高数复习详解

极限运算法则两个重要极限等价无穷小代替连续性洛必达法则分段函数分段点极限一元函数极限极限概念计算计算概念；几何意义微分学一元函数微分学导数微分计算概念；连续、可导、可微的关系（公式；法则；隐函数；对数法）应用（单调性、极值、凹凸性、拐点）换元法；分部法不定积分积分学计算概念一元函数积分学定积分计算概念（公式；换元；分部；有理函数）应用性质积分上限函数；微积分基本定理（微元法；面积；体积；弧长）第一章函数与极限

重要内容2.两个重要极限3.单侧极限与双侧极限的关系1.极限的概念及运算法则、极限存在准则（理解，在求极限时会应用）推论2

有限个无穷小的乘积也是无穷小

性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小

性质1

有限个无穷小的和也是无穷小

4.无穷小的性质推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小

如：

（和重要极限区分）闭区间上连续函数的性质：a.最大值最小值定理b.介值定理

(零点定理)5.函数的连续性与间断点函数在处连续第二章导数与微分

基本内容1.导数概念如果存在,在x0

处可导,或称y=f(x)在x0

处有导数。该极限值就是f(x)在点x0

处的导数，记为则称函数

y=f(x)可导连续2.基本初等函数的导数公式特别地，3.四则运算法则4.反函数的求导法则:6.隐函数的求导法

把方程两边分别对x求导数

然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.若x=j(t)和y=y(t)都可导,

则)()(ttdxdyjy¢¢=.

对数求导法适用于求幂指函数y

[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在y

f(x)的两边取对数

然后用隐函数求导法求出y的导数

对数求导法

例

求y

xsinx

(x>0)的导数

上式两边对x

求导

得两边取对数

得lny

sinx

lnx

微分的定义函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导，并且函数在点x0的微分一定是

dy

f

(x0)Dx

可微与可导的关系y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

求函数值的近似公式

f(x0

Dx)

f(x0)

f

(x0)Dx第三章微分中值定理与导数应用

重要内容1.微分中值定理罗尔定理

如果函数y

f(x)在闭区间[a

b]上连续

在开区间(a

b)内可导

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一点x

(a

b)

使得f

(x)

0

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

在开区间(a

b)内可导

那么在(a

b)内至少有一点x

使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)

拉格朗日中值定理2.洛必达法则“零比零”型未定式的定值法“无穷比无穷”型未定式的定值法其它类型未定式的定值法例解：原式=方法:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的步骤:其它类型未定式的定值法步骤:例=0.方法:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的其它类型未定式的定值法步骤:其它类型未定式的定值法1.2.例解：取对数得而所以，原极限3.泰勒公式定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

4.函数单调性的判定法只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.5.拐点

设函数f(x)在x0处连续

且在(a

x0)

(x0

b)内可导

(1)如果在(a

x0)内f

(x)

0

在(x0

b)内f

(x)

0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(a

x0)内f

(x)<0

在(x0

b)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)内

f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

定理2(第一充分条件)

确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f

(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f

(x)的符号;

(4)确定出函数的所有极值点和极值.6.极值定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)当f

(x0)

0时

函数f(x)在x0处取得极大值

(2)当f

(x0)

0时

函数f(x)在x0处取得极小值.

7.最值闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得.

定义为曲线在点M处的曲率.7.曲率曲率计算公式为曲率半径1.不定积分的概念

在区间I上,

函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作第四章不定积分

重要内容2.基本积分表凑微分换元计算积分变量还原（凑微分法）3.第一类换元法不定积分的计算方法一第一类换元法（凑微分法）换元法分部积分法如果(1)(2)则有换元公式是单调可导函数；易求得，4.第二类换元积分法三角代换

(1)如果被积函数含有可令进行代换去掉根式；(2)分母的次方较高或比较复杂时,常采用倒代换无理代换和倒代换4.分部积分公式可用分部积分法的积分小结

(1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:

(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:

(3)被积函数为指数函数与三角函数的积:（先积三角函数或指数函数）（先积幂函数）（此时，一般要用到循环积分法）

例解

例定积分的定义1.定积分定义第五章定积分

重要内容若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,

b]上的一个原函数,

则定理3(牛顿

莱布尼茨公式)2.定积分的计算积分上限的函数及其导数积分上限的函数

定理1(积分上限函数的导数)在[a

b]上可导

并且设函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

x

[a,

b],

我们称为积分上限函数.

思考例如，（一）定积分的换元法假设函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

函数x

(t)满足条件:

(1)

(a)

a,

(

)

b;

(2)

(t)在[

,

](或[

,

])上具有连续导数,

且其值域不越出[a,

b],

则有定理——换元公式.注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限；2.不必变量还原.例2

解或提示：提示：换元一定要换积分限

不换元积分限不变

（对应第一类换元法）（二）分部积分法：

解

例8

若f(x)在[

a,

a]上连续且为偶函数,

则

若f(x)在[-a,

a]上连续且为奇函数,

则=ò-aadxxf)(0

反常积分的计算

如果F(x)是f(x)的原函数

则有

一、无穷限的反常积分

二、无界函数的反常积分反常积分的计算1.f(x)在(a,

b]上的反常积分为无界函数反常积分的定义

设函数f(x)在区间(a,

b]上连续,

点a为f(x)的瑕点.

函数f(x)在(a,

b]上的反常积分定义为第六章定积分的应用

重要内容[f上(x)

f下(x)]dx,1.平面图形的面积

设平面图形由上下两条曲线y

f上(x)与y

f下(x)及左右两条直线x

a与x

b所围成.

因此平面图形的面积为

在点x处面积元素为

讨论：

由左右两条曲线x

j左(y)与x

j右(y)及上下两条直线y

d与y

c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：

面积为

面积元素为[j右(y)

j左(y)]dy,求平面图形面积的步骤：(1)画图；确定在x轴上或y轴上的投影区间；(3)确定上下曲线或左右曲线；(4)计算积分.

例

计算抛物线y2

x与y

x2所围成的图形的面积.

解

(2)确定在x轴上的投影区间:(4)计算积分[0,1];(1)画图;旋转体都可以看作是由连续曲线y

f(x)、直线x

a、x

b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.