高中数学易错点梳理

高中数学易借点梳理

必考知识点：

第一章、集合与网数慨念(常用谡辑用语)

第二章、基本初等函数

第三章、函数的应用

第四章、三角函数

第五章、平面向量

第天章、三角恒等变换

第七章、解三角形

第八章、数列

第九章、不等式

第十章、空间几何体

第十一章、点、直线、平面之间的位置关系

第十二章、直线与方程

第十三章、圆与方程

第十四章、圆锥曲线与方程

第十五章、算法初步与框图

第十大章、概率、统计与统计案例

第十七章、推理与证明

第十八章、数系的扩充与复数的引入

第十九章、选修系列(坐标系与参数方程、不等式选讲)

第二十章、导数及其应用

第二十一章、计数原理与二项式

数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程

中一不小心就会抻进去。本文列举出了高中课本中一些常见的易措点，希望同学m在今后的学习

中引以为戒。

一、集合与简易退辑

易借点1对集合表示方法理解存在偏差

【问题】1：已知A={x[x>()},B={y|y>l},求AD8。

措解：AAB=0

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

正确结果：AC\B=B

[TO]2:已知A={y|y=x+2},8={(x,y)|%2+y2=4},求4口5。

措解：An5={(0,2),(-2,0)}

正确笞案：=o

制析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。

反思、：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不

理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易借点2在解含参数集合问题时忽视空集

【问题】：A={x\2a<x<a1],B={x\-2<x<\],且求。的取值范围。

错解：[-1,0)

剖析：忽视A=0的情况。

正确答案：[-1,2]

反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视

TA=0,导致解髭结果曾误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范

围内取值时，所给的集合可能是空集的精况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了

这个集合，导致答案错误或笞案不全面。

易错点3在解含参数问题时忽视元素的互异性

【问题】：已知1e{a+2,(a+l)2,a2+3a+3},求实数。的值。

错解:a=-2,-1,0

剖折：忽视元素的互异性，其实当。=一2时，(a+l)2=a2+3a+3=1；当。=一1时，

a+2=矿+3a+3=1；均不符合题意。

正确答案：«=0

反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最

大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的

值,再代人验证。

易借点4充分必要条件藕倒出错

【问题】：已知凡人是实数，则“a>0且6>0”是“a+b>0且ab>0”的

A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

错解:选B

剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。

正确笞案：C

反思、：对于两个条件A8,如果AnB,则A是8的充分条件，8是A的必要条件，如果

AoB,则A是B的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。

解题时最容易出错的就是糠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结

论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。

二、函数与导数

易错点5判断函数奇他性时忽视定义域

[I'OH：判断函数y=C'T)(r+l)的奇偶性。

x(x-l)

f+1

措解：原函数即y=3一，，为奇函数

x

制折：只关注解析式化简，忽略定义城。

正确答案：非奇非偶函数。

【问题】2：判断函数/(X)=A/7^T+VT7的奇偶性。

嫌解：•••/(—x)=/(x),.•.为偶函数

剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。

正确答案：既奇且偶函数。

反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇

非偶函数。在定义城关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有/(—x)=—/(x),则

/(X)为奇函数；如果对定义域内任意X都有/(—x)=/(x),则/(X)为其函数，如果对定义城

内存在/使/(一/)。一/■(而)，则/(%)不是奇函数；如果对定义域内存在/便

/(-Xo)*f(x0),If(x)不是偶函数。

易借点6解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的时论

【问题】：网数/。)=(m一l)d+2("?+l)x-l的图象与x轴只有一个交点，求实数m的取值

范围。

错解：由△=()解得〃?=0或加=一3

剖折：知识残缺，分类过抡意识没有，未考虑，"一1=()的情况。

正确答案：{—3,0,1}

反思：在二次型函数y=女2+灰+。中，当4H0时为二次函数，其图象为抛物线；当。=03，0

时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意/项的系数是否为0,若不能

球定，应分类i寸论,另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如

ax2+Zzr+c>0解集为Roa>0,A<0或a=b=0,c>0

以2+陵+。>0解集为0oa<0,△W0或a=b=0,c<0

易错点7用函数图象解题时作图不准

(问题】:求函数/@)=》2的图象与直线f(x)=2'的交点个数。

错解:两个

剖析：忽视指数函数与事函数增演速度帙慢对作图的影响。

正确答案：三个

反思、：'‘数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数

学学习者的青睐。但我II〕在解禺时应充分利用函数性质，画选图形，不能主观臆造，导致图形“失

真”，从而得出错误的答案。

易错点8忽视转化的等价性

【问题】1：已知方程〃优2—3x+l=0有且只有一个根在区间（0,1）,求实数m的取值范围。

猎解：；方程加d—3x+l=O有且只有一个根在区间（0,1）,••.函数）,=如2一3》+1的图象

与x轴在（0,1）内有且只有一个交点，.•・/（0）/（1）<0,解得“<2

制所:知识残缺,在将方程转化为函数时,应考虑到/（1）=0的情况。

剖析：①在转化过程中，去绝对值时出情，从而得到错误的图象。

②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。

正确笞案：D

反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前

提是转化的等价性，反之会出现各仲离奇的错误。

易错点9分段函数问题

【问题】1：.已知/（幻=［（2-"）"+1”<1是/?上的墙函数，求a的取值范围。

axx>l

错解:（1,2）

剖析：知识展缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视/（无）在分界点附近函数值

大小关系。

一3

正确答案：三,2）

2

2

【问题】2：设函数fM=[x+bx+c,x＜（）,x＜0,若〃⑷:/⑼"（一2）=_2,求关于“的方程

[2,x＞0.

/（%）=x解的个数。

错解:两个

剖析：基础不实，分类甘论意识没有，未能将方程/（%）=%分两种情况来解。

正确答案：三个

反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及时论奇

偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不

能确定，要对自变量取值进行分类计论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

易错点10误解“导数为0”与“有极值”的退辑关系

2

【问题】：函数/0）=》3+办2+bx+a在X=1处有极值10,求a,b的值。

铅解：由/（1）=10,/'（1）=0解得a=4/=—11珈=—3,人=3

剖析：对“导数为0”与“有极值”遢辑关系分辨不清，错把/（面）为极值的必要条件当作充要

条件。

正确答案：a=4,b=-11

反思、：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出便导函数等于0的点，而没有

对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出欢

这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在

此点取到极值的必要密件,充要条件是/'（面）=0且/''（X）在/两制异号。。

易错点11对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不法硼

【问题】：若函数/•食）=63—》在R上为减函数，求实数。的取值范围。

措解：由7''（x）=3ar2—1＜。在R上恒成立，，解得。＜0

△=12。＜0

错误!未找到引用源。

剖析：概念模糊，错把/（%）在某个区间上是单调增（被）函数的充分条件当成充要条件。事实

上。=0时满足题意。

正确答案：«＜0

反思：一个因数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）

于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于

0仅为该函数在此区间上单调博（M）的充分条件。

易错点12对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

【问题]：已知函数制）的导函数/⑴的图象如图所示，则P=心）的图象最有可能的是.

错解：选A,3,£)

剖析：概念不清，凭空乱靖，正确解法是由于/'(0)=/'(2)=0,且两边值符号相反，敌0和2

为极值点；又因为当x<0和x>2时，r(x)>0,当0<x<2时，f(x)<0,所以函数/(X)

在(3,0)和(2,+8)上为增函数，在(0,2)上为版困数。

正确答案：C

反思：解答此类题的关曜是抓住①导网数的零点与原因数的极值点关系一极值点的导数值为

0;②导函数值的符号与原函数单调性的关系一原函数看增浦，导函数看正负。

三、数列

易错点13由5.求生时忽略对“〃=1”检验

[问题]：已知数列｛a,"的前n项和S,,=〃2—〃+1,求为。

惜解：由a,=Sn—S,i解得q=2〃-2

剖折：考虑不全面，错误原因是忽略了S1-成立的条件n，2,实际上当n=1时就出现了

So,而S。是无意义的，所以使用a,=Sn-Si求。“，只能表示第二项以后的各项，而第一项能

否用这个可表示，尚需检验。

正确答案：(/7=1)

”[2n-2(n>2,n^N)

反思：在数列问题中，数列的通项为与其前n项和S”之间关系如下

S,

an=[(”=?,在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数

[5n-5„_,(«>2,ne7V)

列｛%｝的4,与S“关系时，先令九=1求出首项％,然后令〃22求出通项a“=S”一Si,最

后代人验证。解答此类题常见猎误为直接令〃22求出通项a“=S,—5,1，也不对〃=1进行检

%。

易错点14忽视两个“中顶”的区别

【问题]：b[=ac是a,O,c成等比数列的（）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分有不必要条件

错解:C

剖析：思维不境密，没有注意到当b?=ac时，a,O,c可能为0。

正确答案：B

反思、：若a,b,c成等比数列，则分为。和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中

项，“b2=ac”仅是“6为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

易借点15等比数列求和时忽视对q的纳

【问题】：在等比数列｛q｝中，S,为其前n项和，且S3=3%,求它的公用q。

猎解：•.3"«_"）=3%,解得q=-1

\-q2

剖析：知识贱缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行时论，导致失误。

正确答案：q=-；或q=l

反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0,等

比数列的其前n项和5.为分段函数，其中当q=1时，5“=〃4。而这一点正是我们解题中被忽

昭的。

易错点15用错了等差、等比数列的相关公式与性质

【问题】：已知等差数列｛a,J的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项和邑,“。

错解一：170

剖析:基砒不实,记错性质,误以为SwSz,S3m成等差数列。

错解二：130

剖折：基础不实，误以为黑风圈,,，满足SLS-SZ,"。

正确笞案：210

反思：等差、等比数则各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用措

了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各

种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。

易借点16用错位相滤法求和时项数处理不当

【问题】：求和S“=l+3a+5a2+

剖折：①考虑不全面，未对a进行时论，丢棹。=1时的情形。

②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。

③将两个和式错位相同后，丢掉最后一项。

n2(a=1)

正琬答案:12a(]-a"-')2n-l“/”

+-------+------------a”(aH1)

\-a-----(1-a)-\-a

反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相

减法求和。基本方法是段这个和式为Sn,在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个

和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个

等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要

处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共〃项，有时只有〃一1项。

另外，如果公比为字母需分类时论。

易借点17数列中的最值错误

【问髭】：在等差数列｛中，4=25,品=516,求此数列的前几项和最大。

剖析：①懈题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5,误认为n=12.5。

②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出处,=0时，误认为只有品,最大。

正确答案：42或43

反思：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理

解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n

为何值时，能峭取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数即

离二次函数的对称轴远近而定。

四、三角函数

易错点18求解时忽略角的范围

15

【问题】1：在AA3C中,sinA=-,cosB=—,求cosA,sinB的值。

513

412

错解：cosA=±-,sinB=±—

513

剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。

412

正确答案：cosA=-,sinB=—

513

【问题】2:在AABC中，A、3为锐角，且sinA=乎,sinB=噜，求A+8的值。

猎解：先求出sin(A+8)=业，A+Be((),万)，A+8=工或网

244

剖析：知识残缺，由于A、8为锐角，所以A+3e(0,乃)。又由于正弦函数在(0,万)上不是

单调函数，所以本禺不宜求sin(A+B),宜改求cos(A+B)或tan(A+B)。

TT

正确答案：A+B=-

4

【问题】1:在A4BC中，巳为a=后,b=G,B=^，求角A

3

造解：用正弦定理求得sinA=也，.•.A=f或二

244

剖析：基础不牢，忽视隙含条件82。出错。

7T

正确答案：A=-

4

反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易措点之一。解题时，务必重视“根据巳

知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。

易借点19求关于sinx,cosx最值时忽视正、余弦函数值慎

［问题］:已知sinx+siny=求siny-cos2x的最大值。

3

2

错解：令/=sinx,得siny-cos2x=t2-/--(-I<r<1),通过配方、作图解得siny-cos2x

的最大值为4:

剖析:本题虽注意到sinx的值帧，但未考虑到sinx与siny相互制约，即由于-1wsiny这1,

-1<sinx<1

sinx必须同时满足＜1O

-1<——sinx<1

3

4

正确答案：-

反思、：求关于sinx,cosx最值的常规方法是通过令f=sinx(或cosx)将三角函数的最值问题

转仇为关于f的二次函数问题求解。但由于正、余骇函数值域限制，，只能在某一特定范围内取

值，解题时务必要注意此点。

易借点20三角函数单调性判断错误

【问题】：已知函数y=cos(工-2x),求它的单调减区间。

4

rr

错斛：2k兀w——2xw2Z"+»

4

制析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成

y=cos(2x--)求解正确答案：(k7i+-,k7r+—XkeZ)

488

反思：对于函数y=Asin(0x+0)来说，当。＞0时，由于内层闭数“=+＞是单调递增的,

所以函数y=Asin(&r+°)的单调性与函数y=sinx的单调性相同，放可完全检照函数

y=sinx的单调性来解决；但当啰＜0时，内层函数〃=ox+c是单调通液的，所以函数

y=Asin(@x+e)的单调性与函数y=sinx的单调性正好相反，就不能按照函数y=sinx的单

调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于带有组对值的三角

因数宜根据图象从直观上加以解决。

易借点21图象变换的方向把握不准

【问题】：要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cosx-拼的图象()

A向右平移;个单位B向右平移三个单位C向左平移1个单位D向左平移9个单位

6336

错解一：C

剖析：知识残缺，未符函数化成同名囱数。

错解二：D

剖折：基础不牢，弄错了平移方向。

正确答案：A

反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平称的量不同，

y=sinx—>y=sin(尤+0)(卬>0)平移的量力|同,

y=sinxfy=sinvvxfy=sin(wx+夕)(卬>0)平移的量为」。

w

易错点22忽视平面向量基本定理的成立条件

［问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是

①Z=(0,0),6=(1,-2)；(2)«=(-1,2),b=(5,7);

③屋(3,5),1=(6,10);©0=(2,-3),1=(4,-6);

猎解：选①或③或④

正确答案：②

副折：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。

-—*—»

反思：如果。、分是同一平面内的两个不共线向量，那么对核平面内的任一向量C,有且只有一

——>一

对实数入”入2,使。=入1。+入2b。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是

重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

易错点23忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别

-2,_

【问题】：已知向量。=(x,x+§)与。=(2元一3)的夹角为读角，求实数x的取值范围为

fa解：—<尤<2

2

制折：概念模稔错误地认为G，而为钝角。疝石<0

正确答案：一一vxv2且x声0

2

反思：白⑹为曲角o港<0且造石不共线。口"+XX<0

''〔玉―尸。

大、不等式

易错点24不等式性质应用不当

TT7T

【问题］：已知0<a<万，-^<P<-,求函a—尸的飒值范围。

措解：0<a<TV,<|3<y,0-（一?）<a—尸<万一］,.,.a-/3&（^>y）

剖折:套用错误，不等式具有同向相加性质,但两边不能分别相减。

正确答案：（一彳，¥）

24

反思：不等式基本性质是不等式的基朋，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解髭时，务必

要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。

易借点25忽视等号同时成立的条件，扩大了范围

【问题】:已知用数/（x）=a?+尻，且1”（一1）«2,2"⑴K4,求/（—2）的取值范围。

错解:先由1</（一1）<2,2</⑴<4求出a,b的范围，再用不等式性质求出了（一2）的范围为

［5,10］。

剖析：知识残僦，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。

正确答案：利用待定系数法或线性规划求解，/（—2）的范围为［5,10］。

反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量

范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽

可能多的使用等式。

易错点26去分母时没有判断分母的符号

Y_x_6

【问题】：解不等式，〉0

X—1

丫2__6

措解：~~>0,/.%2-%-6>0,解得卜|%<—2,或x>3}

制折：基础不实，没有考虑分母x—l的符号，直接去分母，应对》一1进行分类抗论，或用数轴

标根法求解。

正确笞案：（-2,l）U（3,+w）

反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0=ac>bc；a>b,c<0=ac<bco解分式不

等式基本思想是通il去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须对分母的符号

进行判断，必要时要对分母进行讨抡。

易错点27解含参数不等式时分类讨论不当

[问题]：解关于x的不等式|2x—l|Wa—2

猎解一：原不等式等愉于一(a—2)<2x—1Va—2,解得—■+二"〈xW-------

2222

剖析：基础不实,直接利用绝对值不等式的解集公式,而忽视对a-2进行分类时论。

错解二：当a—2<()时，原不等式不成立。

当a—2>()时，原不等式等价于一(a—2)42x—1<cz—2,解得---1—--------

2222

剖折：技能不熟，没有对“一2=0进行时论。

正确笞案：当。一2<0时，不等式解集是中；当〃一220时，不等式解集是

反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论,

片论时要做到不重不漏，分类解块后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。

易借点28忽视均值不等式应用条件

2

【问题】1：若x<0,求函数f(x)=x+—的最值。

X

错解:当x=JI时,f(x)取得最小值2女

剖析：基础不实，基本不等式。+/7咎2施成立条件为。>0,。〉0,本题中x<0,不能直接使

用公式。

正确答案：最大值为一2夜，无最小值。

4

【问题】：设0<x<7求函数/(x)=sinx+1—的最小值。

'sinx

44

错解：/(x)=sinx+------->2.sinx[]------=4

sinxvsin%

4

剖析：知识残缺，因为上述解法取等号条件是sinx=—,sinx=±2,而这是不可能的。

sinx

正确答案：最小值为5

23

【I可题】3：段。>0力>0且。+8=1求函数f(x)=—十7的最小值。

措解：—=(a+/?)(2+g)》2>/ab^J—=4瓜，:.函数f(x)的最小值为4ao

ababyab

剖析：技能不熟，上述解法似乎很H妙，但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样，因此取

不到4屈o

正确答案：最小值为5+2"

反思：均值不等式。+6>2技（a>0,b>0）取等号的条件是“一正，二定，三相等"。

在解题过程中，务必要先校验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值,

设法构造“定值”；②若是。>0力>0不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等

号不能成立，可根据“对勾国数”图象,利用单调性求解。

易错点28平面区域不明

【问题］：（%—2y+l）（x+y—3）<0表小的平面区域是（）

猎解一：选A计算错误

措解二：选B思维不缜密

错解三：选D审题粗心，未注意到不含等号。

正确答案：C

反思：一条直线/：Ar+为+C=0（A,8不全为零）把平面分成两个半平面，在每个半平面内的

点（x,y）便Ax+B），+C1值的符号一致。鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，

取点定域，若含等号画实线，否则画虚线。

易借点29求目标函数最值时忽视），的系数B的符号

》41，

【问题】：若变量满足为束条件卜+yNO,求目标函数z=x—2y的最大值。

尤一y—2W0,

措解：先作可行域，在平移直线/：x—2y=f得最优解（-1,1）,所以z1mx=—3

剖所：识记错误，当y的系数小于0时，使得直线/在y轴上或距最大的可行解，是目标函数取

得最小值的最优解。

正确答案：3

反思：解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线/:Ax+B），=f在y轴上的截幽

越大，目标函数z=Ax+B），值越大，截距越小，目标的数值越小；反之，当B<0时，动直线

/:—+为=「在丫轴上截距超大，目标函数2='+与，值裱小，前距越小，目标函数值也大。

其中）的系数8的符号是解题的关鲤，也是同学『］经常忽略的地方。

七、立体几何

易错点30不会将三视图还原为几何体

［问题］：若某空间几何体的三视图如图所示,

求该几何体的体枳。

错解：如图垓几何体是底面为边长J5正方形，高为1

的技柱，，垓几何体的体枳为V=(J5)2xl=2

剖所：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。

正确答案：V=1

反思：在由三视图还原空间几何偏时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮腐

线在三视图中为实线，不可见轮斑线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和M视图为

1,结合/视图进行综合考虑。

易借点31空间点、缆、面位置关系不清

［问题］:给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中为真命题的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

错解:A

剖析:①空间想象能力欠缺,不会借助身边的几何体作出判断；

②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。

正确答案：D

反思、：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质学

握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个

进行遐辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实麻空间位置(加教室、课桌、灯管)作

出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。

易错点32平行关系定理使用不当

［问题］：正方体ABCD-ABCD中，M,N,Q分别是棱DiCi,AD,BC的中点，P在对角线B%

上，且加=2函，给出下列四个命题：(1)MN〃面APC；(2)CiQ//面APC；(3)A,P,

M三点共线；(4)而MNP〃面APC.正确序号为()

A、(1)(2)B,(1)(4)C,(2)(3)D,(3)(4)

错解：A、B、D

剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。

正确答案：C

反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化旧，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。

如在证明直线a〃平面a时，不能忽略直线a在平面a外。证明有关线线，线面，面面平行时使

用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。

易借点33垂直关系定理使用不当

【问题】：已知三枝锥P-ABC中,PA1ABC,AB1AC,PA=AC=%AB,N为AB上一点，AB=4AN,

M、S分别为PB、BC的中点。p

①证明：CM1SN；

②求SN与平面CMN所成角的大小.\\

副折：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时，大盘三4c

只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两/，田尹/

条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有8勿

说明找角的过程。

反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先杷其中一条直线

视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平

面，进而达到证明线线垂直的目的。

易借点34利用空间向量求缆面角几种常见错误

【问题】：如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M,N分别为AB,DF的中点，

若平面ABCDJ.平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。

剖机：本题在求得平面DCEF的一个法向量况=(0,0,2)及

MN=(-1,1,2)后，可得COS<MN,例>=一一

可能出现的错误为：I/'

33cE

正确笞案：—

3

反思、：若直线与平面所成的角力。，直线的方向向量为平面的法向量为7,则

sine=|cos<3n>\o容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；

②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余强就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③

不清楚线面角的范围。

易借点35二面角柢念模糊

【问题】：如图，四校维S-ABCO中，底面ABCD为矩形，SO_L底面ABC。，AD=E,

DC=SD=2,点M在恻枝SC上，ZABM=60os

①证明：M是II棱SC的中点；/：\^

②求二面角S—AM—3的余弦值。/

剖析：本题在求得平面SAM、MAB的法向量2=(J5,1,1),仁(痣,80,

2)后，然后计算出cos<Z,B>=白；接着可能错误地以为二面角S-AM-3余弦值为，，

其实本题中的二面角是钝角，<2出>仅为其补角。

正确答案：一日

反思：若两个平面的法向量分别为b,若两个平面所成的锐二面角为。，M

cos(9=|cos<a,^>|；若两个平面所成二面角为曲角，则cos6=-kos〈方，石〉]。总之，在解

此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。

利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向

量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见笛

误有①不会将空间问题转化为向量间髭；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使

用定理出错，⑤书写不规范。

人、解析几何

易错点36便斜角与斜率关系不明

【问题】：下列命题正确的为。

①任何一条直线都有限斜角，部有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

③平行于x轴的直线,《斜角为0°或180°；

④平行于y轴的直线，斜率不存在，所以超斜角不存在；

剖折：知识残缺,概念模糊。

正确答案：无选项

反思：简斜角和斜率分别从不同角度反映了直爱的颐斜程度，但二者也有区刖，任意一条直线都

有做斜角，但不一定有斜率。解此类题常见错误有①弄错直线蛆斜角的范围；②当直线与X轴平

行或重合时，误认为颜斜角为0°或180°；③不了解颜斜角与斜率关系。

易借点37判断两直线位置关系时忽视斜率不存在

【问题】：已知直线儿：ax+2y+6=0和A:x+(a-1)y+才-1=0,

①试判断八与八是否平行；②当/i_L。时,求a的值。

剖折：本髭中的直线为一般式，宜用②中的等价关系求解，如果用①中的等价关系求解，一定要

考虑斜率不存在的情况。

2

正确笞案：(1)«=-1(2)§

反思：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两抻：

①若直线八：y=k[x+b^li.y-k2x+b2,则有

八与A相交o4w&；/i〃，20k、=k?,且b"b2；111/2<=>k[•k2=—1

②若直线4：4X+4y=c;,，2：4%+32丁=。2，则有人与八相交0A与一44wo；

AB,—A,B1=0

/，2<=>s'/；/11AoAA,+=0

[A|G_4G*0或BG—g。产0八-1-

两种方法各有优缺点，方法①简便易行，也仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，

但运算量较大。考生经常出境的是：用方法①但忽视对斜率的讨论。

易错点38平行线间的距离公式使用不当

【问题】：求两条平行线让3x+4y+6=0和A：6x+8y—4=0间的距离。

措解：八IFLGI」喧(~4)|_2或"IfYl」喧1)|_]

JT+♦?A/32+42VA2+B2&2+8'

•••直线八与八的距离为2或1

剖折：技能不熟，求两条平行线间的距离时，没有把x、y的系数化成相同。

Q

正确答案：y

反思、：两条平行线之间的附离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。若直线>：A

x+By+Ci=0和/2：Ax+By+C?=0G关的)，则直线/1与/?的距离为“=IfYl。常见的错误是忽视

yl^+B2

判断两直线中x、y系数是否相等。

易错点39误解“翻距”和“距离”的关系

【问题】：若直线以+2y+2=0(a/0)与驰物线(y-1)2=x-1在>轴上的戴也相等，求a

的值。

2

错解：直线方+2y+2=0(a#0)在x轴上的截距为x=——，棚物线(y-1)2=x-1在x轴

a

2

上的截距为2,一」=2,解得a=±1

a

剖析:概念模制，错把截能当成距离。

正确答案：於-1

反思：截即是指曲线与坐标轴交点的横(纵)坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而明

离一定是非负数，对此考生应高度重视。

易借点40忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围

[问题]：求过点(2,1)和(落2)的直线方程。

2-111

措解：先求出斜率左=—；=」，故所求直线方程为y-i=；(x-2)

a-2a-2a-2

制所：知识残缺，未考虑k不存在的情况。

正确笞案：当a=2时，直到方程为x=2,当。工2时，直线方程为y-%」(x-2)

a-2

反思：点斜式y—%=《(x—%)和斜戴式y=是两抻常见的直线方程形式，应用非常广泛，

但它们仅适用于斜率存在的直线。解题时一定要验证斜率女是否存在，若情况不明，一定要对斜

率女分类时论。

易错点41忽视直线截即式方程适用范围

【问题】：直线/经过点P(2,3),且在两坐标轴上的前距相等，求直线/方程。

xV

措解：设直线/方程为一+)=1(a^O),将点P代人得於5,「./的方程为x+y-5=0

aa

剖析：知识残缺，不了解我胞式方程适用范围，漏棹直线过原点的情况。

正确笞案：x+y-5=0或3x-2y=0

反思：直线的截距式方程为2+F=l(的片0)，a为直爱在x轴上的截距，白为直线在y轴上

ab

的截距。其适用范围为①不经过原点，②不与坐标轴垂直。

易借点42忽视圆的一般式方程成立条件

【问题］：已知圆的方程为/+丁+分+2y+“2=0,过A(l,2)作圆的切线有两条，求a的取

值范围。

错解：•.•过A(l,2)作圆的切线有两条，.•.点A在圆外，.・.a2+a+9>0,aeR

剖折：技能不热，忽视圆的一般式方程的充要条件。

工施枝安(2&2百)

正确答案：ae\-----，----

I33,

反思：在关于x、y的二元二次方程/+丁+瓜+或+尸=。中，当。2+七2一46〉。，表示

一个圆；当。2+后2-4/=0时，表示一个点；当。2+E2—4/<0时，不表示任何图形。

x2+y2+Dx+Ey+F^0仅仅是曲线为圆的一个必要不充分条件，在别断曲线

%2+丁+瓜+助+尸=。类型时，判断。2+£2-4方■的符号至关重要，这也是考生易措点之

易错点43忽视回维曲线定义中的限制条件

【问髭】1：已知定点邛一3,0),仅3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是桶圆的是

22

A|尸耳|+|尸闻=4B〃E|+|尸闾=6C|?周+|尸闾=10D|PF,|+|PF2|=12

错解：A或B

剖折：概念模制，由于|FE|=6,所以A选项无机述，B选项的凯述为线段耳石。

正确答案：C

【问题】2：说出方程J(x—6>+程一J(x+6>+\=8表示的曲线。

铅解：双曲线

制折：知识不全，J(x-6)2+y7(x+6)2+y2=8表示旗点P(x,y)到定点耳(6,0),《(一6，。)的

距离只差为8,且IP印>|PF4,.•.轨迹为以为隹点耳(6,0),6(一6,0)的双曲线的左支。

正确答案：机通为以为焦点耳(6,0),6(一6,0)的双曲线的左支

反思：在怖圆的定义中，对常数加了一个条件，如常数大于|耳国。这种规定是为了避免出现两

种特殊情况一机通为一条线段或无轨通。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时

要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨述只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。

易错点57求桶圆标准方程时忽视“定位”分析

【问题】：若椭圆二+其=1的离心率6=如，求力的值是。

5tn5

铅解：/=5,b2=；71,c2=5-m,Je=^^~,

5

剖折：技能不熟，没有考虑到焦点在y釉上的情形。

正确答案："7=3或m=不

反思：确定椭圆标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的

相对位置，在中心