2022-2023学年广东省广州市西关某中学九年级上学期数学期末试卷含详解

西外教育集团2022学年第一学期初三级期末质量检测数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.在下列四个图案中，不是中心对称图形是

AXB3

2.抛物线尸（x-2）2-1的对称轴是（）

AB.x~~~2C.x=-1D.x=l

3.下列各点中在反比例函数y=——的图象上的点是（）

x

A.(T,-2)-2)C.⑷2)D.(2,1)

4.如图，点A,B,C都在。。上，ZCAB=10°,则NC08的度数为（)

A.70°B.80°C.120°D.140°

5.若方程3V+6x—4=0的两个根为为，々，则（）

A.玉+光2=6B.玉+x2=-6C.xt+x2=-2D.x,+x2=2

6.”任意画一个三角形，其内角和是360。”，这一事件是（）

A.必然事件B.不可能事件

C.随机事件D.以上选项均不正确

7.已知圆的直径为10cm,圆心到某直线的距离为4.5cm则该直线与圆的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D,以上都不对

8.在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概

率是（）

9.如图，点A、B、C、。、。都在方格纸上，若△CO。是由aAOB绕点。按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度

A.30°B.45°C.90°D.135°

10.将二次函数y=-f+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后,所得新函数的图象如图所示.当直线

y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，匕的值为（）

C.”D.”或-3

4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.点P（-2,-3）关于原点对称点的坐标是

12.从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到。；③抽到梅花.上述事件，概率最大是

13.一个扇形的圆心角是120。.它的半径是3cm.则扇形的弧长为cm.

14.一个矩形的长比宽多2,面积是100,若设矩形的宽为x,列出关于x的方程是

15.如图，点A、B、C、。、都在（DO上，AB是直径，弦AC=6,CO平分/AC8,30=5J5，则BC的长等于

B16.如图，正方形ABCD中，AB=5cm,以B为圆心，1cm为半径画圆，点P是上

一个动点，连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90。至AP',连接BP，在点P移动的过程中，3P'长度的取值

范围是cm

三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解方程：x2-2x=8

18.如图，已知AABO,点A、B坐标分别为（2,4）、（2,1）.

MV

（1）把AABO绕着原点。顺时针旋转90°得A44。，画出旋转后的

△44。；

（2）在（1）的条件下，点8旋转到点与经过的路径的长为.（结果保留左）

19.二次函数y=，*+2x+c的图象经过（-1,0）（3,0）两点.

（1）求该二次函数的解析式;

（2）求该二次函数图象与y轴交点的坐标.

20.如图，在Rt^ABC中，/C=90。，A。是/BAC的角平分线，以AB上一点。为圆心，AO为弦作。O.

（1）尺规作图：作出。。（不写作法与证明，保留作图痕迹）;

（2）求证：8C为OO的切线.

以物联网、大数据、人工智能为基础的技术创新促进了新行业发展，新行业发展对人才的

需求更加旺盛，某大型科技公司上半年新招聘总线、测试、软件、硬件四类专业的毕业生共30人，新招聘毕业生

的专业分布情况绘制成如下不完整的条形图.请根据以上信息，解答下列问题:

4

2

0

8

6

4

2

（2）新招聘“软件”专业的毕业生中只有两人是同校毕业，该公司从新招聘“软件”专业的毕业生中随机抽取两

人参加问卷调查，求抽到两人恰好是同校毕业的概率.

22.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=&(x>0)的图象经过点4(2,6),将点A向右平移2个单

X

位，再向下平移”个单位得到点B,点8恰好落在反比例函数产&(x>0)的图象上，过A,8两点的直线产

X

以+b与y轴交于点C.

(1)求〃的值及点。的坐标.

(2)在y轴上有一点。(0,5),连接40,BD,求△A3。的面积.

(3)结合图象，直接写出与W&M+〃的解集.

23.如图，有一块矩形铁皮(厚度不计)，长10分米，宽8分米，在它的四

角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.

(1)若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边

长是多少分米的正方形？

(2)若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的2倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的

防锈处理费用为0.5元，底面每平方分米的防锈处理费用为2元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总

费用最低？最低费用为多少元？24.如图，直线y=-gx+3交》轴于点A,交x轴于点C,抛物线

y=—f+公+。经过点A,点C,且交不轴于另一点8.

备用图

物线的解析式;

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段绕x轴上的动点P（见0）顺时针旋转90。得到线段O'A',若线段。'4与抛物线只有一个公共点,

请结合函数图象，求加的取值范围.

25.如图，。。为等边AABC的外接圆，半径为3,点Z）在劣弧AB上运动（不与点A,8重合），连接

DB，DC.

（1）求证：。。是14汨的平分线;

（2）四边形AD3C的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点M,N分别在线段C4,C8上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置，ADMN

的周长有最小值随着点。的运动，。的值会发生变化，求所有t值中的最大值.

西外教育集团2022学年第一学期初三级期末质量检测数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）

B

【详解】解：根据中心对称图形的概念可得：图形B不是中心对称图形.

故选：B.

2.抛物线y=(x-2)2-1的对称轴是()

A.x—2B.X--2C.x=-lD.x—\

A

【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决.

【详解】；抛物线y=（x-2）2-1,

该抛物线的对称轴是直线x=2,

故选A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

3.下列各点中在反比例函数y=工的图象上的点是（）

x

A.（T,-2）-2）C.（Z,2）D.（2,工）

B

【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数图像上的点应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数

k.把各个点代入检验即可

【详解】解：反比例函数y=匚中，k=-2,

X

四个答案中只有B的横纵坐标的积等于-2,

故答案选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.

4.如图，点A,B,C都在。。上，NCAB=70。，则/COB的度数为（

fB

A.70°B.80°C.120°D.140°

D

【分析】由NCAB=70。，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求

得/COB的度数.

【详解】•••点A、B、C都在。O上，且点A在弦AB所对的优弧上，ZCAB=70%

ZCOB=2ZCAB=2x70°=140°.

故选D.

【点睛】此题考查了圆周角定理.此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条

弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

x

5.若方程3犬+6x-4=0的两个根为,，2,贝U（）

A.xi+x2=6B,玉+々=-6C,X1+%2=-2D.xt+x2=2

C

【分析】直接根据根与系数的关系求解.

【详解】解：•.•方程3f+6x—4=0的两个根为々，

6,

-

X）+无2=-§=2f

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程中根与系数的关系，能够熟练运用韦达定理是解决本题的关键.

6.“任意画一个三角形，其内角和是360。”，这一事件是（）

A.必然事件B.不可能事件

C.随机事件D.以上选项均不正确

B

【分析】直接利用三角形内结合定理结合不可能事件的定义分析得出答案.

【详解】任意画一个三角形，其内角和是360。”，这一事件是不可能事件.

故选B.【点睛】此题主要考查了随机事件以及三角形内角和定理，正确各种事件的定义是解题关键.

7.己知圆的直径为10c〃3圆心到某直线的距离为4.5a”，则该直线与圆的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.以上都不对

A

【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d,再与半径r进行比较.若d<r,则直线与圆

相交；若d=r,则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

【详解】:圆的直径为的cm,

，圆的半径为5cm,

•.•圆心到直线的距离4.5cm,

...圆的半径〉圆心到直线的距离，

.♦.直线于圆相交，

故选A.

【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成

判定.

8.在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概

率是（）

38>3

A.—B.—C.—D.—

11111414

D

【分析】根据题意分析可得：共11+3=14个球，其中3个红球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概

率哈

3

【详解】解：P（摸到红球）=—

14

故本题答案为D.

【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现机种结

果，那么事件4的概率尸（A）=一。

n

9.如图，点A、B、C、D、。都在方格纸上，若△CO。是由AAOB绕点。按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度

C.90°D.135°

D

【分析】利用旋转的性质得到NAOC为旋转角，然后利用NAO8=45。得到NAOC的度数即可.

【详解】解：是由△AOB绕点。按逆时针方向旋转而得，

•••NAOC为旋转角，

ZAOB=45°,

：.ZAOC=450+90°=135°,即旋转角为135°.

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角；旋转前、后的图形全等.

10.将二次函数y=-V+2x+3的图象在X轴上方的部分沿X轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线

丁=尢+人与新函数的图象恰有3个公共点时，〃的值为()

B.一上或-3C.日或一3D.打一3

4

【分析】由二次函数解析式)，=—-+2工+3,可求与x轴的两个交点A、B,直线y=x+8表示的图像可看做是直

线y=X的图像平移6个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y=X经过B点时，恰与所给图像

有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线y=x经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线

y=x+8与函数y=-f+2》+3关于x轴对称的函数y=x2—2x-3图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程

的判别式等于0,即可求解.

【详解】解：由y=-V+2x+3知，当y=0时，即

—x?+2x+3=0解得：%=—1,々=3

.•.A(—1,0),3(3,0)作函数y=x的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：

0=3+人.•.b=-3平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当—时，只有一个交点

当一的函数图像由y=-/+2x+3的图像关于x轴对称得到

・.・当—14xW3时对应的解析式为y=Y-2x-3

即｛V.3,整理得：x2-3x-3-b=0

9191

;.△=(—3)2-4x1x(—3—b)=21+4h=0.•./?=—7综上所述6=—3或一一

故答案是：A.

【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性

质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度.解题的关键是数形结合思想的运用,

从而找到满足题意的条件.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.)

11.点P(-2,-3)关于原点对称的点的坐标是.

(2,3).

【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.【详解】由题意，得

点P(-2,-3)关于原点对称的点的坐标是(2,3),

故答案为(2,3).

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的

点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的

点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

12.从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q;③抽到梅花.上述事件，概率最大的是.

③抽到梅花.

【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案.

21

【详解】•••一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是一=一；

5427

Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是24=点2；

梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是1二3；

54

概率最大的是抽到梅花；

故答案为③抽到梅花.

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.一个扇形的圆心角是120。.它的半径是3cm.则扇形的弧长为cm.

2兀

【详解】分析：根据弧长公式可得结论.

1207rx3

详解：根据题意，扇形的弧长为|。八'=2无，

18()

故答案为2兀

点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

14.一个矩形的长比宽多2,面积是100,若设矩形的宽为x,列出关于x的方程是.

x(x+2)=100.

【分析】设矩形的宽为x,则矩形的长为(x+2),利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得

解.

【详解】设矩形的宽为x,则矩形的长为(x+2),

根据题意得：x(x+2)=100.

故答案为x(x+2)=100.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

15.如图，点A、B、C、D、都在。。上，AB是直径，弦AC=6,CO平分NACB,BD=5叵，则8C的长等于

【分析】连接AD,由AB是直径知NACB=/ADB=90°,由CD是ZACB平分线得

ZACD=ZBCD=ZBAD=ZABD=45°,根据BD的长度可得AB=10,再根据勾股定理可得答案.

【详解】如图所示，连接AD,

B：AB是直径,

.,.ZACB=ZADB=90°,

：CD平分/ACB,

ZACD=ZBCD=45°,

，NBAD=/ABD=45°,

：BD=5及，

.".AB=V2BD=10,

；AC=6,

/.BC=8,

故答案为8.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是

直径.

16.如图，正方形ABC。中，AS=5cm,以8为圆心，1cm为半径画圆，点P是上一个动点，连接AP,

并将AP绕点A逆时针旋转90。至AP'，连接8P'，在点尸移动的过程中，长度的取值范围是

cm.

（5V2-1）＜BP＜（572+1）【分析】本题分成两种情况，当P，在对角线BD上时或当产在对角线的延长线

上时，根据两种情况分别讨论即可.

【详解】解：如图，当P'在对角线8。上时，最小,当产在对角线的延长线时，8P最大，连接5P，

当产再对角线BD上时,

由旋转得：AP=AP'，NQ4P'=9()°,

ZPAB+ZBAP'=90°,

•••四边形ABC。为正方形，

AAB=AD，ZBAD=90°,

：.ZBAP'+ZDAP=90°,

/.^PAB^^P'AD，

FD=PB=\，

在R3A3O中，

*/AB=AD=5，

由勾股定理可得：BD=yl52+52=5y/2>

•••BP'=BD-PD=56-1，

即BP'长度的最小值为卜近T)cm,

当尸'在对角线8。的延长线上时,

同理可得30=552+52=50，，BP'=BD+P'D=5yl2+\，

二8P'长度的取值范围为：（572（572+1）,

故答案为：（572-1）＜BP＜（5V2+1）.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P'的运动轨迹是解决本题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解方程：f_2x=8

Xi-4,X2=—2

【详解】：量-2x-8=0

（x-4）（x+2）=0

•：汨=4,即=-2

18.如图，已知AABO,点A、B坐标分别为（2,4）、（2,1）.

（1）把AABO绕着原点。顺时针旋转90°得AA4。，画出旋转后的

（2）在（1）的条件下，点8旋转到点与经过的路径的长为.（结果保留］）

（1）见解析（2）旦兀

2

【分析】（1）分别作出A,8的对应点4，名即可.

（2）利用弧长公式计算即可.

【小问1详解】

如图，△4月。即为所求作.【小问2详解】

0B—+F=石，

.•.点8旋转到点5经过的路径的长=905,至1=好兀.

1802

故答案：—7T.

2

【点睛】本题考查作图-旋转变换，弧长公式等知识，熟练掌握基本知识，熟知图形旋转不变性的性质是解答此

题的关键.属于中考常考题型.

19.二次函数y=af+2x+c的图象经过(-1,0)(3,0)两点.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)求该二次函数图象与y轴交点的坐标.

(1)y=-x2+2x+3；(2)(0,3).

【分析】(1)将已知A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c值，即可确定出二次函数解析式；

(2)令x=0,即可求得.

【详解】(1)♦.•二次函数y=ax2+2x+c的图象经过(-1,0)(3,0)两点.

.Ja-2+c=0

*'|9a+6+c=0'

二抛物线的解析式是y=-x2+2x+3；

(2)令x=0,则y=3,

.•.该二次函数图象与y轴交点的坐标为(0,3).

【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关

键.20.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AO是/8AC的角平分线，以AB上一点。为圆心，4。为弦作。O.

(1)尺规作图：作出。。(不写作法与证明，保留作图痕迹)；

（2）求证：BC为00切线.

（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）因为AO是弦，所以圆心。即在A8上，也在AO的垂直平分线上，作AO的垂直平分线，与48的

交点即为所求;

（2）因为。在圆上，所以只要能证明OOLBC就说明8c为。。的切线.

【详解】解：（1）如图所示，。0即为所求；

（2）证明：连接。£）.

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

•••AD是NB4C的角平分线，

：.ZCAD=ZOAD,

J.ZODA^ZCAD,

J.OD//AC.

又；NC=90°,

：.NODB=90°,

.•.BC是。0的切线.

【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键.

21.以物联网、大数据、人工智能为基础的技术创新促进了新行业发展，新行业发展对人才的需求更加旺盛，某大

型科技公司上半年新招聘总线、测试、软件、硬件四类专业的毕业生共30人，新招聘毕业生的专业分布情况绘制

数

人

4

2

0

8

成如下不完整的条形图.请根据以上信息，解答下列问题:6

4

2

°总线测试软件硬1专业类别

（1）“总线”专业有人，并补全条形图;

（2）新招聘“软件”专业的毕业生中只有两人是同校毕业，该公司从新招聘“软件”专业的毕业生中随机抽取两

人参加问卷调查，求抽到两人恰好是同校毕业的概率.

(1)“总线”专业有8人，统计图见详解;

(2)抽到两人恰好是同校毕业的概率为，；

【分析】(1)由总人数减去其它三类专业的毕业人数得出“总线”专业人数，补全条形统计图即可；

(2)画出树状图，共有12个等可能的结果，其中抽到两人敲好是同校毕业的结果有2个，再由概率公式求解即可.

【小问1详解】

“总线”专业有:30-12-4-6=8(人),

故答案为：8,

画树状图如图:

共有12个等可能的结果,其中抽到两人恰好是同校毕业的结果

/N/T\ZT\

A'BCABCAA'CAA'B

有2个,

21

:.抽到两人恰好是同校毕业的概率为—

126

【点睛】本题考查了列表法与树状图法，通过列表法或树状图法展示所有等可能结果求出〃，在从中选出符合事

件A或事件8的概率，也考查了条形统计图.

22.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(x>0)的图象经过点A(2,6),将点A向右平移2个单

X

位，再向下平移。个单位得到点8,点8恰好落在反比例函数y=&(x>0)的图象上，过A,B两点的直线y=

X

kix+b与y轴交于点C.

(1)求。的值及点C的坐标.

(2)在y轴上有一点。(0,5),连接AO,BD,求△ABO的面积.

(3)结合图象，直接写出勺WM+b的解集.

X

(1)a=3；C(0,9)；(2)S&ABD=4;(3)2<x<4

12

【分析】（1）由点A（2,6）求出反比例函数的解析式为y=—,进而求得3（4,3）,由待定系数法求出直线

x

3

AB的解析式为y=—-x+9,即可求出C点的坐标；

2

（2）由（1）求出CD,根据5/^/“）=5幼8-5/^8可求得结论;

（3）直接根据函数图像解答即可.

【详解】解：（1）把点A（2,6）代入>=」■,6=2x6=12,

X

12

・••反比例函数的解析式为y=—

x

・・•将点A向右平移2个单位，

.'.x=4,

12

当x=4时，y=；=3

：.B(4,3),

a=6—3=3,

直线AB的解析式为y^k^+b,

6=2玲

由题意可得

3=4&+6'

解得

h=9

3,

Ay=—x+9,

2

当％=0时，y=9,

：.C(0,9)；

(2)由(1)知C£>=9-5=4,

S^ABD=SABCD-S^ACD=7CD*\xB\-CD*\xA\=yx4x4--yx4x2=4；

(3)VA(2,6),B(4,3),

根据图像可知卜ax+b的解集为2WxW4.

x

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直

线AB的解析式是解题的关键.

23.如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长10分米，宽8分米，在它四角各切去一个同样的正方形，然后将四

周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.

（1）若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边

长是多少分米的正方形？

（2）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的2倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的

防锈处理费用为0.5元，底面每平方分米的防锈处理费用为2元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总

费用最低？最低费用为多少元？

（1）铁皮各角应切去边长是1分米的正方形；

（2）当铁皮各角切去边长是3分米的正方形时，总费用最低，最低费用为20元；

【分析】（1）设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面长为（10-2x）分米，宽为（8-2x）分米

的矩形，根据矩形的面积公式结合无盖方盒的底面积为48分米，即可得到关于x的一元二次方程，解之取其较小值

即可得出结论；

（2）设铁皮各角切去边长是“分米，防锈总费用为w元，由无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍可得出关于“

的一元一次不等式，解之得出团的取值范围，再根据题意列出关于总费用的函数关系式，根据二次函数的性质即可

解决最值问题.

【小问1详解】

解：设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面长为（10-2x）分米，宽为（8-2x）分米的矩

形，

又题意得：（10-2%）（8—2%）=48，

整理得：%2一9%+8=0，

解得：玉=1,%2=8,

8—2,x>0»

♦♦x<4,

,x=l,

答：铁皮各角应切去边长是1分米的正方形;

【小问2详解】

解：设铁皮各角切去边长是，"分米的正方形，防锈处理所需的总费用为卬元,

•••制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍，

10-2m<2（8-2/7i）,

解得：;n<3,

根据题意得：w=0.5x2^m（10-2m）+m（8-2m）］+2（10-2m）（8-2m）=4m2-54m+160,

a=4,b=—54,

.•.当0<加《3时，卬的值随m的值的增大而减小,

当加=3,卬取得最小值，最小值为34,

答：当铁皮各角切去边长是3分米的正方形时，总费用最低，最低费用为20元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的性质，解题的关键是，找准等

量关系，正确列出一元二次方程，根据数量之间的关系，找出卬关于加的函数关系式.

11,

24.如图，直线），=一］犬+3交>轴于点A,交x轴于点。，抛物线丁=一区—+步:+，经过点A,点C,且交工

点8,点C的坐标及抛

备用图

物线的解析式;

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形面积的最大值及此时点M的坐标;

（3）将线段Q4绕x轴上的动点P（见0）顺时针旋转90。得到线段0'4,若线段OW与抛物线只有一个公共点,

请结合函数图象，求加的取值范围.

（1）A（0,3）,B（-2,0）,CC6.0）,抛物线解析式为：y=~x2+x+3；

4

（2）。=3时-，四边形ABCW面积最大，其最大值为?，此时M的坐标为（3,。）；

（3）当一2遥一34m4一26或2指-34机43时，线段O'A与抛物线只有一个公共点.

【分析】（1）解：令x=0,得y=—1x+3=3,得A（0,3）,令y=0,由》=—；x+3,得C点坐标，将A、C

的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数的解析式令y=o,即可求得B点坐标；

(2)过M点作MN_Lx轴，与AC交于点N,设M。,一；/+。+3,则N1a,一；a+3,由三角形的面积

公式表示出四边形的面积关于A的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得〃的值，即可得M点

的坐标;

(3)根据旋转的性质，求得。点和A点的坐标，令0'点和4点在抛物线上时，求出机的最大值和最小值即

可.

【小问1详解】

解：令x=0,得y=-gx+3=3,

/.A(0,3),

令y=0,得O=__L》+3,解得：x=6,

2

/.C(6,0).

将：A(0,3),C(6,0)代入y=—f+bx+c得,

4

-9+6b+c=0b=l

c=3，解得

c=3'

...抛物线的解析式为:k丁+x+3,

将代入"丁+、+3中,

解得：x=—2,或x=6,

/.3(—2,0)；

【小问2详解】

解：过〃点作轴，与AC交于点N,如下图,

+0+3],则—2〃+3),

。一3*6=-九上,

J42

•・O=^BCOA=-x(6+2)x3=12,

牛+乙+12=一为一3)2+”,

,•◎四边形A8C一°^ABC十°^ABC一424V74

.•.当。=3时，四边形43cM面积最大，其最大值为弓，此时M的坐标为15

4

【小问3详解】

解：•••将线段CM绕x轴上的动点PG%（））顺时针旋转90°得到线段0'4,如图:

:.P(y=PO=m,C/A=OA=3,

O'[m,，A（/〃+3,m），

当A（m+3,根）在抛物线上时，-[（加+3『+（加+3）+3=加，

解得：m=±2A/6-3>

当点O'（"，加）在抛物线上时，有一z机2+机+3=/〃，

解得，机=±2&，

,当一2指一34根4一2道或2指一3S3时，线段O'A与抛物线只有一个公共点.

【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象

与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图形与性质，数形结合是解题的关

键.

25.如图，。。为等边AABC的外接圆，半径为3,点O在劣弧AB上运动（不与点A,B重合）,连接D4,

DB,DC.

（1）求证：DC是NADB的平分线;

（2）四边形AO8C的面积S是线段。。的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由;

（3）若点N分别在线段C4,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置,

△OMN的周长有最小值心随着点。的运动，7的值会发生变化，求所有/值中的最大值.

（1）证明见详解；

（2）四边形AO3C的面积S是线段。。的长x的函数；证明见详解

（3）f的最大值为6百

【分析】（1）根据AABC是等边三角形，ZABC=ZBAC=ZACB=60°,则/AOC=/A5C=60°,则

ZBDC=ZBAC=(^,由此可得=则。。是NAD3的角平分线；

(2)如图I,将AAOC绕点逆时针旋转60°得到△B//C,贝iJCD=CH,NDAC=NHBC,根据四边形

ACBD是圆内接四边形，则/DAC+/D3C=180°