2017届高考理科数学知识点题组训练题33

题组层级快练(七十四)1.(2016·天津和平区模拟)如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于()A．55° B．60°C．65° D．70°答案C解析如图，连接BD，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵点D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝25°.∴∠DAB＝90°－25°＝65°.故选C.2.如图所示，在半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1.又∠AOB＝90°，所以AD＝eq\r(5).由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即eq\r(5)DE＝3×1，解得DE＝eq\f(3\r(5),5).3.如图所示，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于D，B，若∠A＝45°，则△AEC与△ABD的面积比为()A．2∶1 B．1∶2C.eq\r(2)∶1 D.eq\r(3)∶1答案A解析连接BE，易知△ABD∽△AEC，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°.∴BE＝AB＝a，∴AE＝eq\r(2)a.∴AE2∶AB2＝2a2∶a2.∴AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.4．(2014·天津)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①② B．③④C．①②③ D．①②④答案D解析因为∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，又AE平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠FBD＝∠DBC，所以BD平分∠CBF，结论①正确；易证△ABF∽△BDF，所以eq\f(AB,AF)＝eq\f(BD,BF)，所以AB·BF＝AF·BD，结论④正确；由eq\f(AF,BF)＝eq\f(BF,DF)，得BF2＝AF·DF，结论②正确，选D.5．(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________．答案2解析由切割线定理，知PA2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.6．(2015·湖北)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC＝3PB，则eq\f(AB,AC)＝________．答案eq\f(1,2)解析因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理，知PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)．因为BC＝3PB，所以PA2＝4PB2，即PA＝2PB.由△PAB∽△PCA，所以eq\f(AB,AC)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2).7．(2015·广东)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________．答案8解析由题意得OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，OA＝2，于是PA＝CP＝eq\r(22－（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(15),2).因为∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故eq\f(PD,PA)＝eq\f(PC,PO)，即PD＝eq\f(\f(\r(15),2),\f(1,2))×eq\f(\r(15),2)＝eq\f(15,2)，所以OD＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)＝8.8.如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT＝2，PA＝1，∠P＝60°，则圆O的半径为________．答案eq\r(3)解析连接AT，BT.在△APT中，∠P＝60°，PT＝2，PA＝1，则由余弦定理得AT＝eq\r(3)，∴∠TAP＝90°，∴∠BAT＝90°，∴BT是圆O的直径，∵PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，∴PT2＝PA·PB，∴eq\f(PT,PB)＝eq\f(PA,PT).又∠P为公共角，∴△PAT∽△PTB，∴eq\f(PT,PA)＝eq\f(BT,AT)，得BT＝2eq\r(3)，因此圆的半径为eq\r(3).9．如图，PAB，PCD为圆O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD＝________．答案6解析因为PAB，PCD为圆O的两条割线，所以PA·PB＝PC·PD.因为PA＝5，AB＝7，CD＝11，所以PB＝5＋7＝12，PD＝PC＋CD＝PC＋11，所以5×12＝PC(PC＋11)，PC2＋11PC－60＝0，(PC＋15)(PC－4)＝0.因为PC大于0，所以PC＋15≠0，所以PC－4＝0，PC＝4.因为∠PAC＝∠D(圆内接四边形的任一外角等于它的内对角)，又∠P＝∠P，所以△PAC∽△PDB，所以eq\f(BD,AC)＝eq\f(PB,PC).因为AC＝2，PB＝12，PC＝4，所以eq\f(BD,2)＝eq\f(12,4)，所以BD＝6.10.如图，圆O的直径AB与弦CD交于点P，CP＝eq\f(7,5)，PD＝5，AP＝1，则∠DCB＝________．答案45°解析由相交弦定理可得CP·PD＝AP·PB，∴PB＝eq\f(CP·PD,AP)＝eq\f(\f(7,5)×5,1)＝7.∴直径2R＝AP＋PB＝1＋7＝8，∴半径R＝4.∴OP＝OA－AP＝4－1＝3.连接DO，在△ODP中，OP2＋OD2＝32＋42＝52＝PD2，∴∠POD＝90°.连接BD，由△DOB为等腰直角三角形可得DB＝eq\r(2)R.由正弦定理可得eq\f(DB,sin∠DCB)＝eq\f(DB,sin∠A)＝2R，∴sin∠DCB＝eq\f(DB,2R)＝eq\f(\r(2),2)，由图可知，∠DCB为锐角，∴∠DCB＝45°.11.如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若AD＝2eq\r(3)，AE＝6，则EC＝________．答案3解析如图，连接OE.由切割线定理得AE2＝AD·AB，∴AB＝eq\f(62,2\r(3))＝6eq\r(3)，∴OE＝OD＝OB＝eq\f(1,2)(AB－AD)＝2eq\r(3)，由于E是切点，∴OE⊥AC，又AC⊥BC，∴OE∥BC，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AO,OB)，即eq\f(6,EC)＝eq\f(2\r(3)＋2\r(3),2\r(3))，EC＝3.12.如图，BD是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，直线CE交BD的延长线于A点，BC⊥AE于C点，且∠CBE＝∠DBE.求证：AC是⊙O的切线．答案略证明连接OE，由OE＝OB，得∠OEB＝∠OBE.∵∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB.∴OE∥BC.又BC⊥AE，∴OE⊥AC.∴AC是⊙O的切线．13．(2016·内蒙古赤峰宁城月考)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.若eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).(1)求证：OD∥AE；(2)求eq\f(AF,FD)的值．答案(1)略(2)eq\f(8,5)解析(1)证明：连接BC，设BC交OD于点M.因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.又因为∠OAD＝∠DAE，所以∠ODA＝∠DAE，所以OD∥AE.(2)因为AC⊥BC，且AC⊥DE，所以BC∥DE.所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE＝MD.由eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，设AC＝3x，AB＝5x，则OM＝eq\f(3,2)x.又OD＝eq\f(5,2)x，所以MD＝eq\f(5,2)x－eq\f(3,2)x＝x，所以AE＝AC＋CE＝4x.因为OD∥AE，所以eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,OD)＝eq\f(4x,\f(5,2)x)＝eq\f(8,5).14．(2016·江西六校第二次联考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DG＝GF.求证：(1)D，E，C，F四点共圆；(2)GE⊥AB.答案略证明(1)如图，连接OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2.所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)．因为∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2.又因为∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F四点共圆．(2)延长GE交AB于H.因为GD＝GC＝GF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC.又因为∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠1＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB.15．如图，四边形ABDC内接于圆，BD＝CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．(1)求证：∠EAC＝2∠DCE；(2)若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长．答案(1)略(2)AB＝eq\r(5)－1解析(1)证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD.因为CE是圆的切线所以∠ECD＝∠CBD.所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD.因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD.(2)因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB.因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC.由切割线定理得EC2＝AE·BE，即AB2＝AE·(AE－AB)，即AB2＋2AB－4＝0，解得AB＝eq\r(5)－1.16.(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直径．答案(1)略(2)3解析(1)证明：因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，则eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，从而AB＝3eq\r(2).所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝________．答案32°解析根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，根据∠ABD＝58°可得∠A＝32°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD＝∠A＝32°.2．如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC＝2CE＝2，过E作圆O的切线，A为切点，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为________．答案eq\r(3)解析由切割线定理得AE2＝EC·EB＝1×3＝3，所以AE＝eq\r(3).因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD.因为AE是圆O的切线，所以∠EAC＝∠ABC.因为∠ADC＝∠BAD＋∠ABC，所以∠ADC＝∠BAD＋∠EAC＝∠EAD，所以DE＝AE＝eq\r(3).3.如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，则⊙O的半径等于________．答案1.5解析设⊙O的半径为r，BC与AO交于点D，因为AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，所以AD＝1，所以r2＝2＋(r－1)2，解得r＝1.5.4.如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且eq\f(PB,BC)＝eq\f(1,2)，则eq\f(PA,BC)＝________．答案eq\f(\r(3),2)解析由题意，可设PB＝x，则BC＝2x，根据切割线定理，可得PA2＝PB·PC＝3x2，PA＝eq\r(3)x，所以eq\f(PA,BC)＝eq\f(\r(3),2).5.如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________．答案75°解析∵PE是圆的切线，∴∠PEB＝∠PAC.∵PC是∠APE是平分线，∴∠EPC＝∠APC，根据三角形的外角与内角关系有∠EDC＝∠PEB＋∠EPC，∠ECD＝∠PAC＋∠APC，∴∠EDC＝∠ECD，∴△EDC为等腰三角形．又∠AEB＝30°，∴∠EDC＝∠ECD＝75°，即∠PCE＝75°.6.如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，点C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD＝1，则圆O的半径是________．答案2解析如图所示，连接AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD＝∠BCD＝∠BAD.∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD＝∠CBD，∴∠PDB＝∠CBD＋∠BCD＝∠PBD＋∠PBD＝2∠PBD.又∵PC⊥PB，∴∠PBD＝∠BCD＝∠CBD＝∠BAD＝30°，∠PDB＝60°.由PD＝1，得BD＝2PD＝2.在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD＝2BD＝4，∴圆O的半径为2.7.如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．答案2解析设圆的半径为r，PA＝3，PB＝7，PC＝5－r，PD＝5＋r，由割线定理PA·PB＝PC·PD，得3×7＝(5＋r)(5－r)，解得r＝2.8.已知⊙O1和⊙O2交于点C和点D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A，B两点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE＝2，EA＝1，∠AMB＝45°，那么⊙O2的半径为________．答案eq\f(3\r(2),2)解析由切线定理和割线定理可知，PE2＝EC·ED＝EA·(EA＋AB)，将PE＝2，EA＝1代入，得AB＝3.连接AO2，BO2，由∠AMB＝45°可得△ABO2为等腰直角三角形，所以⊙O2的半径r＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(3\r(2),2).9.如图所示，圆O的两条弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.(1)求证：△DEF∽△EAF；(2)如果FG＝1，求EF的长．答案(1)略(2)1解析(1)证明：因为EF∥BC，所以∠