x—/n

由方程组2，消去力得3—(2/+4)x+加2=0①

L/=4X

当0V%V5时，方程①的判别式/=(2/+4)2—4痛=16(1+%)>0成立.

设〃(汨，yi),N〈X2,㈤则为+照=4+2如xi•X2=好,

|MN\=镜|不一用|=4y/2+2m

耳—m

又因为点/到直线1的距离为d=F

/.S^AMN=2(5-4.1+%=2.——9君+15刃+25.

令f(ni)=m—^in+15勿+25,(0<欣5),

f'(4=3皿2—18切+15=3(%一1)(刃一5),(0〈水5)

所以函数〃而在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减.

当〃=1时，f(ni)有最大值32,

故当直线1的方程为y=x~1时，△匈W的最大面积为8小.

解法二：由题意，可设/与x轴相交于6(勿,0),/的方程为x=y+m,其中。〈/V5

[x=y-\-m

由方程组24，消去％得/—4y—4%=0①

〔"=4x

・・,直线/与抛物线有两个不同交点乂N,

・,•方程①的判别式/=(—4)2+16勿=16(1+勿)>0必成立，

设欣不，咒),N(X2,刃)则%+丹=4,%•理=—4见

5k=~(5—77?)|%一必|

=1(5—/Z7)勺~yi+y2~之一4%有

=2(5—4也+勿=2yl/n—9/n+15^+25.

令f(ni)=宫一9/+150+25,(0〈水5),

f'(4=3刃2—18必+15=3(%一1)(刃一5),(0〈水5)

所以函数a4在(0,1)上单调递增，在a,5)上单调递减.

当卬=1时，”血有最大值32,

故当直线1的方程为y=x-1时，△力妍的最大面积为8小.

19.(本题满分12分)(文)设点p是曲线G¥=2%(夕>0)上的动点，点夕到点(0,1)的

距离和它到焦点尸的距离之和的最小值为1

(1)求曲线C的方程；

(2)若点户的横坐标为1,过户作斜率为A("W0)的直线交。于点。交x轴于点弘过

点0且与闾垂直的直线与，交于另一点儿问是否存在实数A,使得直线与曲线，相切？

若存在，求出A的值；若不存在，请说明理由.

7?51

[解析]⑴依题意知1+，1,解得「=].

所以曲线C的方程为六=y.

(2)由题意直线产。的方程为：y=4(x—1)+1,则点〃(1—q,0).

\y=kx—+1

联立方程组彳2，消去y得/—Ax+A—1=0,得0(A—1,(A—I)?).

〔尸x

所以得直线©V的方程为y—(4—1)2=—[(X—4+1).代入曲线方程中，得

X—1+-：—(1—A)2=0.

k

解得Ml—7—k,(1—A—7)2)・

kk

过点”的切线的斜率〃=2（1—4—；）.

K

12

."Z一1

由题思有一;=2（1—A—彳）•

kk

解得仁二1押.

故存在实数A=-乘使命题成立.

22

（理）（2015•郑州市质检）设椭圆GFX+£V=l（a>6>0）,R,K为左、右焦点，6为短轴

ab

、历

端点，且S△班K=4,离心率为尊。为坐标原点.

（1）求椭圆。的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点KN,

且满足I刖而=|新而1?若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.

221

XV\

［解析］（1）因为椭圆C-.F+R=l（a>0,6〉0）,由题意得S/\BFi^—-X2cXb—4,e

ab2

、历［a=8,_/y

=一c=乎，/=百十占所以解得所以椭圆。的方程为不+5=1.

a2〔而=4.84

（2）假设存在圆心在原点的圆H+炉=冷使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交

点四N,因为|刖曲=|为L而，所以有怎•而-0,

设〃（为，％）,NU,姓），当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为了=府+如由方程

y=kx+m

组《22

xIP1

一十一=1

84

得x+2（Ax+㈤2=8,即（1+2/）y+44zx+2/—8=0,

则△=1642方一4（1+2。（2»—8）=8（8好一方+4）>0,

即8A2—勿2+4>0,

-4km土、I'6必而一+2—/一

匙2=+2炉

4km_2^72—8

1+2/不7=1+2炉；

m2-4片点_?z?2—8A2

%理=版+血贤+2

(kxi+ni)(A=X\X2~\~kmlx\+xj+nf=1+27l+2p®=1+2-'

2击_8JJJ__8管

要使应・ON=0,需XIXZ+K刑=0,即1+22+1+2:=°'所以3勿J8如一8=0,所以

,23%2—8

卜=一^20,

ffl>2

又8好一病+4〉0,所以

3，》8

所以序＞|,即乎或屋£—平.

因为直线尸履+卬为圆的一条切线,

所以圆的半径为卡=\；筏=黑_8=|，r=^2'所求的圆为f+7=

1+8

8

3,

此时圆的切线y=履+而都满足m辰-芈

O

而当切线的斜率不存在时，切线为x=土缙与椭圆卷+^=1的两个交点为

oo4

善，±当或［—乎，士明满足加•注0,综上，存在圆心在原点的圆/+/=|满

足条件.

20.(本题满分12分)(2015•北京文，20)己知椭圆C：V+3/=3.过点2(1,0)且不过

点£(2,1)的直线与椭圆C交于46两点，直线/£与直线x=3交于点〃

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若四垂直于x轴，求直线砌的斜率；

(3)试判断直线阴与直线龙的位置关系，并说明理由.

［分析］本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系

等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭

圆方程化为标准方程，得到a,b,。的值，再利用e=-计算离心率；第二问，由直线四的

a

特殊位置，设出46点坐标和直线力£的方程，由直线与x=3相交于〃点，得到〃点坐

标，利用点反点〃的坐标，求直线9的斜率；第三问，分直线28的斜率存在和不存在两

种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线A6和直

线/£的方程，将椭圆方程与直线46的方程联立，消参，得到荀+也和荀苞，代入到抬产1

中，只需计算出等于。即可证明"破="如即两直线平行.

Y

［解析］(1)椭圆。的标准方程为勺+/=1.

所以a=＜，b=l,c=y［2.

所以椭圆。的离心率e=£=涯.

a3

⑵因为46过点2(1,0)且垂直于x轴，所以可设/(I,%),8(1,-yi).

直线力£的方程为y—1=(1—yi)(jr—2).

令x=3,得〃(3,2—珀.

所以直线砌的斜率力尸?；'”』.

⑶直线砌与直线龙平行.证明如下：

当直线的斜率不存在时，由(2)可知#.=1.

1—0

又因为直线庞的斜率嬴=7^=1，所以砌〃然

当直线48的斜率存在时，设其方程为y=A(x—1)(斤1).

设4(矛1,yi),B1X2,外)，

则直线AE的方程为y—1=3(x—2).

yi+3

令x=3,得点加3,^r).

XL2

x+3y=3,

由

y=kx一

得（1+34/一6左1+3孑2—3=0.

6炉3A2-3

所以Xl+X2=1+3/&X2=1+3?

Ji+Xi-3

-Xi—2―一丹

直线砌的斜率k=-----------------.

BM3一至

因为kBM-1=

k矛i—+4一3—AX2一3一—一4矛i一

-X2X\—

k——矛1用+E+用一3]

~X2X\—

一3■+3,12户

1+西+1+3尸3」

所以kBM=\—kDE.

所以BM//DE.

综上可知，直线砌与直线龙平行.

21.（本题满分12分）（文）（2015•南昌市一模）已知圆E-.丁+卜一92=，经过椭圆C：「

V2

+%=l（a>6〉0）的左、右焦点凡E,且与椭圆C在第一象限的交点为4且凡E,/三点

b

共线，直线/交椭圆，于〃”两点，且防―4应（4W0）.

（1）求椭圆。的方程;

⑵当三角形力断的面积取到最大值时，求直线1的方程.

［解析］（1）如图，圆£经过椭圆C的左、右焦点左,

'：Fi,E,/三点共线,

为圆£的直径，；.K（G0）在圆上,

…（。-汨,

Vc>0,；.c=p

M知2=14川2—出网2=9—8=1,恒网=1,2a=|Z川+|/&=3+1=4,：.a=2,

\9a=/}+c,解得

22

椭圆C的方程X了十V方=1.

⑵点4的坐标（镜，1）,：防应（4W0）,

所以直线1的斜率为勺，故设直线1的方程为y^x+m

由《消去得，xm—2=0,

22p

*।y1

一十一=1

142

设欣矛1,Ji),N〈X2,也)

xi+x2=—y/2/n,x\X2=m—2,△=2h2—4痛+8>0,

・•・一2〈欣2,

SAJW=-1|MN\•d=^\］12—3/nX半|m\

邛弁x匕3=低

当且仅当4—加』，即片土小时，S*取到最大值低直线1的方程为尸享土根

2

（理）（2014•上海八校调研）已知点F、、K为双曲线a与=1（6〉0）的左、右焦点，

b

过用作垂直于X轴的直线，在X轴上方交双曲线。于点弘且/加兆=30°.圆。的方程是

2I212

x-\~y=b.

（1）求双曲线c的方程；

（2）过双曲线C上任意一点尸作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为R、2,求

PPy•两的值;

⑶过圆。上任意一点0（刘，为）作圆。的切线/交双曲线。于/、6两点，的中点为

M,求证：\AB\=2\ai\.

［解析］（1）设K、〃的坐标分别为（、底了，0）,（尸］，丹）,

2

因为点〃在双曲线。上，所以1+9—羽=1,

b

即%=±氏所以|磔|=/，

在Rt△磔£中，/MRFz=30°,|磔|=而,

所以|姐|=2次

由双曲线的定义可知I姐I—I姐|=炉=2,

2

故双曲线c的方程为5=1.

（2）由条件可知两条渐近线方程为h5x-尸0,»y[2x+y=Q.

设双曲线C上的点户（刘，丹），两渐近线的夹角为0,

尸隹了的倾斜角为a,则

sin2a—cos2a2—11

cose=cos（Ji—2a）=~T^----;-----2-=TTT=7

sina+cosa2+13

点户到两条渐近线的距离分别为

I掰|=屿工|四=鸣坟,

<3<3

因为?（刘，㈤在双曲线a/—y=l±,所以2岔一序=2,

|2言一词,1、2

=一二•（—§）=一§•

⑶证明：由题意，要证|诵|=2|施，即证》，如.

设4（矛,1Ji）,B〈X"度），切线/的方程为xox+为尸2.

①当KW0时，切线/的方程代入双曲线。的方程中,

化简得（24一加/+4刘X一（2j^+4）=0,

4Ab24+4

所以Xl+彩=—77-22，X1刘=—77-22，

2yb—xo2yo-xo

2-XQXI2-XQX21

乂7172=---------[4-刘（xi+至）+岔Xi田]

8—2总

241君

叱」一一,24+4।8—2岔

所以a•如=为b+再刃=一藐二益+旷韭

4—岔+点

一荻二1一=°

②当开=0时，易知上述结论也成立，

即如•0B=X\X2+yij2=0.

综上所述，OAVOB,所以|花|=2|0|.

22

22.（本题满分12分）（文）已知椭圆G当+£=1⑷6〉0）的短轴长为2,且与抛物线产

ab

4/x有共同的一个焦点，椭圆。的左顶点为4右顶点为氏点尸是椭圆C上位于x轴上

方的动点，直线/只在与直线y=3分别交于G、〃两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求线段纽的长度的最小值；

(3)在线段掰的长度取得最小值时，椭圆。上是否存在一点T,使得△7K4的面积为1,

若存在求出点7的坐标，若不存在，说明理由.

［解析］(1)由已知得，抛物线的焦点为(十，0),则

又6=1,由可得d=4.

故椭圆C的方程为彳+/=1.

(2)直线2户的斜率A显然存在，且A〉0,故可设直线/户的方程为V=#(£+2),从而ff(|

一2,3).

y=kx+,

由vf?得(1+441+16炉才+16炉-4=0.