高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化

高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化1

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为“，"，记，=，〃+〃，则下列说法

正确的是

A.事件）=12”的概率为：B.事件“f是奇数”与“机=〃”互为对立事

件

C.事件“7=2”与“办3”互为互斥事件D.事件“t>8且研<32”的概率为,

4

2.已知外,外,%,%e。，2,3,4},'（a,,七,%%）为4，%,%,%中不同数字的种类，如

N（1,L2,3）=3,N（122,l）=2,求所有的256个（4,%，4，%）的排列所得的2（4,生必，4）

的平均值为

87„11177c175

AA.—B•—C.D•

3246464

3.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COV7D-19）疫情，并快速席卷我国其他地

区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前

没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最

大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺

炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，

强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患

者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检

测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为

M0<〃<1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为

/（P）,当。=为时，/（。）最大，则为=（）

A.1-且B.述C.—D.1-3

3333

4.一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i次得到的

数为％,若存在正整数％使得之4=4的概率?="，其中见〃是互质的正整数，则

1-1〃

logs”?-log4〃的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模

糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率

是（）

,3„1-11c2

A.—B.—C.—D.一

103305

6.吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放

三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时,

从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，

不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支

香烟'’的概率为（）

B-2

D-

二、多选题

7.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都

是3.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序，

成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是（）

A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名

C.恰有两支球队并列第一名的概率为:D.只有一支球队名列第一名的概率为:

第H卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

8.将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行

3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的

数的概率是.

9.从用个男生和〃个女生中任选2个人当班长，假设事件A表示选出

的2个人性别相同，事件8表示选出的2个人性别不同，如果A的概率和B的概率相同，

则（«?,〃）可能为.

10.某人有两盒火柴，每盒都有"根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出

一根，求他发现用完一盒时另一盒还有,根（14r4〃）的概率.

11.对于函数〃刈，其定义域为。,若对任意的与吃€。，当&＜超时都有/（占）4/（々），

则称函数为“不严格单调增函数”，若函数“X）定义域为。={1,2,3,4,5,6},值域为

试卷第2页，共4页

A={7,8,9),则函数〃x)是“不严格单调增函数”的概率是

四、解答题

12.某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研

究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图

所示，其中。-匕=0.016.

(1)求这300名玩家测评分数的平均数；

(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进

行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进；

若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中

至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每

款游戏被每位专家认为需要改进的概率为夕(0<P<1),且每款游戏之间改进与否相互

独立.

(i)对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；

(ii)每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50

万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判

断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.

13.

将连续正整数1,2,…,”(〃eN*)从小到大排列构成一个数123…〃，F5)为这个数的位数

(如〃=12时，此数为123456789KHi12,共有15个数字,/(12)=15),现从这个数中

随机取一个数字，P(〃)为恰好取到0的概率.

(1)求P(100)；

(2)当〃42014时,求尸(〃)的表达式;

(3)令g(〃)为这个数中数字0的个数,，⑺为这个数中数字9的个数，〃5)=/(〃)-g(〃)，

S={“|〃5)=l,〃4100,〃eN*},求当”eS时P(〃)的最大值.

14.已知集合人={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,…，〃},其中n>5,nwN*.从

集合4中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同

的元素，其中最大的元素用T表示.记x=r-s

(1)当〃=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；

(2)求P(X=〃-3).

15.某医药开发公司实验室有n(neN')瓶溶液，其中eN)瓶中有细菌R,现需要

把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：

方案一：逐瓶检验，则需检验〃次；

方案二：混合检验，将“瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R,

则〃瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这"瓶溶液再逐瓶检验,

此时检验次数总共为“+1.

(1)假设〃=5,m=2,采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的

概率；

(2)现对“瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(O</?<1).

若采用方案一•需检验的总次数为久若采用方案二.需检验的总次数为7

⑺若J与"的期望相等.试求产关于〃的函数解析式2=/(〃)；

(方)若P=l—eT，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望•求”的最大

值.

参考数据：ln2»0.69,ln3«1.10,ln5»1.61,ln7=1.95

试卷第4页，共4页

参考答案

1.D

【详解】

对于A,1=12=6+6,则概率为!xLg,选项错误；

6636

对于B,“是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和，其对立事件为都是奇数或都是偶数，选项

错误；

对于C,事件）=2”包含在）片3”中,不为互斥事件，选项错误；

对于D,事件“f>8且％<32”的点数有：

Q1

（3,6）,（4§,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,5）洪9种，故概率为六=，选项正确；

综上可得，选D.

点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件，也可以描述为:不可能同时发生的事件，

则事件A与事件B互斥，从集合的角度即4八8=0;若A交B为不可能事件,A并B为必然

事件，那么事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发

生，其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.

2.D

【分析】

本题首先可以确定N（q，4，/，4）的所有可能取值分别为1、2、3、4,然后分别计算出每一种取

值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出"（《,心,生,4）的平均值.

【详解】

由题意可知:

当?/（4，%，4，%）=1时，耳=4xq~=*;

6x（C：+C：+C：）8421

当N（q,«2，q,a4）=2时，修=

4425664

4x3

当N（4%,o,，4）=3时,=（6+3+3）=144=9；

422）01O

当NR,%外,%”，时,PA=*=«^二卷,

综上所述，所有的256个（%%,%%）的排列所得的刈4%%%）的平均值为:

,1c21r9,3175…一

1x---F2x--1~3x—+4x——---,故选D.

6464163264

答案第1页，共13页

【点睛】

本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出NR,%，%，%)的所有可能情况并计算出每一

种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题.

3.A

【分析】

先求出概率/(p)=p(2-p)(l-p)",再求最大值，借助于均值不等式求解.

【详解】

解：设事件人检测5个人确定为“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.

即F(P)=p(l-p)4+p(l-p)s=p(2-p)(l-p)4.

设x=l_p>o,则

g(x)=/(l-/?)=(l-x)(l+x)x4=(l-x2)x4,

^(x)=(l-x2jx4=；X[(2-2X2)XX2XX2J

当且仅当2-2/即x=迈时取等号，

3

即2=%=1-乎♦

故选：A.

【点睛】

本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题.

4.B

【解析】

分析：先求k=i时的概率，再求p的值，最后求logsm-log/的值.

详解：当k=i时，概率为!.

4

当k=2时，4=14-3=2+2=3+1,概率为3・d>.

答案第2页，共13页

当k=3时，4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为3-（一）\

4

当k=4时，4=1+1+1+1,概率为（3~

4

山“1133164+48+12+112553

4166425625625644

所以〃=4’,相=5，.

所以log5m-log4n=3-4=-1.

故答案为B

点睛：（1）本题主要考查概率的求法和对数的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能

力和分析推理能力.（2）解答本题的关键是读懂已知条件，由于已知中的字母比较多，比较抽

象，难以读懂，可以给字母取值，把问题具体化，帮助自己读懂已知.

5.C

【分析】

5个快递送到5个地方有父=120种方法，

全送错的方法：第一步A送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A送错的地方对应的

快递，如A送到丙地，第二步考虑快递C,而C送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送

其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成.

【详解】

5个快递送到5个地方有父=120种方法，

全送错的方法数：

先分步：第一步快递A送错有4种方法，第二步考虑A所送位置对应的快递，假设A送到丙

地，第二步考虑快递C,对C分类，第一类C送到甲地，则剩下要均送错有2种可

能（丁戊乙，戊乙丁），第二类C送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩

下的E只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），二总的

4411

方法数为4X（1X2+3X3）=44,所求概率为尸=希=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型

的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好.

答案第3页，共13页

6.D

【分析】

“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根

据古典概型计算出其概率即可.

【详解】

由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香

糖一次香烟，记香烟为A，4，4，口香糖为稣纥,尾，进行四次取物，

基本事件总数为：6x5x4x3=360种

事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：

烟、糖、糖、糖：3x3x2x1=18种

糖、烟、糖、糖：3x3x2x1=18种

糖、糖、烟、糖：3x2x3x1=18种

包含的基本事件个数为：54,

543

所以，其概率为示=右

36()2。

故选：D

【点睛】

此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其

本质在于计数原理的应用.

7.ABD

【分析】

4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C”6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；

选项A,这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；

选项B,举特例说明即可；

选项C,在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有=6种可能，再分类计数相互获胜

的可能数，最后由古典概型计算概率；

选项D,只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即

可.

【详解】

4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C：=6场比赛，比赛的所有结果共有2$=64种；

答案第4页，共13页

选项A,这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜,

那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确：

选项8,其中（4,6）,0©,（°/）,（乩4）,（4。），3,6）6场比赛中,依次获胜的可以是。,仇。,”,仁方,

此时3队都获得2分，并列第一名，正确；

选项C,在3。,（叱）,&3）,（4,0）,（44），3力）6场比赛中,从中选2支球队并列第一名有

C：=6种可能，若选中a,h,其中第一类a赢〃，有a力,c,力和“力,d,c,a为两种情况，同理

6x43

第二类匕赢m也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为劈=：,错误；

648

选项。，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外

O1

3场的可能有2、=8种，故只有一支球队名列第一名的概率为2x4=二，正确.

642

故选：ABD

【点睛】

本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难

题.

8.Z

45

【分析】

通过分析最大数在第〃行的概率，得到规律，从而可求得结果

【详解】

解：设々是从上往下数第％行的最大数，设西＜当＜…＜x”的概率为p.，最大数在第〃行的

n_2H_2

概率为瓜”。〃(〃+1)〃+1,

2

答案第5页，共13页

在任意排好第〃行后余下的若D个数排在前"一。行符合要求的排列的概率为P”T，

2

所以以此类推，

222T

Pn=—-_••…TPl=/,八|，

n+1n3(〃+1)!

?52

所以当〃=5时，p=—=—,

56!45

2

故答案为：—

45

【点睛】

关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求

九_2〃_2

出最大数要第，行的概率为外=祈用=而下=7门，通过分析得到P“=2P.T，以

―〃+]

此类推，P,=’27上2••…22"从而可求得结果，属于较难题

n+\n3(n+1)!

9.(10,6)

【分析】

此题基本事件总数一定，两个事件的概率相同，则其包含的基本事件个数相同，分别求出，

列出方程，根据10与机〉〃二4分析即可得解.

【详解】

从小个男生和〃个女生(10号机>雕，4)中任选2个人当班长，共C"种，

假设事件A表示选出的2个人性别相同，包含基本事件个数为C；„+,

事件8表示选出的2个人性别不同，包含基本事件个数为机〃

c2+C2

如果A的概率和8的概率相同，则m丁n=十一，

M“+〃^m+n

的厂2「2n(n-i)

BPC；+C„=mn,—-----^+―-----^-=mn

229

化简得：(加一〃)2=机+〃，〃是完全平方数，(10，团>"24)

9<m+H<19,所以加+〃=16,m-n=4f

所以(见〃)可能为(10,6).

故答案为：(10,6)

【点睛】

答案第6页，共13页

此题以古典概型为背景实际考查计数原理相关知识，涉及整数的相关处理办法，综合性强,

对解题能力要求较高.

【分析】

根据题意，记两个火柴盒分别为A,B,一共抽了2〃-/■根，不妨令这么多次抽取动作中，

有〃次都是操作在A盒上「次操作在B盒上，则最后一次一定操作在A盒，所有的抽法

共有22i种，用完一盒时另一盒还有「根的抽法有2C；1一种，由古典概型的概率公式，即

可求出概率.

【详解】

解:根据题意，记两个火柴盒分别为A,B,一共抽了2〃-厂根，

不妨令这么多次抽取动作中，有〃次都是操作在A盒上，R-r次操作在B盒上，

则最后一次一定操作在A盒，

因此所有的抽法共有22i种，

用完一盒时另一盒还有厂根的抽法有2all种，

由古典概型的概率公式得，

他发现用完一盒时另一盒还有〃）的概率为2x争冬.

故答案为：2x0》.

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

11.±

54

【分析】

考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到

答案.

【详解】

当有4个函数值相同时：共有满足条件的有C；=3种；

当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有国=360,满足条件的有

2+14-1+2=6^；

答案第7页，共13页

当各有2个函数值相同时，共有C1C：=90,满足条件的有1种.

..3+6+11

故。=-----------=—.

90+360+9054

故答案为：上•.

54

【点睛】

本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.

12.(1)76；(2)(i)-3p5+12p4-17p3+9p2；(ii)所需的最高费用将超过预算.计算见解

析

【分析】

⑴利用矩形面积和等于1列式可得a+6=0.032,结合a-6=0.016河解得的值,再用各

区间的中点值与该矩形的面积相乘后再相加,即得平均值.

(2)⑺利用互斥事件的概率的加法公式可得；

(治利用期望公式求出这600款游戏所需的最高费用的平均值后，再利用导数求出最大值即可.

【详解】

(1)依题意,(0.005+a+*+0.035+0.028)x10=1,

故a+6=0.032；

而a-8=0.016,

联立两式解得，a=0.0241=0.008；

所求平均数为55x0.05+65x0.24+75x0.35+85x0.28+95x0.08

=2.75+15.6+26.25+23.8+7.6=76；

(2)(/)因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为C；/(i-p)+c；p3,

一款游戏二测被认定需要改进的概率为C；p(l-p2[l-(1-

所以某款游戏被认定需要改进的概率为：

C；p2(l-p)+C»3+C；p(l_p)2[1_(1_p)2]

=3p2(1-p)+p5+3p(l-p)2[1-(1-p)2]

=-3p'+l2P4-17p3+9p2；

(H)设每款游戏的评测费用为X元，则X的可能取值为900,1500；

答案第8页，共13页

P(X=1500)=C',p(l-/?)2,

产(X=900)=1

222

i%£(X)=900x[l-C>(l-/?)]+1500xC!!/?(l-p)=900+1800p(l-p)；

令g(P)=P(1-P)2，P©(0」)，

g'(P)=(1-P)2~2/?(l-p)=(3p-1)(/?-!).

当pe（0,£|时，g'（p）>0,g（p）在上单调递增，

当peg,1）时，g<p）<0,g（p）在上单调递减，

所以g（P）的最大值为g（£|=£

所以实施此方案，最高费用为50+600*b00+1800、5）*10~=50+54+16=120>110

故所需的最高费用将超过预算.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，互斥事件的概率，随机变量的期望的应用，考查了利用导数解决

最值问题的方法，属难题.

瑞」［七笳:三爵

13.(1)。(100)=券(2),频唠=』题L魏1W七覆工触1

氏-鲍蝶二獭七陵三瞬3

1|触-矍懈?施啊»4

【详解】

试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确理解事件.当“=100时，这个数中有9个一位数,

90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11,所以恰好取

到0的概率为P（100）=工；（2）按（1）的思路，可分类写出尸（"）的表达式:

'I雌耽三期

叙一鬻源喧聪巴博勒

,（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进

”索—M■翻通三制三薪哪

M*•崛-：1瞬需«期舸»4

行讨论即可，当n-b（\工匕W9,/?£N'）,g（〃）=0;当

n=10k+b9(l<k<9,0<b<9ykeN”,beN),g(〃)=左，当〃=1000,^(/i)=11;即

答案第9页，共13页

0,n=b,\<b<9,bGN”、

g(n)=[k,n=\0k+b,]<k<9,0<b<9,keN*,bGN,同理有

ll,n=100

由M”)=/(〃)—g(〃)=1,可知S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},当〃=9时，P(9)=0,当

91

〃二90时，^(90)=^P(9—0)=—=—,当〃=10Z+9(lKA48,AwN*)时，

F(90)1/119

P(")=誓1=/飞=痣3,由)'=g工，关于k单调递增，故当

r(n)2〃-920k+920氏+9

QQ1

〃=1ON+9(1W2S8,丘N*),P(〃)最大值为P(89)=—.又一＜—,所以当〃wS时,P⑺

16916919

最大值为卷.

试题解析：(1)解：当〃=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11,

鹭口三糜三寓

1

所以恰好取到0的概率为。(100)=K；(2),频喊:aL隗期购踊三麟

(3)当

觊露城®士聪三辗磬

n=h(\<h<9,bQN*),g(n)=0',n=10k+h,[l<k<9,0<h<9,kGN,h&N),g(〃)=%,当

0,n=b,]<b<9,b&N",

〃=1000,g(〃)=11;即g(”)={k,n=10k+b,l<k<9,0<b<9,kGN，,b&N,同理有

11,”=100

鸣』三踊三幽

也砥=：1〔臊*沏一工」七法三鼠的工品喧鼠取出嬷:谶鱼理心

窈一幽明黜七糜三麒；

由〃(〃)=/(〃)-g(〃)=1,可知〃=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,所以当〃4100时,

S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},当”=9时，尸(9)=0,当〃=90时，

P(90)=.g(90)=2=J_,当”=10%+9(1<么<8AeN*)时，P(〃)==―--=---,

F(90)17119,3IUK+”I_K_O,KW/VF(〃)2n-920Z+9

L2

由y=不「；，关于k单调递增，故当〃=I。％+9(1分<8M£N"),P(〃)最大值为P(89)=

20%+9169

答案第10页，共13页

OII

又指<白，所以当〃eS时，P(〃)最大值为1.

1691919

考点：古典概型概率

14.(1)概率分布见解析，E(X)=；(2)P(X=“_3)=：G；3),<

42”(〃-l)(w-2)

【分析】

(1)当〃=5时，分别考虑T、S的取值情况，再分析X=T-S的概率分布；

(2)考虑X=〃-3的可能组成情况，对每一种情况进行概率计算然后概率结果相加得到

P(X=〃-3).

【详解】

解：(1)当〃=5时，8={1,2,3,4,5)

由题意可知，A=1或2,T=3或4或5

则X=T-