直线与平面垂直课件

11.4.1直线与平面垂直

。常考题型目录

题型1概念辨析题..................................................................................3

♦类型1位置关系判断..........................................................................3

♦类型2概念辨析..............................................................................7

题型2线面垂直的证明..............................................................................9

题型3线面垂直证明线线平行......................................................................20

题型4线面垂直证明线线垂直......................................................................26

题型5勾股定理证明垂直...........................................................................35

题型6垂直小题...................................................................................37

题型7探索性问题.................................................................................43

Q知识梳理

知识点一.异面直线所成的角

/.定义：如果“，人是空间中的两条异而直线，过空间中任意一点，分别作与«,b平行或重合的直线优,

b',则a马，所成角的大小,称为异面直线a与h所成角的大小.

2.异面直线所成的角9的取值范围：0。V氏90。.

3.垂直：空间中两条直线/,m所成角的大小为90。时，称/与垂直，记作/，机

知识点二.直线与平面垂直

1.直线与平面垂直的定义

定义如果直线/与平面咕的任意一条直线都垂直,我们就说直线/与平面a互相垂直

记法11.a

有关概念直线/叫做平面如勺垂线，平面aflU做直线/的垂面.它们唯一的公共点。叫做垂足

1

图示/叱

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

2.直线与平面垂直的判定定理(简称线面垂直的判定定理)

文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直

符号语言/-La,/±.b,aua,Zx=a,aT\b-P=>/±a

图形语言

3.线面垂直判定定理的推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.

符号语言：a\\b,=bl.a,

知识点三.直线与平面垂直的性质

1.线面垂直的性质

(1)如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线这个平面.也垂直于这个平面

(2)过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.

2.直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线轨

as-a

符号语言0alib

bs.a

图形语言

①线面垂直一线线平行

作用

②作平彳亍线

3.直线与平面垂直的性质定理推论：

一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直.

符号语言：_bca_

题型1概念辨析题

【方法总结】理解线面垂直的判定定理注意以下几点：

(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直"

(2)”两条相交直线”是关键词，一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误，即"线不在多，相交就行"

(3)要证明一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相

交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.

(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用。

♦类型1位置关系判断

【例题11(2023•全国高一专题练习)已知a是平面，/、机、〃是空间三条不同的直线，则下列命题中正

确的个数为()

匚若机Da,nUa,/Lm,/On,贝［|/LJa；

□若iQm,/□«,!01|m//n；

匚若三条直线/、"7、〃两两相交，则直线/、〃?、〃共面；

匚若,nQa,l//m,则〃/〃

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据线线，线面的位置关系逐项分析即得.

【详解】根据题意，依次分析4命题,

对于口，当m与“相交时，可得/a,匚错误；

对于U,垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交，也可以异面，错误；

对于口，当3条直线交于一点时，直线/、〃?、〃可能异面，匚错误；

对于口,若mUa,na,则m//n,又由l//m,则l//n,□正确；

所以4个命题中，有/个正确；

古嫡：B.

【变式1-1]1.（2023•全国•高一专题练习）设腹空间中的一个平面，口，口,。是三条不同的直线，

则（）

A.若口uU,£7cLJ,£71U,£71U,则口

B.若。〃£7,□"口,£71U,则。1D

C.若,£71口,D1£7,则O_LU

D.若Oun,口＞a,a,则5/o

【答案】B

【分析】AD可举出反例，B选项，由线面垂直的判定定理得O；C选项，可得到£7〃。；

【详解】A选项，a与m目交、平行或Ou口,

如图1,当小寸，匚芍m目交，故A错误；

B选项，因为。//O,,所以口〃口,

因为£71O,则由线面垂直的判定定理得。，故B正确；

C选项，因为口,LJ1口,所以。〃£7,

因为切/0,所以，故C错误；

D选项，若£7u口,O1口,£71D,则〃与可交、平行或异面,

如图2,满足Ou口，£71U,£71口,而。与啰面，

图2

故D错误.

故选：B.

【变式1-1]2.（2023春•全国•高一专题练习）已知直线次口平面口，则"强直于。内任意直线"是

。’的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定和性质,结合题意，即可容易判断和选择.

【详解】若。垂直于口内任意直线，显然有01口,故充分性成立；

巷口'□.则匚垂直于平面。内任意直线，故必要性成立，

故垂直于o内任意直线"是"□、。’的充要条件.

故选：C.

【变式1-1]3.（2023・全国•高一专题练习）已知直线口，平面。，有以下几个判断：

①若U,则O//Z7；

②若O_L□,则夕/口；

③若£7//£7,则£71O；

④若。〃口，则。J_0；

上述判断中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】B

【分析】根据线面的位置关系，线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即

得.

【详解】对于①，当Ou平面。也可以有Z7_L0，但m不平行于平面O,故①错；

对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；

对于③，根据线面平行的性质定理可得存在。u£7且Oil£7.而直线平面O,故可根据线面垂直的性

质得出口工口,故口，5E确;

对于④，根据直线01平面可在平面。内找到两条相交直线p,n,且£71口,□工□,又口”口,所

以□，口,□L□,故根据线面垂直的判定定理可知，£71。正确.

即②③④正确.

故选：B.

【变式1-1]4.（多选）（2023•全国•高一专题练习）（多选）下列命题中，不正确的是（）

A.若直线I与平面a内的一条直线垂直，则l，a

B.若直线I不垂直于平面a,贝！la内没有与I垂直的直线

C.若直线I不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与I垂直

D.若直线I与平面a内的无数条直线垂直，则l，a

【答案】ABD

【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】当I与a内的一条直线垂直时，不能保证I与平面a垂直，所以A不正确；

当|与a不垂直时,I可能与a内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；

若I在a内,I也可以和a内的无数条直线垂直，故D错误.

故选：ABD

【变式1-1]5.（多选）（2023•全国•高一专题练习）已知m、n是两条不同的直线，口、。是两个不重

合的平面，给定下列四个命题，其中是真命题的是（）

A.若口L口,Z7c口,则D

B.若口_L口,LJu口,则OJ.D

C.若£71口,ZZ71D,则O〃£7

D.若ZZ7u□,□u□,Z7//ZZ7,则。〃£7

【答案】BC

【分析】根据线面垂直的定义和性质，以及面面平行的性质即可判断.

【详解】对于A,直线m垂直于平面O内的一条直线n，则直线m与平面。不一定垂直，所以A不是真命

题；

对于B,因为。_LZ7uZ7,由直线与平面垂直的定义可知：Z71O,所以B是真命题；

对于C,因为OlL7,£71£7,由直线与平面垂直的性质可知：口”口,所以C是真命题；

对于D,分别在两个平行平面O,型的直线m,n平行或异面，所以D不是真命题.

故选：BC.

♦类型2概念辨析

【例题1-2】下列说法正确的有_______（填序号）.

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直;

③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；

④若/与平面坏垂直，则平面型）一定没有直线与/垂直.

【答案】②【解析】因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①

不正确.

由线面垂直的定义可得，故②正确.

因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.

如图，/与a不垂直，但aca,/_La,故④不正确.

【变式1-2]1.下面四个命题：

①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；

②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；

③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；

④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个.

其中正确的是（）

A.①④B.②③C.①②D.③④

【答案】B【解析】过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有

无数个，故④不正确；易知②③均正确.故选B.

【变式1-2]2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于（）

A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC

【答案】C

【解析】-OAJ.OB,OAA.OC,OB^OC=O,OB,。氏平面。纪，平面08c

【变式1-1]3.如果一条直线垂直于一个平面内的:

①三角形的两边；

②梯形的两边；

③圆的两条直径；

④正五边形的两边.

能保证该直线与平面垂直的是______（填序号）.

【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定

相交，能保证直线与平面垂直.而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.故

填①③④.

【变式1-1】4.直线a□直线6,aU平面£,则6与£的位置关系是（）

A.b邙B.bQ/3

C.bD/iD.或阿3

【答案】D

【解析】以如图所示的正方体小小为模型.

AIALW-^ABCD,A!A3AIBI,AA,QAB,4/8/匚平面平面/BCD,故选。.

题型2线面垂直的证明

【方法总结】

证明线面垂直的关键是分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂

直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理

等都是找线垂直的方法.

【例题2]（2023春•全国•高一专题练习）在棱长为2的正方体口。口口-口口、口1口曲.求证：1

面口口1口;

|C,

A,

/D.................7c

AB

【答案】证明见解析

【分析】连接oa,证明口□1平面口□□，口口1平面£7&口1可得口□工□、□,□]□].□、口,

再根据线面垂直的判定定理即可得证.

【详解】如图，连接oa则皿10,0,

□□、1平面口□□口,□□u平面口□□□,

所以1口口,且口口门口□[=口,口口,□□[U平面&□口,

所以£70,平面4£70,

由&Z7u平面&□口,所以S

因为/Z/i_L平面ZZZ(口,口、□u平面□,

所以&&y口,

又ZZ7i□[Q□=□、,□、□],□u平~百□口、,

所以aDI平面0aoi,

又□□、u平面Z74&,所以0Z71口、口,

因为Z7ZZ7C□、口=口,□□,□]□□□口,

所以平面

【变式2-1]1.（2023・全国•高一专题练习）如图所示，在正方体0£700-4。1&&中，乃口口1的

中点，口□与□□SA点.口,求证：ZZ7IZZ7JL平面Z7Z7Z7.

【分析】要证明■□工平面口□口，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线4。垂直于平面

ZJOO中的两条相交直线即可.

【详解】【证明】•.四边形OOO与正方形，

_L平面£7£7£7O,£7£7u平面Z7Z7Z7O,

:,口口11口□.

又：口、□u平面。1口口,□□u平面&□口,且。1Uc□□=口,

:.□□_L平面□口,

而□u平面□口,

:\口、口,

令正方体的棱长为2,连接。口□如下图所示

则有□]□=V6,口口=V3,□、口=3,

:.口14+旧=口面,

：.□、□上□□,

又□□u平面□□□,□□u平面口口口且□□=口,

:.口1Z7±平面□□□.

【变式2-1]2.（2023•高一课时练习）如图所示,△口□加△所在平面互相垂直，且□□=口口=

口□=2,z□□□=z□□口=12。°点□,口,磔别为口□,。中]中点，求证:口□1平面□□口

【答案】证明见解析

【分析】分别利用三角形相似和等腰三角形性质可得口口、□□、口□‘再由线面垂直的判定定理

可得1平面□□口,而由£70/0。可得答案.

【详解】由□□=UU=口□=2且乙□□口=乙□口口=120°,

可得△□□□.□□□,所以口口=□□,

又由a为。o的中点，所以。。1口口,

因为％。OB勺中点，可得口O1□口,

又因为口□=方口□,UUu钙口□□,所以£7。1平面。£7。，

因为£7,2分别为£7口。牛中点，麻以所以□□1平面□□□.

【变式2-1J3.(2023•全国•高一专题练习)如图，在三棱锥口-口口小，口□=□□=□□="□□=

2口口=4,□□LUU,班口怵中点.

(1)证明：□□1^^口口口;

(2)求点O到平面OO00勺距离.

【答案】Q)证明见解析

⑵苧

【分析】(1)证明口口,口□工□口,结合线面垂直的判定即可证；

(2)点0到平面PAC距离，即为三棱锥。-□□第PAC的高，计算出。小8届么〃〃〃即可.

【详解】(1)证明：因为。£7=□□,0为。O0勺中点，所以0Z71

连接因为口口工口口,所以

又□□:口□,所以△□□□兰2□□□,所以S_L

因为□□△口□=口,口口匚钿□□□,LJLJu礴□□□,

所以£701平面£7£7£7.

(2)因为£70=□□=□□=5,□□=2£70=4,

所以口口=yJOLf-DLf=V21,□□=J口d-ULf=2V3.

口□口—\口△□□口=gxgx2x2>/3—V3,

□□-□□口~3□〉□□□，□□=-xV3xV2T=V7.

设点事|口中]距离为力,贝！MJ口厅-Q口雷=V52-12=2V6,则口口口=；=2V6.

12痣0

设点。到平面的距离为。，则口□一口口口3-5I=3

因为=□□_□□□，所以宇=V7,解得£7=苧,

即点U到平面。。距离为苧.

【变式2-1]4.（2021春・陕西榆林・高一陕西省神木中学校考阶段练习）将如图①所示的矩形OOOO3

。。翻折后构成一个四棱锥口一OZ7£7O（如图②），若在四棱锥。一□□□£□□=V3,连接口□.

（1）求证：平面OOO;

（2）求四棱锥口-O口OOB勺体积.

【答案】（1）证明见解析

(2*

【分析】（1）利用勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直判定定理，可得答案；

（2）利用线面垂直判定定理以及三角形的性质，结合棱锥的体积公式，可得答案.

【详解】Q）证明：在4口□田，口口=心口口=1,口口=2,

cd-+U[3=□仃，:,DDL

又□口1口口,□□n□口=□,□□,□口u平面□□□,

：■OO1平面。。/7.

(2)如图，取口世中点。,连接OO,

在4口口袋,口口=□口=V2,口□=2,AZ7行+口d=nd-,：.

由(1)可知平面OZZ7O，且AC在面MAC内，:.□□1

又丁UEJc□□=D,ZZ7£7u平面Z7ZZ7ZZ7,・•・

又•・,□□u平面。ZZ7Z7,・•・□□】□□.

在4口口仔,口口=口□=1,□□=V2，:.□口工口口=y.

又•••0/7n□口=D,CD、AC在面ABCD内，;□□1^^口口口口

j□四邂皿口x£7£7=5x(lTx1)xf=T-

【变式2-1]5.(2023・全国•高一专题练习)如图，在四棱锥。-口口口徜，底面口口。2是矩形，。。1

强□□□□,□□=□□=',口、为勉是口口、。中)中点.

P

(1)证明：□□“晒口□□；

(2)【证明】平面□□□；

⑶若平面□□□,求四棱推。一色体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

【分析】(1)取。。的中点为连接02证明四边形000。为平行四边形即可证明。O//。。,

进而根据判定定理即可证明；

(2)证明OZ71平面00/7,再结合OO〃Z7O即可证明结论；

(3)由题可求得OL7=L7£7=V2,进而求得直角梯形ABCF的面积,然后利用棱锥的体积公式即求.

【详解】(1)证明：如图，取口木中点为£7,霞口口，口口.

因为2口a分别是oa口口,口中中点，四边形口。口。是矩形，

即以□□=[口□,且口口1口□,口口=q口□,

而以口□=口口,

所以四边形。oo孕平行四边形，

而以

又□□u平面□□□,□□C平面□□□,

所以平面□□□.

(2)证明：因为口口=口口=1,。。勺中点为£7,

所以O0J.口口,

因为ZZ7ZZ71平面□□口口,口口U平面口□口口,

所以0口1口口,

因为底面口。口。是矩形，

所以O0J.口□,

因为ZZ7ZZ7n□口=azz7a£7。U平面Z7Z7ZZ7,

所以Z7Z7，平面Z7Z7Z7,

因为口1Ju平面□□□,

所以O0J.口口,

因为ZZ7ZZ7n□口=azz7a£7。U平面Z7Z7ZZ7,

所以Z7Z7，平面Z7Z7Z7,

因为由（1）知口切/口口，

所以□□1平面□□□.

（3）解：因为□□L平面□□□□,□□、OOu平面ABCD,

所以0口1口□,口□1口口,

又口口=口口=1,所以口口=V2,

因为□□上平■面□□□,UUu平面口口口,

所以£70,口□,

又E是PB的中点，

所以□口=口口=戏,

所以直角梯形OOOO的面积。=gx（掾+夜）=苧.

因为点O到平面。口口j勺距离。=；□□=》

所以□□-口□口口=gx苧X；=*.

【变式2-1]6.（2023•高一课时练习）已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，20,Q是底

面圆0内一点，且。口J_S,C是AS中点，D是点。在SQ上的射影.

（2）求三棱锥。-OOO体积的最大值.

【答案】（1）证明见解析

⑵二

-12

【分析】（1）根据空间中线线垂直，线面垂直的相互转化关系即可证明.

（2）先通过空间中垂直关系证明£701平面再根据三棱锥的体积公式，结合基本不等式，即可求

其体积的最大值

【详解】（1）底面，£7。在底面上

又：\,□□□口□=口,口口^■面口口口,口口^平面□□□,

:0/71平面。ZZ7O

□口U平面□□□,

:工□口

X.D是点。在SQ上的射影，即□口

且口口门口□二U,平面00227,口口三平面□□□,

/.□□_L平面□□口

(2厂.•圆锥的轴截面。心理等腰直角三角形，C是AS中点，。是AB中点，

:，□口

又由(1)知，□□母面□□口

旦口口门口□=口，勺平面Z7£7£7,£7£7U平面£7/70,

:1平面□□口

又：□□=?□

:口己二号

当且仅当口□=□□号Z3时取等号，

所以三棱锥〃。中J体积最大值为1.

【变式2-1】7.如图，Z6为O。的直径，力垂直于。。所在的平面,例为圆周上任意一点，AN1.PM,

/V为垂足.

(1)求证://VJL平面PBM.(2)若AQ1.PB,垂足为Q,求证：NQ1.PB.

【证明】为。。的直径，../4A<L8例又以_L平面/8例，以又•.勿0/例=力，二8/以1平

面PAM.又4Vu平面PAM,:.BM，AN.又ANYPM,且8例TlQA4="平面PBM.

⑵由⑴知力/V，平面PBM,28u平面PBM,：.ANLPB又:AQ'PB,AN（｝AQ=A,：.PBr^ANQ.

又/VR平面ANQ,:.PB1.NQ.

题型3线面垂直证明线线平行

【方法总结】

直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法。

【例题3】（2022•高一课时练习）如图所示，在正方体口。55口、口］中,。是0O上一点，口是

口2勺中点，平面口口。.求证：□UHUU*

【答案】证明见解析

【解析】根据正方体的性质，易证。41平面&OD,又因为OO1平面&OD,利用线面垂直的性质

定理，得到£7011□口、.

【详解】因为四边形&为正方形，所以。41口、口.

又口口母面□□□、口［,u平面□□□、口、,

所以OOL

因为打£7。□□=U,

所以Z741平面

又□□_L平面□］口口,

所以口£7II

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理，还考查了空间想象的能力，属于基础题.

【变式3-1]1.（2020•高一课时练习）如图，正方悻口[□[□Ri-口口口小,□□与异面直线口口、

垂直相交.

求证：口口旧口1.

【答案】证明见详解.

【分析】遍妾口口[，口、口，口口，口、口、,根据线面垂直的判定定理，证明OO_L平面,推出

□□L；同理得到O41&O,推出O&_L平面0£74;再证明口£71平面OZ7a;即可得出

结论成立.

【详解】雌□□一口□

因为在正方体&&&&-口口口8,口□、1平面Z7E7OZZ7,口口匚蟀□□□□,

所以O&1口口,

又-L□□,□n□口=□,□u平■囿□□□]□、,□□u平■囱□□□】,

所以Z7/71平面ooaa,因此□□]；

同理可证：L□、口,

又ZZ7ZZ7n□、口=口,£7£7u平面ZZ7D&,口口匚平面□□□〕,

所以£741平面OO0;

因为。£7与异面直线口。、a率垂直相交，

即口。1□口,,

又在正方体a&aa-口口口”,与行且相等，

所以四边形a□、0位平行四边形，因此&。/au,

所以口£7,口、口,

因为ZZ7/17n□]□—□,□□u平面ZZ7/17/17i,□、□u平面□□□、,

所以平面OO0；

因此□□11口口、.

【点睛】本题主要考查证明线线平行，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.

【变式3-1】2.（2020•高一课时练习）如图所示，在长方体。口口。-口1口[口1口1中

□e平面口1口1口1口1,且Z7ZZ71平面Z7ZZ7ZZ7D求证：LJUH

【答案】见解析.

【分析】根据线面垂直的性质可得OO/O4.

【详解】由长方体。£700-d5口、&可得：1□□[1

□□c□□=U,•­•1平面Z7/Z7Z7L7,

因为口口1平面□□□口,报口□11口口、.

【点睛】本题考查线面垂直的性质即垂直于同一平面的两条直线是平行的，属于容易题.

【变式3-1]3.（2023春•全国•高一专题练习）如图（1），在梯形£700。中,DDII口通口口，口口,

线段口入有一点E,满足口口=□口=1,□□=口□=2,现将△□□□,△£70侬别沿口口

折起，使V5,Z7/7=V3,得到如图（2）所示的几何体，求证：DUH□口

图⑴图⑵

【答案】证明见解析

【分析】在^口□话,求得V2,结合勾股定理证得口口，从而证得OO1平

面□□□，再在□□咖以□□□中,分别证得。£71口相□□1口□，从而证得平面

□口□,即可证得£70〃口□.

【详解】【证明】枉□□田,=□□:1,

所以£70=V2,乙□□口=z£7£7£7=45°,

在^,口□—V2,口□—2,乙口□□—45°,

由余弦定理得Z7〃=J2+4-2XV2X2X^=V2,

所以0仔+Z7行=口存,所以Z7D1口□,

同理可得，在4口口袋，口口=戏,且Z7Z71,

在^□□集,D[3+□仃=皿,所以□□,

因为DOn□□=D,口□,ZZ7Ou平面所以。£71平面。£70,

在口口讲,£701□□,

在4口口供,口d+Z7ZJ2=口存,则口。1□□,

因为。On□口=口,口口,口口匚^^口口口,所以□□坪面口口□,

所以口□”

【变式3-1]4.（2023春•全国•高一专题练习）已知空间几何体口。。口。中，△UULJ.△口□□蜂

等的正三角形，平面。£701平面£700,平面OZ7ZZ71平面£7。口

④若□□=短.口口=2V2,求证：\口□;

（2）【证明】

【答案】Q）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由勾股定理逆定理得线线垂直，由面面垂直得线面垂直，再得线线垂直；

（2）分别取。£7,。。中点。，口,由面面垂直得线面垂直,再得线线平行，证得平行四边形。

平行四边形后可得证结论.

【详解】（1）因为△口□□、△。。口是全等的正三角形，所以口□=口□,

又因为。口=垃口□=2V2,所以O行=口己+g,故。£71,

因为平面。。口小平面□□□.且平面OZ7/7n平面Z7O6Z7O,Z7Z7u平面Z7Z7Z7,

所以□□人平面□□□,又因为UUu平面□□□,

所以DO,口口；

（2）分别取oo,口伊氤口,n,连接口□

因为Aooa是等边三角形，所以an,00=^00,

因为平面心〃D1平面。DO,口口U平面□□口,所以口01平面OZ7O,

同理。O，平面£7£7。,且口口=f口□=~□□,

而以且口口=口口,

所以四边形是平行四边形，

即以又,

即以□□//口□.

【变式3-1]5.（2023•高一课时练习）如图，已知正方体A1C.

⑴求证:A1C±B1D1;

(2)M,N分别为B1D1与C1D上的点，且MN_LB1D1,MN±C1D,求证：MNllAlC.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.

（2）直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.

【详解】（1）如下图，连接A1C1.

因为CC1_L平面A1B1C1D1,B1D1U平面A1B1C1D1,

所以CC1_LB1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，

所以A1C1XB1D1.又因为CC1DA1C1=C1,

所以B1D1平面A1C1C.又因为AICu平面A1C1C,所以B1D1±A1C.

(2)如上图,连接BIA,AD1.因为B1C1=AD,B1C1IIAD

所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1DIIAB1,因为MN±C1D,所以MN±AB1.

又因为MN±B1D1,ABinBlDl=Bl,所以MN_L平面AB1D1.由(1)知A1CJ_B1D1.

同理可得A1C_LAB1.又因为ABinBlDl=Bl,所以A1C_L平面AB1D1.所以AlCllMN.

故答案为：A1C±B1D1;MNIIA1C.

题型4线面垂直证明线线垂直

【方法总结】

性质定理揭示了空间中"平行"与"垂直”关系的内在联系，提供了"垂直"与"平行"关系转化的

辘。

【例题412023春•全国•高一专题练习却图直三棱柱口。口-口1口1口1口口1口。.证明:□□工口口

B

【答案】证明见解析

【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可.

【详解】因为直三棱柱。。O-口1口口,

所以口口11平面并■旦UUu平面□□□

所以。O1,

又因为^^7二^X□,目□n□—□],□u平面ZZ7[□□,

所以DO1平面,

又因为。Ou平面&Z7Oa,

所以3_L□□.

【变式4-1】1•（2023春•全国•高一专题练习）如图，已知四边形£700%口四边形£70。函是直角梯

形，口口，口口=5,口口=3，口口=1/口□□=4口□口=乙口口口=60*设口，口

分别为。口,的中点.证明：口□，□口.

【答案】证明见解析

【分析】根据直角梯形中的垂直关系，由线面垂直的判定和性质可证得。口■!■根据长度关系证得△

ooa为等边三角形，由此可得。。1由线面垂直的判定与性质可证得结论.

【详解】：四边形口四边形口口口中是直角梯形，口□,/□□□=乙□□口=

60°

□□工,□□1,□□c□□=□.□口,□□□口.□□■面□□□,

又口ZZ7u平面【口口，

□□=5,口口=3,□口=1,乙口□口=乙口□口=4□□□=60°,

□口=V3(£7ZZ7—口口=2V5,口口=V3(ZZ7£7—口口=2V3,

002是等边三角形，又中点，;□□工□□,

又£7Z7n□口=U,口□，口□□□口.£7£7J_平面£7£7£7£7,

•••UUu平面□□□□.：.\□□.

【变式4-1]2.(2023・全国•高一专题练习)如图所示，在三棱锥口-□□田，乙口口□=乙口口口=

乙口□口=90°,曰口口=□口=5,口口=5V5.

q

(1)证明：□□L□口;

(2)求三棱锥口-□皿口.

【答案】Q)证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证得。。1平面0O。，利用线面垂直的性质可证得结论成立；

(2)计算出OBJ长以及△ooa的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥口一口口。的体积.

【详解】(1)证明：因为4口口口=乙□□口=乙□□□=90°,则Z7Z71,□□L□□,

•••ZZ7£7n=£7,□□、口口匚平苞□□□,：.ZZ7ZZ71平面。Z27ZZ7,

UUu平面□□口，：.□□1,

\.ULJc□□=口,□□、□□u平面□□□,：.口£7_L平面口L7Z7,

ZZ7£7u平面OZZ7Z7,□□工

(2)解：•:口口==5,□□L□□,则。£7=0口口=5V2,

/面积为=；□□.□□吟,

•••□□L□□,口口=5V5,口口=5V2,□□=J口^-口d=5V3,

因为□□L平面口口口,因此，□□_□□□=□□晨瑞乂5△=甯.

【变式4-1]3.(2023•高一课时练习)如图，在正方体口口门口一口[□]□[□内，口口,□□],分

别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：

⑴&£7_L□□;

(2)口]口_L平面ZZ7£7/17i.

【答案】Q)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)在正方体-□、□、口1口1中，口、口L平面口□口口,

■:□□口□，:口□>口□,

又四边形口口。。为正方形，.•.OO1口口,

又□□=U,aa平面£7)£7£7,「.OOl平面a。。，

又ZZ7[Z17$平面ZZZfZZ7/Z7,二ZZ7[_L□

(2)与(1)中证明&O_LZ7/Z同理可证4O1,又UUc□□、=U,口口,□□19平面口口口1

:.口1□□□□].

【变式4-1]4.（2020春•北京•高一统考期末）如图，在四棱锥口一口口口收,□□母面□□□□,

底面£7002为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点.

Q）证明：。口〃平面PBC;

（2）证明:口。1口口.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）证明£7O〃OZ两可；

（2）通过证明口口，口邱证明口O工平面即可证明OO1

【详解】（1）•••底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，

•••四。中点，

.E为棱PD的中点，

I□□,

Z7〃u平面PBC,Z7Z7C平面PBC,

£7切/平面PBC；

（2）•,•加□□□□,

UU1□□,

,底面。。口。^正方形，:口□工口口,

□口nLJU=□,

□□L平面□□□.

OOu平面。Z7ZZ7,\

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用线面垂直证明线线垂直，属于基础题.

【变式4-1】5（2023春•全国•高一专题练习）如图在三棱柱口。。一口1口1口1中=□□、=□□=

2,且0al□□,1底面OZ7O,E为O53点.

A

（1）求证：£701口、口：

⑵求证：平面口口口

【答案】Q）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明口DI平面,,再由线面垂直的性质定理即可证明

线线垂直；

（2）利用面面平行的判定定理先证明平面4口口〃平面&OO,再由面面平行的性质定理即可证明线面

平行.

【详解】（1）•••□口、1底面gaaoou平面

又,ZZ7£7BOOn=U,u平面口£7&&,

□□_L平面ZZ7ZZ7ZZ71□、,

又？□[nu平面□□□、口、,

□口工□、口

取&&的中点口，超妾口口，口口、,

因为a为别为□□,口、口的中点可知口口口1a,DD=□、a,

所以四边形是平行四边形，所以口,

因为Z7Z7C平面□、□□,□、□u平面□、□口,

所以平面口1口□,同理可得平面

又因为OiOn£70=U,£7£7u平面aZ7。，

所以平面口£7。//平面打□□,

又因为口au平面口】口口,

所以〃平面

【变式4-1]6.（2023春•全国•高一专题练习）如图所示，已知OO1平面,D,2分别是OZ7,口口

的中点，

⑴求证：口切/平面口口口;

（2）求证：□□，口□;

【答案】（1）证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】1)根据中位线定理，可得口□”□□,即可由线面平行的判定定理证明。。〃平面

(2)由已知推导出£7。_L□口,再由。OJL□□,得□□上平面口口口,由此能证明ZZ7£7_L□□;

【详解】(1)•••D,侬别是口。,£7绿中点，

:.I□口,

■■■■平面口口口,且ZZZOu平面ZZ7ZZ7Z7,

£7切/平面。ZZ7Z7;

(2)•.•□口＞平面□□□,口,侬别是。O,勺中点，

:,DDL□口,

■■■\口口,UUc□口=口,口口,口口匚^^口口口,

£701平面OZ7O,

•••□□u平面□□□,：.□□工□□.

【变式4-1]7.(2023•高一课前预习)如图，四棱锥口一LJLJULJ^,底面。口。。为矩形，□□L底

面口口□口，口口=□□，点、□是口12^而氤.

求证：

(1)001平面口。口;

(2)£701

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理即可得证；

(2)结合(1)中结论及线面垂直的判定定理证得。£71平面。口O,从而得证.

【详解】(1强口口口改颗Z,工.

,.,£7/71底面。。。/7,□□匚］^^口口口口，：.□□L,

文：□□=D,口□,ULJu礴□□□,

.•.£7£71平面£7£7£7

(2),.,£7/7u平面O/7Z7,□□工强□口口，:.□□工口□,

■:□口=口口,泼口牛中点，:.口口上口□,

又□□=口,oaOZZZu平面ZZ7ZZ7ZZ7,.,.ZZ7O1平面。Z7ZZ7,

【变式4-1】8(2023・高一课时练习如图在四棱锥。-□□□集底面Z7Sa为菱形/0/7/7=60°,

又□□!&□□□□,%。木中点.

⑴求证：\□□:

⑵设。是0中点,求证：口□II平面O£7£7.

【答案】Q)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)由题意可得AE±BC,根据BCIIAD,推断出AE±AD,又PA±AD,进而根据线面垂直的

判定定理证出AD_L平面PAE,最后利用线面垂直的性质可得AD，PE;

（2）取AD的中点G,易得FGIIPA,CGllAE,即可证明平面CFGII平面PAE,进而可得CFII平面PAE.

【详解】（1）因为底面。£70。为菱形，4□□口=60°,且口为。口中点，所以OD1口口.

又口□II□口,所以0口1口口.

又□□1谶□□□□,口口匚询□□口口,所以□□.

因为ZZ7ZZ7U平面ooa平面ooa□□□□□=口,所以ooi平面ooo,

•••[JUu平面口口□,所以£7。±.

（2）取。。的中点。,连接。a口口,

"D,