《高等数学》第3章导数应用教学课件

第3章导数应用第3章

导数应用3-1微分中值定理

3-2洛必达法则

3-3函数单调性判别法3-4函数的极值3-6函数的最大值和最小值

3-5曲线的凹凸和拐点

3-7导数在经济分析中的应用

3-1微分中值定理一、罗尔定理

如果函数满足条件：（1）在上连续；（2）在内可导；（3），定理3.1（罗尔定理）则在区间内至少存在一点，使．3-1微分中值定理罗尔定理的几何意义是:

如果连续曲线除端点外处处都有不垂直于x轴的切线,且两端点处的纵坐标相等,那么其上至少有一条平行于x轴的水平切线

注意罗尔定理的三个条件只是充分条件,不是必要条件.即若满足定理中三个条件,结论一定是成立的,反之,若不满足定理的条件,结论仍然有可能成立.3-1微分中值定理3-1微分中值定理3-1微分中值定理定理3.2

则在区间内至少有一点，使得.

如果函数满足条件：

(1)在上连续；

(2)在内可导；罗尔定理中,条件f(a)=f(b)比较特殊,若把此条件去掉并相应地改变结论,就得到十分重要的---二、拉格朗日Lagrange定理3-1微分中值定理拉格朗日中值定理的几何意义:

如果连续曲线除端点外处处都有不垂直于x轴的切线,那么其上至少有一条平行于连接两端点的直线的切线.3-1微分中值定理3-1微分中值定理3-1微分中值定理推论1

如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在内是一个常数.推论2

如果函数与函数在区间

内的导数处处相等，即，则与在区间内只相差一个常数.即．

3-1微分中值定理

3-1微分中值定理

3-1微分中值定理

3-2洛必达法则

若与满足：定理3.3洛必达法则Ⅰ

(2)与在点的某个邻域内(点可除外)可导，且；

(1)，；

(3)（或）．则（或）．3-2洛必达法则

解由洛必达法则得

3-2洛必达法则

解由洛必达法则得

3-2洛必达法则

解

3-2洛必达法则

解

3-2洛必达法则

3-2洛必达法则

3-2洛必达法则

3-2洛必达法则

3-2洛必达法则

若与满足：定理3.4洛必达法则Ⅱ

(1)，；

(2)与在点的某个邻域内(点可除外)可导，且；

(3)或.则或．3-2洛必达法则

解解

=3-2洛必达法则

解

3-2洛必达法则

三、其它未定式3-2洛必达法则

解

3-2洛必达法则

解

3-2洛必达法则

解

3-3函数单调性判别法第一章已经给出了函数单调性的定义,本节介绍利用导数判定函数单调性的方法．先从几何直观上观察一下:容易看到,当函数单调递增时,曲线是上升的,此时其上每一点处的切线与ｘ轴正方向的夹角都是锐角,切线的斜率大于零,也就是说在相应点处的导数大于零；相反地,当函数单调递减时,曲线是下降的；其上每一点处的切线与ｘ轴正方向的夹角都是钝角,切线的斜率小于零,也就是说在相应点处的导数小于零.一般地,有判别定理：3-3函数单调性判别法

(1)如果在内，，那么函数在内单调增加.

(2)如果在内，，那么函数在内单调减少．定理3.5（函数单调性判定）设函数在上连续，在

内可导，3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法判别函数增减性的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出使=0和

不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域分割成几个子区间.（3）确定

在各个子区间内的符号，从而判定函数的单调性.※注意

有的可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍为单调增加（或减少）．3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-4函数的极值

设函数在区间有定义,.如果在某个邻域内

(1)，则称为函数的极大值，并且称点是的极大值点.

(2)

,则称为函数的极小值，并且称点是的极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数的极值点.函数的极值仅仅是在某一点的近旁而言的,它是局部性概念.在一个区间上,函数可能有几个极大值与几个极小值，甚至有的极小值可能大于某个极大值.

极值与水平切线的关系:

在函数取得值处（该点可导）,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值3-4函数的极值定理3.7(极值存在的必要条件)如果

在点处取得极值且在点处可导,则

.说明：（1）定理3.7的几何解释是：可微函数的图形在极值点处有水平切线.(2)定理3.7的条件仅仅是取得极值的必要条件，但不是充分条件.3-4函数的极值使

为零的点称为函数f(x)的驻点.可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点.但函数f(x)的驻点却不一定是极值点.

定理3.7是对函数在点x0处可导而言的,在导数不存在的点,函数可能取得极值,也可能没有极值.总之,函数的极值点必在函数的驻点或连续不可导的点中取得，但是，驻点或导数不存在的点不一定是函数的极值点.

下面介绍函数极值的充分条件，给出求函数的极值的具体方法.3-4函数的极值3-4函数的极值应用定理3.7、3.8求函数极值点和极值的步骤如下：3-4函数的极值3-4函数的极值3-4函数的极值定理3.9(极值第二充分条件)设函数在点处有二阶导数，且，那么

(1)若，则函数在点处取得极大值；

(2)若，则函数在点处取得极小值；3-4函数的极值3-4函数的极值3-5曲线的凹凸和拐点

在研究函数图形特性时,只知道它的上升和下降性质是不够的,还要研究曲线的弯曲方向问题.讨论曲线凹凸性就是讨论曲线的弯曲方向问题，

定义3.1如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称此曲线弧是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称此曲线弧是凸的.3-5曲线的凹凸和拐点一、曲线的凹凸

3-5曲线的凹凸和拐点如何判别曲线在某一区间上的凹凸性呢？若曲线是凸弧，则当x由小变大时，x轴与曲线的切线的夹角是减小的，即切线的斜率是递减的；若曲线是凹弧，则当x由小变大时，x轴与曲线的切线的夹角是增大的，即切线的斜率是递增的.从而我们可以根据函数的一阶导数是递增的还是递减的，或根据原来函数的二阶导数是正的还是负的来判别曲线弧的凹凸性.3-5曲线的凹凸和拐点

(2)若时，恒有，则曲线在上的图形是凸的.

(1)若时，恒有，则曲线在上的图形是凹的；定理3.6（曲线凹凸性的判别法）

设函数在闭区间上连续，且在区间内存在二阶导数，3-5曲线的凹凸和拐点3-5曲线的凹凸和拐点连续曲线

上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.3-5曲线的凹凸和拐点二、曲线的拐点3-5曲线的凹凸和拐点3-5曲线的凹凸和拐点3-6函数的最值

在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,则函数的最大值和最小值一定存在，函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a,b)内取得,在这种情况下，最大值一定是函数的极大值.

因此,函数在闭区间［a,b］上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.

同理,函数在闭区间［a,b］上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.一、函数在闭区间上的最大值和最小值的求法3-6函数的最值闭区间［a,b］上最大值和最小值的求法和步骤：（1）求出函数f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点（它们可能是极值点）;

（2）求出驻点和不可导点以及端点处的函数值;

（3）比较这些函数值的大小,其中最大的和最小的就是函数f(x)的最大值和最小值.3-6函数的最值

例13-6函数的最值3-6函数的最值二、实际问题中的最大值和最小值

在解决实际问题时，应注意以下结论.3-6函数的最值例3设有一块边长为a的正方形铁皮，从四个角各截去大小一样的小正方形，做一个无盖的方匣，问截去边长为多少的小正方形时能使做成的方匣的容积最大？3-6函数的最值3-6函数的最值