2016-2017学年高二数学下学期知识点检测28

第二章2.1第2课时基础巩固一、选择题1．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝3an－1＋1(n≥2)，则a4为eq\x(导学号27542254)(D)A．13 B．15C．30 D．40[解析]∵a1＝1，∴a2＝3a1＋1＝4，a3＝3a2＋1＝13，a4＝32．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋eq\f(1,an－2)(n≥3)，则a5＝eq\x(导学号27542255)(A)A．eq\f(55,12) B．eq\f(13,3)C．4 D．5[解析]∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝a2＋eq\f(1,a1)＝3＋1＝4，∴a4＝a3＋eq\f(1,a2)＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，∴a5＝a4＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(55,12).3．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝eq\x(导学号27542256)(A)A．－3 B．－4C．－5 D．2[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.4．数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)，且a2014＝2，则a2012等于eq\x(导学号27542257)(A)A．－3 B．3C．－2 D．2[解析]由已知，得an＝eq\f(1－an＋1,an＋1)＝eq\f(1,an＋1)－1，所以a2013＝eq\f(1,a2014)－1＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)，a2012＝eq\f(1,a2013)－1＝eq\f(1,－\f(1,2))－1＝－3.5．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于eq\x(导学号27542258)(C)A．eq\f(25,9) B．eq\f(25,16)C．eq\f(61,16) D．eq\f(31,15)[解析]∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝eq\f(9,4).同理a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).6．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，则a20＝eq\x(导学号27542259)(B)A．0 B．－eq\r(3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)，a1＝0，∴a2＝－eq\r(3)，a3＝eq\r(3)，a4＝0，a5＝－eq\r(3)，a6＝eq\r(3)，…，故此数列周期为3，∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－eq\r(3)，故选B．二、填空题7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝120.eq\x(导学号27542260)[解析]因为an＝nan－1，且n≥2，所以当n＝2时，a2＝2a1当n＝3时，a3＝3a2当n＝4时，a4＝4a3当n＝5时，a5＝5a4故a5＝120.8．已知数列{an}，a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)，则eq\f(a6,a8)＝eq\f(6,7).eq\x(导学号27542261)[解析]解法一：∵a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)，∴a2＝eq\f(1,a1)＝1，a3＝eq\f(2,a2)＝2，a4＝eq\f(3,a3)＝eq\f(3,2)，a5＝eq\f(4,a4)＝eq\f(8,3)，a6＝eq\f(5,a5)＝eq\f(15,8)，a7＝eq\f(6,a6)＝eq\f(16,5)，a8＝eq\f(7,a7)＝eq\f(35,16).∴eq\f(a6,a8)＝eq\f(15,8)·eq\f(16,35)＝eq\f(6,7).解法二：由题意得，a7·a6＝6，a8·a7＝7，两式相除即得eq\f(a6,a8)＝eq\f(6,7).三、解答题9．已知数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求此数列的通项公式.eq\x(导学号27542262)[解析]由(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0整理，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1).∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·eq\f(a5,a4)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)×…×eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).能力提升一、选择题1．正项数列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，则a4＝eq\x(导学号27542263)(B)A．eq\f(16,5) B．eq\f(2,19)C．eq\f(8,5) D．eq\f(8,7)[解析]由递推关系可得a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19).2．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝eq\x(导学号27542264)(A)A．1 B．1999C．1000 D．－1[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．故选A．3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于eq\x(导学号27542265)(A)A．－1 B．1C．0 D．2[解析]∵an＋1＝aeq\o\al(2,n)－1＝(an＋1)(an－1)，∴a2＝(a1＋1)(a1－1)＝0，a3＝(a2＋1)(a2－1)＝－1，a4＝(a3＋1)(a3－1)＝0，a5＝(a4＋1)(a4－1)＝－1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是eq\x(导学号27542266)(B)A．40个 B．45个C．50个 D．55个[解析]交点个数依次组成数列为1,3,6，即eq\f(2×1,2)，eq\f(2×3,2)，eq\f(3×4,2)，由此猜想an＝eq\f(nn－1,2)，∴a10＝eq\f(10×9,2)＝45.二、填空题5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)，则a6＝－eq\f(14,3).eq\x(导学号27542267)[解析]an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)＝eq\f(2,1－an)，a1＝－2，∴a2＝eq\f(2,1－a1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2,1－a2)＝6，a4＝－eq\f(2,5)，a5＝eq\f(10,7)，a6＝－eq\f(14,3).6．某网络公司，2014年的市场占有率为A，根据市场分析和预测，该公司自2015年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：eq\x(导学号27542268)则该公司2016年的市场占有率为eq\f(7A,4)；写出其中的递推关系式：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A，n＝1,an－1＋\f(A,2n－1)n≥2)).[解析]2014年的市场占有率为A,2015年的市场占有率为A＋eq\f(A,2)，2016年的市场占有率为A＋eq\f(A,2)＋eq\f(A,4)，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式．三、解答题7．(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；eq\x(导学号27542269)(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝eq\f(an,an＋1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．[解析](1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝eq\f(an,an＋1)，∴b1＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)，b3＝eq\f(a3,a4)＝eq\f(3,5)，b4＝eq\f(a4,a5)＝eq\f(5,8)，b5＝eq\f(a5,a6)＝eq\f(8,13).8．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A、B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性.eq\x(导学号27542270)[解析]将A、B之间所有站按序1、2、3、4、5、6、7、8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：站号12345678剩余邮件数7121516151270该数列的图象如图所示．它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递