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文档简介

规范答题提升课(四)立体几何综合问题【考题】(12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图,ABCD-A1B1C1D1的底面是直四棱柱①

,ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形②

,AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°③,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.④

(1)证明:MN∥平面C1DE.(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

【命题意图】该题主要考查直棱柱的几何性质、空间直线和平面平行的证明、二面角的求解以及空间向量的基本运算等,考查转化与化归、数形结合的数学思想以及逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.【模板流程与说明】【规范解答】(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.·····················2分又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1

DC,可得B1C

A1D,故ME

ND,··········3分因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.··········4分又MN⊄平面EDC1,ED⊂平面C1DE,所以MN∥平面C1DE. ··········5分(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, ····················6分则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,,-2),=(-1,0,-2),=(0,-,0). ············7分设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则m=(,1,0). ····················8分设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,

所以可取n=(2,0,-1). ····················10分于是cos<m,n>=, ····················11分所以二面角A-MA1-N的正弦值为. ····················12分【得分要点】送分点:三角形中位线的性质——中位线与底边平行且等于底边长的一半,送分的解题步骤易错点:漏条件“MN⊄平面EDC1”扣1分,这个条件也是线面平行判定定理中的一个关键条件.得分点:建系方式不同,也可以以直线DC作为y轴建立坐标系,只需把点在对应坐标系中的坐标求正确即可.易错点:空间向量的坐标易求错,根据错误的向量坐标求结果都不得分.为避免此类失误,可把相应点的坐标标注在图中.得分点:向量坐标是通过赋值所得到的,m的坐标也可以为(3,,0),只要与(,1,0)共线的非零向量即可.得分点:n的坐标也可以多种形式.得分点:一般先求出两个平面的法向量的夹角,然后再进行转化.该步属于解答的必需过程,漏掉则扣1分.易错点:将两个向量的夹角转化为所求二面

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