《高等数学》第4章不定积分教学课件

第4章不定积分4-1不定积分的概念与性质

4-2直接积分法

4-3换元积分法4-4分部积分法

第4章

不定积分

4-1不定积分的概念与性质

一、原函数和不定积分的概念二、不定积分的性质三、不定积分的几何意义4-1不定积分的概念与性质

1.原函数

定义4.1

设是定义在区间内的已知函数．如果存在函数，使对于任意的，都有或，则称是在上的一个原函数．一、原函数和不定积分的概念4-1不定积分的概念与性质

不难看出，，(为任意常数)都是的原函数．

例如

设函数，．由于函数满足，所以是的一个原函数．

由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数．4-1不定积分的概念与性质

一般，如果是的一个原函数，则的全部原函数就是(为任意常数)．

那么一个函数满足什么条件,它的原函数一定存在呢?

如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该区间上f(x)的原函数一定存在.4-1不定积分的概念与性质

2.不定积分的定义

定义4.2

函数的全部原函数，称为的不定积分，记作

．其中“”称为积分号,称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式．

如果是的一个原函数，则（为任意常数）．其中称为积分常数．4-1不定积分的概念与性质

4-1不定积分的概念与性质

解当时，，所以当时，，所以．．所以．4-1不定积分的概念与性质

二、不定积分的性质性质1不定积分与求导数或微分互为逆运算．(2)或．(1)或．性质2被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前．(，常数).4-1不定积分的概念与性质

性质3

两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和．．一般地，．4-1不定积分的概念与性质

三、不定积分的几何意义

如果是的一个原函数，则的不定积分．对于每一给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条积分曲线．由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线．

4-1不定积分的概念与性质

三、不定积分的几何意义4-1不定积分的概念与性质

4-2直接积分法

根据不定积分的定义，由导数的基本公式可得到积分的基本公式如下：4-2直接积分法

这13个公式必须熟记，它们是求积分的基础.下面举例说明利用基本积分公式和积分的性质求不定积分的方法，即直接积分法.4-2不定积分的直接积分法

在进行不定积分的计算时，两个不定积分应该各含一个积分常数，但由于任意常数的和仍为任意常数，所以在整个不定积分的运算结果中只需写一个任意常数即可．4-2不定积分的直接积分法

4-2不定积分的直接积分法

4-2不定积分的直接积分法

4-2不定积分的直接积分法

4-2不定积分的直接积分法

4-3换元积分法

一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法4-3换元积分法

一、第一类换元积分法先看一个例子，求分析这个积分用直接积分法是不易求出的，但可以“凑”成基本积分公式的形式，比较

ex的指数相差一个常因子,因此,凑上一个常数2上述积分就可以成为4-3换元积分法

再变量代换，设2x=u，那么上述积分就为然后再回代原来的变量x，得

第一类换元积分法就是将所求积分在形式上“凑”成基本积分公式的积分，因此这种积分也叫做“凑”微分法.具体理论方法如下4-3换元积分法

定理4.1（第一类换元积分法）4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

熟练之后，可以省去中间的换元过程．

以上例题解题方法都是第一类换元法，从中可以看到，其解题精髓是找到u=φ(x),将所求积分的被积函数g(x)转化为f(φ(x))和φ′(x)的积，然后凑成基本积分公式的形式，当熟练后，对不复杂的题目就不必设中间变量u，把u记在心里.

为了能够熟练地掌握第一类换元积分法的技巧,下面的微分式子要熟记.4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

进行不定积分的运算时，有时被积函数需要先做适当变形，然后再运用第一换元积分法进行求解．

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

二、第二类换元积分法

如果不定积分不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量，并选择代换，其中可导，且连续，将不定积分化为前面的第一类换元积分法是把所求积分先凑成基本积分公式的形式,然后作代换u=φ(x).但有些积分并不能很容易地凑出微分.4-3换元积分法

如果容易求得，而的反函数存在且可导，则，，

再将代入上面的，回到原积分变量，有

这类求不定积分的方法，称为第二类换元法．4-3换元积分法

定理4.2（第二类换元积分法）

4-3换元积分法

1．无理代换

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

2．三角代换

4-3换元积分法

例18

求．

解设，则，．所以4-3换元积分法

．由，所以．于是因此，所求不定积分．4-3换元积分法

．

例19

求．

解设，则，．所以为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形．4-3换元积分法

所以，其中.，4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-3换元积分法

4-4分部积分法

虽然换元积分法能解决许多积分的计算，但对于被积函数是两个函数的积的形式，形如等积分就难于求出，为了解决这类问题，本节将介绍另一种求积分的主要方法——分部积分法.4-4分部积分法

设，具有连续导数．根据乘积的微分公式即．，

对上式两边积分，可得．4-4分部积分法

4-4分部积分法

4-4分部积分法

解

4-4分部积分法

解

4-4分部积分法

4-4分部积分法

解

4-4分部积分法

解

4-4分部积分法

解