江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类

第1页（共1页）江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2020•无锡）小王毕业后自主创业，开店加工出售某食品．现小店每天的固定成本（房租、水电费等）为200元，该食品的加工成本为每斤5元．若每天加工的原材料超过100斤，则每天需增加人工成本300元，该食品市场售价为每斤35元．若每天购买原材料不超过100斤，则进货价为每斤20元；若每天购买原材料超过100斤，则进货价为每斤15元．为加强小店的促销力度，小王制定了如下促销方案：当某天购买原材料不超过100斤时，对超过60斤的部分实行八折优惠销售；当某天购买原材料超过100斤时，对全部食品实行八折优惠销售．若加工过程中无损耗，且每天购买原材料加工的食品，当天可以全部售完．设小店每天购买原材料x斤（60≤x≤180），每天的纯利润为W元．（纯利润＝销售收入﹣成本）（1）写出每天纯利润W与每天购买原材料x的函数表达式；（2）每天购买的原材料x在什么范围内，当天的纯利润可以不低于460元？二．二次函数的应用（共1小题）2．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？三．二次函数综合题（共3小题）3．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C（0，m）的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝2AC．（1）若A点的横坐标为﹣1，①求m的值；②点P在直线AB下方的二次函数图象上，求△PAB面积的最大值；（2）当m＝6时，直线AB与x轴交于点D，E为线段CD上一动点，过点E垂直于CD的直线交y轴于点F，将△COD在直线EF上方的部分沿EF向下折叠．设CE＝t，折叠后与△COD重叠部分的面积记为S，求S与t之间的函数表达式．4．（2020•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A．（1）求a的值；（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，△ABC面积最大？请求出此时C点的坐标．（3）过点（0，﹣1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PDE始终为等腰三角形．请你猜测点P的坐标，并给出证明过程．猜测：点P的坐标为．证明：5．（2022•无锡）如图，二次函数y＝的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），点C（0，3），点E在对称轴上．（1）求A、B两点坐标；（2）设直线AC与抛物线的另一个交点为D，求点D坐标；（3）设E关于直线BD、CD的对称点分别为F、G，求以GF为直径的圆面积的最小值．四．四边形综合题（共2小题）6．（2021•无锡）如图，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，G在AD上，AG＝2cm，点P从点G出发，以1cm/s的速度沿GD运动，同时点Q从点B出发以相同速度沿BC运动，当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动．设点A关于直线PQ的对称点为E，运动时间为t（s）．（1）①求tan∠EAD的值；②点E运动路径长是．（请直接写出答案）（2）t为何值时，△PDE为直角三角形？7．（2020•无锡）已知菱形ABCD中，BD＝cm，tan∠ADB＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点A出发，以cm/s的速度沿A→B→C→D运动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．（1）求菱形的周长；（2）当t＝1时，求PQ的长；（3）若△APQ的面积为S，写出S（cm2）与t（s）的函数表达式．五．切线的性质（共1小题）8．（2020•无锡）如图，PC是⊙O的切线，点C为切点．点A为⊙O上一点，AC＝OA＝2，∠APC＝60°．（1）求阴影部分的面积；（2）连接OP，求sin∠OPA的值．六．作图—应用与设计作图（共1小题）9．（2022•无锡）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC的比称为黄金比，它们的比值为．请在图2中完成相应的问题：已知，∠MON＝60°，点A在OM边上，OA＝4．（1）请在ON边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使得OB与OA的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹）（2）△AOB的面积＝．七．作图-轴对称变换（共2小题）10．（2021•无锡）（1）如图甲，6×6的网格中，△ABC的顶点都是格点，AD是△ABC的高，E是AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图，画图过程用虚线表示：①画出点E关于AD的对称点F；②在AB上画点G，使DG＝DB．（2）如图乙，已知直线l和直线l外一点P，请你用无刻度的直尺和圆规在直线l上找一点A，使PA所在直线与直线l的夹角为60°．（不写作法，保留作图痕迹）11．（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为（结果保留一位小数）；（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为（如需画草图，请使用图3）．八．旋转的性质（共1小题）12．（2022•无锡）如图1，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'位置，设AC'交直线CD于点M．（1）当点B'恰好落在DC边上时，求△AB'C'与矩形ABCD重叠部分的面积；（2）如图2，当点C、B'、C'恰好在一直线上时，求DM的长度．九．频数（率）分布直方图（共2小题）13．（2021•无锡）某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况，加强学生的安全防范和自我保护意识，对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动．用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图：初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表成绩（分）频数频率50≤x＜6030.0260≤x＜7012a70≤x＜80450.380≤x＜90b0.490≤x＜10030d（1）表格中，a＝，b＝；（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后标注相应的数据）（3）规定成绩80分以上（含80分）的同学成为“安全明星”，则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人？14．（2020•无锡）为了调查某市噪音污染情况，该市环保局抽样调查了若干个噪声测量点的噪声声级，并根据A、B、C、D、E、F六个级别，绘制了两幅不完整的统计图：（1）此次抽样共调查了个噪音测量点；（2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）（3）在扇形统计图中，噪声声级C所对应的圆心角的度数为°．一十．列表法与树状图法（共1小题）15．（2021•无锡）学校开展学生会主席竞选活动，最后一轮是演讲环节，抽签方式如下：每位选手分别从标有“A”、“B”内容的签中随机抽取一个，就抽取的内容进行演讲．现有小明、小亮和小丽三名选手，求出下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列举”等方法写出分析过程）（1）三个选手抽中同一演讲内容；（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”．

江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2020•无锡）小王毕业后自主创业，开店加工出售某食品．现小店每天的固定成本（房租、水电费等）为200元，该食品的加工成本为每斤5元．若每天加工的原材料超过100斤，则每天需增加人工成本300元，该食品市场售价为每斤35元．若每天购买原材料不超过100斤，则进货价为每斤20元；若每天购买原材料超过100斤，则进货价为每斤15元．为加强小店的促销力度，小王制定了如下促销方案：当某天购买原材料不超过100斤时，对超过60斤的部分实行八折优惠销售；当某天购买原材料超过100斤时，对全部食品实行八折优惠销售．若加工过程中无损耗，且每天购买原材料加工的食品，当天可以全部售完．设小店每天购买原材料x斤（60≤x≤180），每天的纯利润为W元．（纯利润＝销售收入﹣成本）（1）写出每天纯利润W与每天购买原材料x的函数表达式；（2）每天购买的原材料x在什么范围内，当天的纯利润可以不低于460元？【答案】（1）当60≤x≤100时，W＝3x+220；当100＜x≤180时，W＝8x﹣500；（2）80≤x≤100或120≤x≤180时，当天的纯利润可以不低于460元．【解答】解：（1）当60≤x≤100时，W＝35×0.8（x﹣60）+35×60﹣（20+5）x﹣200＝3x+220；当100＜x≤180时，W＝35×0.8x﹣（15+5）x﹣300﹣200＝8x﹣500；（2）当60≤x≤100时，3x+220≥460，即x≥80，∴80≤x≤100；当100≤x≤180时，8x﹣500≥460，即x≥120，∴80≤x≤100或120≤x≤180时，当天的纯利润可以不低于460元．二．二次函数的应用（共1小题）2．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？【答案】（1）若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；（2）当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；（2）若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，根据题意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，由二次函数性质可知，当x＝4时，y的最大值为6400元；若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，根据题意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，由二次函数性质可知，当x'＝5时，y'的最大值为6250元；综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．三．二次函数综合题（共3小题）3．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C（0，m）的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝2AC．（1）若A点的横坐标为﹣1，①求m的值；②点P在直线AB下方的二次函数图象上，求△PAB面积的最大值；（2）当m＝6时，直线AB与x轴交于点D，E为线段CD上一动点，过点E垂直于CD的直线交y轴于点F，将△COD在直线EF上方的部分沿EF向下折叠．设CE＝t，折叠后与△COD重叠部分的面积记为S，求S与t之间的函数表达式．【答案】（1）①m＝2；②S△PAB的最大值为；（2）S＝．【解答】解：（1）①如图1，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，则AG∥BH，∴△ACG∽△BCH，∴＝，∵A点的横坐标为﹣1，∴AG＝1，∵BC＝2AC，∴＝，∴BH＝2，∴B点的横坐标为2，∵A、B点均在抛物线y＝x2上，∴A（﹣1，1），B（2，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2，∵点C（0，m）在直线y＝x+2上，∴m＝2；②如图2，设P（n，n2），过点P作PK∥y轴交AB于点K，则K（n，n+2），∴PK＝n+2﹣n2，∴S△PAB＝×（xB﹣xA）×PK＝×3（n+2﹣n2）＝（n﹣）2+，∵＜0，∴当n＝时，S△PAB的最大值为；（2）设A（﹣a，a2），B（2a，4a2），且a＞0，∵m＝6，∴直线AB过点C（0，6），∴设直线AB的解析式为y＝k′x+6，则，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+6，∴D（﹣2，0），在Rt△COD中，CD＝＝＝4，当0＜t≤2时，△CEF翻折后得到△C′EF，此时C′落在线段CD上，如图3，∴折叠后与△COD重叠部分为△C′EF，∵△CEF≌△C′EF，∴S＝S△C′EF＝S△CEF，∵∠OCD＝∠ECF，∠COD＝∠CEF＝90°，∴△COD∽△CEF，∴＝，即＝，∴EF＝t，∴S＝S△CEF＝CE•EF＝t×t＝t2；当2＜t≤3时，如图4，翻折后C′落在线段CD的延长线上，设C′F与x轴交于点G，则重叠部分为四边形DEFG，∵tan∠CDO＝＝＝，∴∠CDO＝60°，∴∠DCO＝30°，∵EC＝EC′＝t，∠DGC′＝60°﹣30°＝30°＝∠EC′F，∴C′D＝DG＝2t﹣4，过点C′作C′H⊥x轴于点H，则C′H＝C′D•sin60°＝（2t﹣4）×＝t﹣6，∴S＝S△CEF﹣S△C′DG＝t2﹣×（2t﹣4）×（t﹣6）＝t2+12t﹣12；当3＜t时，如图5，设EF与x轴交于点T，则DE＝CD﹣CE＝4﹣t，∴ET＝DE•tan60°＝（4﹣t），∴S＝S△DET＝DE•ET＝×（4﹣t）×（4﹣t）＝t2﹣12t+24；综上所述，S与t之间的函数表达式为S＝．4．（2020•无锡）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A．（1）求a的值；（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，△ABC面积最大？请求出此时C点的坐标．（3）过点（0，﹣1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PDE始终为等腰三角形．请你猜测点P的坐标，并给出证明过程．猜测：点P的坐标为（2，1）．证明：【答案】（1）a＝；（2）C（1，）；（3）P（2，1）证明见解析．【解答】解：（1）函数图象与x轴只有一个公共点，所以△＝O，即（﹣4a）2﹣4a＝0，16a2﹣4a＝0，4a（4a﹣1）＝0，∴a1＝0，a2＝，当a＝0时，y＝1不是二次函数（舍去），当a＝时，y＝x2﹣x+1符合，∴a＝；（2）∵C在抛物线y＝x2﹣x+1上，∴设C（m，m2﹣m+1）（0＜m＜2），∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC（由图可知），令y＝0，x2﹣x+1＝0，∴x＝2，∴A（2，0），令x＝0，y＝1，∴B（0，1），∴S△AOB＝2×1×＝1．S△BOC＝1×m×＝m，S△AOC＝2×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+1，∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC＝1﹣m﹣（m2﹣m+1）＝1﹣m﹣m2+m﹣1＝﹣m2+m＝﹣（m2﹣2m）＝﹣（m﹣1）2+∴当m＝1时，S△ABC最大，y＝﹣1+1＝，此时C坐标为（1，）；（3）猜测：点P坐标（2，1），﹣＝2，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∴设点P（2，e），∵点D在抛物线y＝x2﹣x+1上，∴设D（g，g2﹣g+1）（g≠2），故E（g，﹣1），∴PD＝，DE＝，＝g2﹣g+2，PE＝，∵△PDE为等腰三角形，∴①PD＝DE时，即＝g2﹣g+2，两边平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，（g﹣2）2+（g2﹣g+1）2﹣2（g2﹣g+1）e+e2＝（g2﹣g+1）2+1+2（g2﹣g+1）（将g2﹣g+1看成一个整体），（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e2﹣2e+1）＝0，（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e﹣1）2＝0，当e＝1时，无论g取何值时，该式均成立，此时P坐标为（2，1），②PD＝PE时，即＝，两边平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2，∴（g2﹣g+1﹣e）2＝（1+e）2，（﹣1﹣e）2＝（1+e）2，∴（g2﹣g+1﹣e）2﹣（1+e）2＝0，（g2﹣g+1﹣e+1+e）（g2﹣g+1﹣e﹣1﹣e）＝0，∴（g2﹣g+2）（g2﹣g﹣2e）＝0，故无论e取什么值，都不能满足，无论g取何值时，该式均成立，故此种情况舍去，③PE＝DE时，即＝g2﹣g+2，两边平方得，（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，∴（1+e）2＝（g2﹣g+2）2﹣（g﹣2）＝（g2﹣g+2+g﹣2）（g2﹣g+2﹣g+2）＝g2（g2﹣2g+4），∴（1+e）2＝g2（g2﹣2g+4），故无论e取什么值，都不能满足，无论g取何值时，该式均成立，故此种情况舍去，综上所述，当PD＝DE时满足题意，此时P坐标为（2，1）．5．（2022•无锡）如图，二次函数y＝的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），点C（0，3），点E在对称轴上．（1）求A、B两点坐标；（2）设直线AC与抛物线的另一个交点为D，求点D坐标；（3）设E关于直线BD、CD的对称点分别为F、G，求以GF为直径的圆面积的最小值．【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）D（5，8）；（3）以GF为直径的圆面积最小为π．【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0得：＝0，解得x＝1或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）设直线AC对应的函数表达式为y＝kx+t，把A（﹣3，0），C（（0，3）代入得：，解得∴直线AC对应的函数表达式为y＝x+3，联立，解得或，∴D（5，8）；（3）设EF交BD于点P，抛物线y＝的对称轴交x轴于点Q，直线AD交EQ于N，连接NG，EG，过D作DH⊥x轴于H，过F作FM⊥EQ于M，如图：由y＝得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，在y＝x+3中，令x＝﹣1得y＝2，∴N（﹣1，2），∵OA＝OC＝3，∴∠CAO＝45°＝∠ANQ＝END，∵E，G关于AD对称，∴∠END＝∠GND＝45°，EN＝GN，∴∠ENG＝90°，△ENG是等腰直角三角形，设EM＝a，EQ＝b，则E（﹣1，b），∴EN＝b﹣2＝EG，∴G（b﹣3，2），∵E，F关于BD对称，∴∠KPF＝90°，P为EF的中点，∴∠DBH＝∠PKF＝90°﹣∠PFK＝∠MEF，∵∠DHB＝90°＝∠EMF，∴△DBH∽△FEM，∴＝，∵B（1，0），D（5，8），∴BH＝4，DH＝8，∴＝＝，∴FM＝2EM＝2a，∴F（2a﹣1，b﹣a），∵P为EF的中点，∴P（a﹣1，b﹣），由B（1，0），D（5，8）可得直线BD解析式为y＝2x﹣2，把P（a﹣1，b﹣）代入y＝2x﹣2得：2（a﹣1）﹣2＝b﹣，∴a＝，∴F（，），∴FG2＝（b﹣3﹣）2+（2﹣）2＝b2﹣b+40＝（b﹣8）2+，∵＞0，∴FG2的最小值为，∴以GF为直径的圆面积最小为π（）2＝FG2＝π，答：以GF为直径的圆面积最小为π．四．四边形综合题（共2小题）6．（2021•无锡）如图，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，G在AD上，AG＝2cm，点P从点G出发，以1cm/s的速度沿GD运动，同时点Q从点B出发以相同速度沿BC运动，当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动．设点A关于直线PQ的对称点为E，运动时间为t（s）．（1）①求tan∠EAD的值；②点E运动路径长是．（请直接写出答案）（2）t为何值时，△PDE为直角三角形？【答案】（1）；（2）；（3）1或3．【解答】解：（1）①∵BG∥PG，AE⊥PQ，∴AE⊥BG，在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠BAE＝∠ABG，∴tan∠EAD＝tan∠ABG＝；②∵∠EAD＝∠ABG，∴点E的运动路径是线段，设AE与BG交于M，∵BG＝＝2（cm），∴AM＝＝（cm），∵GM∥DM'，∴，∴AM'＝，∴点E的路径长为2AM'﹣2AM＝＝，故答案为：；（2）若△PDE为直角三角形，有两种可能：①当∠PED＝90°时，取GH＝BH＝xcm，则AH＝（4﹣x）cm，由勾股定理得，22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴cos∠AHG＝，∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠DPE＝∠AHG，∴cos∠DPE＝cos∠AHG，∴，解得t＝1，当∠PDE＝90°时，如图，同理可得，解得t＝3；∵∠EPD＜90°，综上，当t＝1或3时，△PDE为直角三角形．7．（2020•无锡）已知菱形ABCD中，BD＝cm，tan∠ADB＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点A出发，以cm/s的速度沿A→B→C→D运动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．（1）求菱形的周长；（2）当t＝1时，求PQ的长；（3）若△APQ的面积为S，写出S（cm2）与t（s）的函数表达式．【答案】（1）40；（2）；（3）S＝．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB＝BD＝，AC⊥BD，∵tan∠ADB＝，∴OA＝•OD＝，∴AD＝＝＝10，∴菱形的周长为4AD＝40；（2）当t＝1时，AP＝1，AQ＝，过点B作BE⊥AD于E，过点Q作QF⊥AD于点F，∵S△ABD＝AD•BE＝BD•OA，∴BE＝＝，∵QF∥BE，∴△AQF∽△ABE，∴，∴，∴QF＝，∴AF＝＝，∴PF＝AF﹣AP＝，∴PQ＝＝＝；（3）①当0＜t≤时，点Q在AB上，由（2）知，，∴QF＝t，∴S△APQ＝AP•QF＝t＝；②当＜t≤时，点Q在BC上，∵AD∥BC，∴QF＝BE＝，∴S△APQ＝AP•QF＝t•＝t．③当＜t≤10，点Q在CD上，过点B作BM⊥AD于点M，过点Q作QF⊥AD，交AD的延长线于点F，∴QF∥BM，∴∠FDQ＝∠MAB，∴sin∠FDQ＝sin∠MAB，∴，∴，∴QF＝30×﹣t＝10﹣t，∴S△APQ＝AP•QF＝＝﹣+5t．∴S＝．五．切线的性质（共1小题）8．（2020•无锡）如图，PC是⊙O的切线，点C为切点．点A为⊙O上一点，AC＝OA＝2，∠APC＝60°．（1）求阴影部分的面积；（2）连接OP，求sin∠OPA的值．【答案】（1）﹣π；（2）．【解答】解：（1）过O作OM⊥AC于M，∵PC是⊙O的切线，点C为切点，∴∠OCP＝90°，∵AC＝OA＝2，∠APC＝60°，∴△OCA是等边三角形，∴∠OCA＝∠CAO＝60°，∴∠PCA＝90°﹣60°＝30°，OM＝OC×sin60°＝2×＝，∵∠APC＝60°，∴∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠PCA＝90°，∵AC＝OA＝2，∴PA＝AC×tan30°＝，∴阴影部分的面积S＝S△PAC+S△OAC﹣S扇形AOC＝×2+2×﹣＝﹣π；（2）过O作ON⊥AB于N，∵OC＝OA＝2，∠PAC＝90°，∠CAO＝60°，∴∠OAB＝30°，∴ON＝OA＝1，∴AN＝＝，∴PN＝PA+AN＝+＝，由勾股定理得：OP＝＝＝，∴sin∠OPA＝＝＝．六．作图—应用与设计作图（共1小题）9．（2022•无锡）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC的比称为黄金比，它们的比值为．请在图2中完成相应的问题：已知，∠MON＝60°，点A在OM边上，OA＝4．（1）请在ON边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使得OB与OA的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹）（2）△AOB的面积＝．【答案】（1）见解答．（2）．【解答】解：（1）由题意得，，可得OB＝，先作线段OA的垂直线平分线，交线段OA于点C，再过点A作OA的垂线AD，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AD于点E，连接OE，可得AE＝2，则OE＝，然后以点E为圆心，AE的长为半径画弧，交线段OE于点F，最后以点O为圆心，OF的长为半径画弧，交射线ON于点B，此时OB＝．如图2，点B即为所求．（2）过点A作AG⊥OB于点G，在Rt△AOG中，AG＝OA•sin60°＝4×＝，∴△AOB的面积为＝＝．故答案为：．七．作图-轴对称变换（共2小题）10．（2021•无锡）（1）如图甲，6×6的网格中，△ABC的顶点都是格点，AD是△ABC的高，E是AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图，画图过程用虚线表示：①画出点E关于AD的对称点F；②在AB上画点G，使DG＝DB．（2）如图乙，已知直线l和直线l外一点P，请你用无刻度的直尺和圆规在直线l上找一点A，使PA所在直线与直线l的夹角为60°．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）作图见解析部分；（2）作图见解析部分．【解答】解：（1）①如图甲中，点F即为所求；②如图甲中，线段DG即为所求．（2）如图乙中，直线PA即为所求．11．（2020•无锡）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为9.4（结果保留一位小数）；（2）在图2中，作出△ADE关于直线DE对称的△FDE；（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，则AF的长为（如需画草图，请使用图3）．【答案】（1）作图见解析部分，周长约为9.4．（2）作图见解析部分．（3）．【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作．测量可知AB＝3，⊙O的周长＝3π≈9.4．故答案为：9.4．（2）如图，△DEF即为所求作．（3）如图，设DE交AF于点J．设AJ＝x．EJ＝y．过点E作EH⊥AD于H．∵AD＝2BD＝4，∴BD＝2，AB＝6，∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝AB•cos30°＝3，∵EC＝2AE，∴AE＝，∵EH⊥AD，∴EH＝，AH＝EH＝，∴DH＝AD﹣AH＝，∴DE＝＝＝，由勾股定理可得，，解得（不符合题意的已经舍弃），∴AF＝2AJ＝．故答案为：．八．旋转的性质（共1小题）12．（2022•无锡）如图1，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'位置，设AC'交直线CD于点M．（1）当点B'恰好落在DC边上时，求△AB'C'与矩形ABCD重叠部分的面积；（2）如图2，当点C、B'、C'恰好在一直线上时，求DM的长度．【答案】（1）△AB'C'与矩形ABCD重叠部分的面积是；（2）DM的长度为．【解答】解：（1）作C′H⊥DC于H，如图：∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'，∴AB'＝AB＝5，B'C'＝BC＝3，∴DB'＝＝＝4，∵∠C'B'H＝90°﹣∠DB'A＝∠DAB'，∠CHB'＝90°＝∠D，∴△C′HB′∽△B′DA，∴＝即＝，∴C'H＝，∴＝＝＝，∵S△AB'C'＝S△B'C'M+S△AB'M＝AB'•B'C'＝，∴S△AB'M＝S△AB'C'＝；∴△AB'C'与矩形ABCD重叠部分的面积是；（2）作CN⊥AC'，如图：∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'，∴AB'＝AB＝5，AC'＝AC＝＝，∠AB'C'＝∠B＝90°＝∠AB'C，B'C'＝BC＝3，∴CC'＝2B'C'＝6，∵2S△ACC'＝CC'•AB'＝AC'•CN，∴CN