新教材高中数学第5章三角函数21任意角三角函数的定义课件湘教版必修第一册

5.2.1任意角三角函数的定义第5章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切函数)的定义.(数学抽象)2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(数学运算)3.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(数学抽象)4.能利用三角函数线的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.(数学抽象)5.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.(直观想象)思维脉络课前篇自主预习情境导入摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱.乘客坐在摩天轮座舱中慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.“天津之眼”是世界上唯一的桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.摩天轮直径为110米,轮外装挂48个360度透明座舱,可同时供384个人观光,摩天轮旋转一周所需时间为28分钟.若你现在坐在座舱里,从某初始位置出发,过2分钟后,你离地面的高度是多少?过5分钟呢?过t分钟呢?这是一个函数关系吗?有什么特点?知识梳理知识点一:三角函数的概念1.概念

前提如图,设α是一个任意角,在角α的终边上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义如下:OP=r=2.三角函数的解析式和定义域

三角函数解析式定义域正弦函数y=sinαR余弦函数y=cosαR正切函数y=tanα

微思考三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关?提示

三角函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.微练习

(2)(多选题)若角α的终边过点(0,1),则下列说法正确的是(

)A.sinα=-1B.cosα=0C.tanα不存在D.cosα=1答案

(1)B

(2)BC知识点二:三角函数线的概念

前提设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O,角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为D,过点A(1,0)作单位圆的切线x=1,如果tanα存在,设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1,y1)定义正弦线有向线段DP称为角α的正弦线,DP=y=sinα余弦线有向线段OD称为角α的余弦线,OD=x=cosα正切线有向线段AT称为角α的正切线,AT==tanα三角函数线正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线微思考(1)如果角α的终边落在坐标轴上,你能否发现其正弦线、余弦线的变化特点?提示

当角α的终边在x轴上时,点P与点D重合,这时正弦线变成了一点,它的数量为零,而余弦线的数量OD=1或-1.当角α的终边在y轴上时,余弦线变成了一点,它的数量为零,而正弦线的数量DP=1或-1.(2)如何根据三角函数线确定三角函数值?提示

三角函数线与坐标轴正方向同向则三角函数为正值,反向则三角函数为负值,而三角函数的绝对值等于三角函数线的长度.知识点三:三角函数值的符号

sinα,cosα,tanα在各个象限的符号

角的终边在坐标轴上时不适合,要利用定义求值

名师点析

1.正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.2.三角函数值符号的口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.微练习判断下列各三角函数值的符号:(1)sin188°;(3)tan160°.解

(1)因为188°是第三象限角,所以sin

188°<0.(3)因为160°是第二象限角,所以tan

160°<0.课堂篇探究学习探究一利用三角函数的定义求三角函数值分析(1)根据点P的坐标计算出OP,利用三角函数的定义及已知条件求出x后,利用正弦、正切的定义求解;(2)根据角的终边所在的直线设出角的终边上异于原点的一点,利用三角函数的定义求解.延伸探究1将本例(2)的条件“x+y=0(x<0)”改为“y=2x”,其他条件不变,结果又如何?延伸探究2将本例(2)的条件“落在直线

x+y=0上”改为“过点P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.反思感悟

(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:①在α的终边上任选特殊点的坐标,求出点到原点的距离后利用定义求三角函数值;(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.探究二三角函数值符号的运用1.根据角的象限确定三角函数值的符号例2判断下列各式的符号:(1)sin105°cos230°;分析先根据每个三角函数的特征及角所在的象限确定每个三角函数值符号后,再确定积的符号.解

(1)∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.由-672°20'=47°40'+(-2)×360°,可知-672°20'是第一象限角,所以tan(-672°20')>0.反思感悟

根据确定的角判断其相应三角函数值的符号,首先利用终边相同的角将所给角转化为[0,2π)内的角,判断其所在象限后,结合三角函数特征确定符号.2.根据三角函数值的符号确定角所在的象限

A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角

答案

C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二、第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.要点笔记根据三角函数值的符号确定角所在的象限,应分别根据三角函数值的符号确定所在象限后取交集.3.含绝对值的三角函数值域

A.3 B.-3 C.1 D.-1答案

BC要点笔记涉及三角函数的绝对值问题,求解时要根据角所在的象限,去掉绝对值号分类讨论.变式训练1(1)若角θ满足sinθ<0,tanθ<0,则角θ是(

)A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.第二象限角或第四象限角A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(3)判断下列各式的符号:①sin105°·cos230°;答案

(1)B

(2)C解析

(1)sin

θ<0时,角θ可以是第三、四象限角,或终边在y轴负半轴上;又tan

θ<0时,角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故选B.(3)解

①105°,230°分别为第二、第三象限角,所以sin

105°>0,cos

230°<0,所以sin

105°·cos

230°<0.探究三利用三角函数线定义求三角函数值分析根据三角函数线的定义作出三角函数线并求其长度,根据长度与方向求三角函数值.反思感悟

1.作正弦线、余弦线的步骤:(1)在坐标系中,作角α的终边与单位圆交点P;(2)过点P作x轴的垂线,设垂足为D,得正弦线DP、余弦线OD.2.作正切线的步骤:过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.变式训练2分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并求出它们的正弦、余弦和正切.(1)(2)探究四利用三角函数线比较三角函数值的大小分析作出角的终边与单位圆的交点,根据角的特征作出角的相应三角函数线,根据三角函数线的长度与方向比较大小.解

作出所给角的三角函数线如图所

反思感悟

利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①准确作出角的终边与单位圆的交点并作出相应的三角函数线;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.变式训练3(1)若a=sin2,b=cos2,则a,b的大小关系为(

)A.a<b B.b<aC.a=b D.不能确定(2)sin4,cos4,tan4的大小关系是(

)A.sin4<tan4<cos4 B.tan4<sin4<cos4C.cos4<sin4<tan4 D.sin4<cos4<tan4答案

(1)B

(2)D解析

(1)因为

<2<π,作出2弧度角的正弦线、余弦线如图所示分别为DP,OD.易知DP>0,OD<0,因此sin

2>cos

2.探究五利用三角函数线解三角不等式例7在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.反思感悟

利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sin

x≥b,cos

x≥a(或sin

x≤b,cos

x≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围;对于tan

x≥c(或tan

x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图象可得.变式训练4用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合.素养形成利用三角函数线证明与三角函数有关的不等式由于三角函数线既有方向又有长度,因此可以借助三角函数线的几何特征,证明一些与三角函数有关的不等式.证明如图所示.设角α的终边与单位圆相交于点P,单位圆与x轴正半轴的交点为A,过点A作圆的切线交OP的延长线于T,过P作PD⊥OA于D,连接AP,则在Rt△POD中,sin

α=DP,在Rt△AOT中,tan

α=AT.又根据弧度制的定义,有当堂检测1.对于三角函数线,下列说法正确的是(

)A.对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线B.有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C.任意角的正弦线、正切线总是存在的,但余弦线不一定存在D.任意角的正弦线、余弦线总是存在的,但正切线不一定存在答案

D解析

终边在y轴上的角的正切线不存在,故A,C错,对任意角都能作正弦线、余弦线,故B错,因此选D.2.已知角θ的终边过点(4,-3),则cosθ=(

)答案

A3.若tanθsin2θ<0,则角θ在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限答案

C解析

因为tan

θsin2θ<0,所以tan

θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.4.若角α的正弦线长度为0,则它的余弦线的长度为

.

答案

1