高中数学《成对数据的相关关系》教案、导学案与同步练习

《8.1成对数据的相关关系》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布

列》，本节课主本节课主要学习成对数据的相关关系

本章主要学习统计方面知识，在之前学生已经对统计相关的知识做了大概的了解，本节学

生要继续探讨的是变量之间的相关关系，变量之间有两类关系；函数关系和相关关系，它

们的联系与区别；并了解线性相关及相关系数，为了解线性回归的基本思想和方法以及求

回归直线的方程和相关性检验做准备。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解两个变量的相关关系的概念；1.数学抽象：相关关系

B.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是2.逻辑推理：相关系数公式推导

否具有相关关系；3.数学运算：求相关系数

D.会根据相关系数判断两个变量的相关程度.4.数学建模：模型化思想

【重点与难点】

重点：相关关系的概念及利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系

难点：根据相关系数判断两个变量的相关程度

【教学过程】

教学过程教学设计

一、问题导学

我们知道,如果变量y是变量工的函数,那么由X就可以唯一确定y.

然而，现实世界中还存在这样的情况:两个变量之间有关系，但密切程

度又达不到函数关系的程度.例如，人的体重与身高存在关系,但由一

个人的身高值并不能确定他的体重值,那么，该如何刻画这两个变量通过具体的问题情

之间的关系呢?下面我们就来研究这个问题.境，引发学生思考

二、探究新知积极参与互动，说

我们知道,一个人的体重与他的身高有关系，一般而言,个子高的人往出自己见解。从而

往体重值较大,个子矮的人往往体重值较小，但身高并不是决定体重引入相关关系的概

的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传念，发展学生逻辑

因素等也是影响体重的重要因素，像这样,两个变量有关系，但又没有推理、数学运算、

确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相数学抽象和数学建

关关系(correlation).模的核心素养。

两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在，例如：

1.子女身高y与父亲身高x之间的关系,一般来说,父亲的个子高,其

子女的个子也会比较高;父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮，但影

响子女身高的因素,除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮

食结构、体育锻炼等,因此父亲身高又不能完全决定子女身高.

2.商品销售收人y与广告支出x之间的关系，一般来说,广告支出越

多，商品销售收入越高，但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一

因素，商品销售收入还与商品质量、居民收入等因素有关。

3.空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系，一般来说，汽车保有

量增加,空气污染指数会上升，但汽车保有量并不是造成空气污染的

唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等

都是影响空气污染指数的因素。

4.粮食亩产量y与施肥量x之间的关系,在一定范围内，施肥量越大,

粮食亩产量就越高，但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因索,粮

食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影

响。

变量的相关关系

相关关系是一种不确定性关系;相关关系是相对于函数关系而言的.

像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确

地决定另一个的程度，这种关系称为相关美系、

相关关系与函数关系的异同点

关系函数关系相关关系

项目

相同点都是两个变量间的关系

不同点是一种确定关系是一种非确定关系

是一种因果关系不一定是因果关系,也可能是伴

随关系

1.下列关系是相关关系的是_______.（填序号）

①曲线上的点与该点的坐标之间的关系；

②苹果的产量与气候之间的关系；

③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；

④学生与其学号之间的关系.

②③解析：利用相关关系的概念进行判断.①④中两个变量之间

的关系是一种确定性关系，而②③中的两个变量之间的关系是不确

定的，所以它们具有相关关系.

探窕1:在对人体的脂肪的含量和年龄之间关系的研究中,科研人员

获得了一些年龄和脂肪含量的简单P逍机样本数据,如表所示,表中每

个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构

成了成对数据。

编号1234567

年龄23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

编号891011121314

年龄53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

根据以上数据，你能推新人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系通过问题分析，让

吗？学生掌握判断相关

成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了关系与函数关系的

统计图.我们我们把这样的统计图叫做散点图区别与联系。发展

学生逻辑推理，直

40

35

观想象、数学抽象

30

25

和数学运算的核心

20

15

10素养。

5

O

1

由散点图可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直

线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.

这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和

年龄变量之间存在着相关关系.

变量相关关系的分类

(1)正相关和负相关

如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也

呈现增加的趋势，

我们就称这两个变量正棉关、当一个变量的值增加时，

另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量线棚关、

正相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左下角到右

上角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为正相关。

负相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左上角到右

下角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为负相关。

①线性相关:散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.一般

地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一

条直线附近，我们就称这两个变量线性相关;

O

5

O

1

年龄/岁

②非线性相关:一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相

关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

X兄

1212

1010

8」・8.

6,

6••,.

4.•・•4*:.

22,

°0246810121,4i002468101214X

(2)(3)

探究2.通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致

推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相

关还是非线性相关等,散点图虽然直观,但无法确切地反映成对样本

数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.能否

像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入

一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析

呢？通过具体的问题情

境中的分析，深化

对于变量X和变量y,设经过随机抽样得到的成对数据为对相关系数的理

(x,y),(x,y),(x,y),解。发展学生逻辑

1122nn

推理，直观想象、

।eq,-_尤1+&+…+Xn__月+丫2+…+%

Xn/n

数学抽象和数学运

将数据以(元力为零点进行平移,得到平移后的成对数据为：

算的核心素养。

(%1-元月-y),(x2-x,y2-y)，…，(xn-x,yn-y)

绘制散点图为

40f脂肪含量/%>

35

30

25

20

15

10

5

O

1

20253035404550556065年龄/岁

这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵

坐标同号,显然,这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定

的。

探究3：根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样

本数据平移后星现的规律,构造一个度量成对样本数据是正相关还是

负相关的数字特征吗？

根据散点图特征，初步构造统计量.利用散点（%-元-y）,。=

1,2,...n）的

横纵坐标是否同号,可以构造一个量

4=：［（x「x）（x-小12-x）（%-y）+…+（x“-X）（y“-y）］

一般情形下,L>0表明成对样本数据正相关；L<0表明成对样本数

xyxy

据负相关.

问题1:L的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？

xy

我们发现，L的大小与数据的度量单位有关，所以不能直接用它度

xy

量成对样本数据相关程度的大小.

“以叫-叫（3-州岭-叫（左肛”由叭-叫值班t吗

在研究体重与身高之间的相关程度时,如果体重的单位不变,把身高

单位由米改为厘米,单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程

度.

为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处理为简单起见,把上述

“标准化”处理后的成对数据分别记为

（xJ%'），（X2','），…，（Xn'，yn'）

仿照L的构造，可以得到

xy

4KI；）（弘切+12：）（%切+…+（%-，（以切］

分别除%-元和%-双i=1,2,3，…,n）得

（石一文。］一3、（%2一％力一g）一%Pn一歹］

f1

ISN，SyXS%SySxSy）

rin

用Sx='W®_三）2,Sy=，W（%_^2

Ji=l［i=l

样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，

它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征:

当r>0时，称成对样本数据正相关；当其中一个数据的值变小时，另

一个数据的值通常也变小;当其中一个数据的值变大时，另一个数据

的值通常也变大。

当r<0时，称成对样本数据负相关；当其中一个数据的值变小时，另

一个数据的值通常会变大:当其中一个数据的值变大时，另一个数据通过典型例题的分

的值通常会变小。析解决，提升学生

样本相关系数对相关系数的理解

和运用。发展

ExiVi-n^y

j=l_学生逻辑推理，直

*x「-nx*y「-ny观想象、数学抽象

i=lYi=l

和数学运算的核心

我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.

素养。

样本相关系数r的取值范围为[T,1],样本相关系数r的绝对值大

小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度：

当Ir越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当Ir越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中

于某条直线的程度.当r=0

时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间

有其他相关关系.

3

2

E-0.05

(4)

二、典例解析

例1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断两个变量是否线

性相关,计算样本相关系数,并推断它们的相关程度.

年龄23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.26.28.

532

年龄53545657586061

脂肪29.30.231.430.833.35.34.

6526

参考数据：

_141414

x«48.07,SX27.26,Z天为=19403.2,2=34181,^y,2=11051.77

i=li=li=l

解：先画出散点图，如右图所示观察散点图，

可以看出样本点都集中在一条直线附近，

由此推断脂肪含量和年龄线性相关.

40

35

30

25

20

15

10

5

0

1

1414

E(xi-^)(yi-y)^XjYi-Uxy

••f—i=l—

请(力同摩行辱2

-14y2

图xE

19403.2-14x48.07X27.26

«0.97

V34181-14x48.072XV11051.77-14x27.262

由样本相关系数r^O.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线

性相关，且相关程度很强。脂肪含量与年龄变化趋势相同

归纳总结

1.线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程月乏，是定量

的方法.与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的

是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一

定不相关，可能是非线性相关.

2.利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常匕30.75作

比较，若＞0.75,则线性相关较为显著，否则不显著.

例2.有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收:入的总

和）与A商品销售额的10年数据，如表所示.画出散点图，判断成对

样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A

商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.

第n1

123456789

年0

居民

年收3132353734444

32.238

入/亿.1.9.8.193.66

元

A商445

品销303437394124481

25.0

售额/.0.0.0.0.0.0

万元000

解：从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现线性

相关关系.

x=38,y=39,

101010

Zxj2=14665,=15835,2xjj=15170,

例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生,测得他们的身高、体

重、臂展等数据,如下表所示.

解:通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为

0.34和0.78,都为正相关.其中，臂展与身高的相关程度更高.

■■■■E■•on・号E«>•H

161

1171l«9U1"

217971170ISI7«IM

317517216I7S145

4179ITf17ITS173

IC?82mIBl«91«2

6173IM19IM189

?ISOSS174149IM

8170811«9182l70

9l*»S4IM]7t164

10177M17<1”173

11in69170173ICS

1217B«7inI1731<9

13174170

体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？

跟踪训练1.由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一

一讲题一一再刷题”的模式，效果不理想.某市一中的数学课堂教

改采用了“记题型一一刷题一一检测效果”的模式，并记录了某学

生的记题型时间1（单位：h）与检测效果y的数据如表所示.

t123456r

r93.33.64.44.85.2j.9

据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以

说明（若|r|20.75,则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认

为没有很强的线性相关关系）.

参考公式及数据：相关系数==

n______

Z(ti-t)(yi-y)

3—y尸

=7.08,Z(ti-t)(yi-y)=14,[198.24^14.08.

i=l

1+2+3+4+5+6+7

解：由题得t==4,

7

X(t.-t产=9+4+1+0+1+4+9=28,

i=l

3060

2550

40

1530

102叶••

510p,

01234567%01234567〃

图1图2

A.x与y正相关，u与v正相关B.x与y正相关，u与v负相关

C.x与y负相关，u与v正相关D.x与y负相关，u与v负相关

C解析：由题图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点

整体呈递减趋势，故x与y负相关；

由题图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递

增趋势，故u与v正相关.

4.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模

型，它们的相关系数r有如下四个选项，其中拟合得最好的模型为

()

A.模型1的相关系数r为0.75

B.模型2的相关系数r为0.55

C.模型3的相关系数r为。.25

D.模型4的相关系数r为0.90

D解析：D中相关系数r的绝对值最接近1,相关性最强，故选D.

5.假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用

y(单位：万元)有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

已知»；=90,23弋140.8,2＞佻=112.3,乖七8.9,小

比1.4.

⑴求x,y；

(2)对x,y进行线性相关性检验.

2+3+4+5+6

解：⑴x

—2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

y-5f

5______

(2)Xxiyi-5-7=112.3—5X4X5=12.3,

i=l

5_

Zx：-5x2=90—5X42=10,

i=j

5_

Xy?~5y2=140.8-125=15.8,

i=l

12.312.312.3八…

所以rt1—i—I—〜0.987.

^/10X15.8寸158

所以有把握认为x与y之间具有线性相关关系，去求回归直线方程

是有意义的.

四、小结

判断变量的相关性通常有两种方式：通过总结，让学生

1.散点图；

进一步巩固本节所

2.相关系数r,

学内容，提高概括

前者只能粗略地说明变量间具有相关性，而后者可以从定量的角度

能力。

分析变量相关性的强弱.

【教学反思】

课后通过对教学过程的反思与研究，才能不断完善教学设计中的不足，才能提升教材分析

的能力和课堂教学实效.

1.多元展示，多方评价.在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在

整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补

充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.

2.创造性的使用教材.有别于教材，我在教学中，让学生考察了分别考察了两类题型之后

再引导学生进行归纳，这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.

<8.1成对数据的相关关系》导学案

【学习目标】

1.理解两个变量的相关关系的概念；

2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系；

3.会根据相关系数判断两个变量的相关程度.

【重点与难点】

重点：相关关系的概念及利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系

难点：根据相关系数判断两个变量的相关程度

【知识梳理】

1.变量的相关关系

相关关系是一种不确定性关系;相关关系是相对于函数关系而言的.

像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,

这种关系称为相关关系、

相关关系与函数关系的异同点

关系函数关系相关关系

项目

相同点都是两个变量间的关系

不同点是一种确定关系是一种非确定关系

是一种因果关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系

2.散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们

我们把这样的统计图叫做散点图。

3.正相关与负相关

(1)正相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域。对于

两个变量的这种相关关系，我们称之为正相关。

(2)负相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左上角到右下角的区域。对于

两个变量的这种相关关系，我们称之为负相关。

3.线性相关与非线性相关

①线性相关:散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.一般地，如果两个变量的取

值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关;

但不是线性相关，那么我们就称这两个

变量非线性相关或曲线相关.

y

12

1010

88•,.

66••,.

44':.

22,

002468101214x002468101214x

(2)(3)

4.样本相关系数

我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.

1.下列关系是相关关系的是.(填序号)

①曲线上的点与该点的坐标之间的关系；

②苹果的产量与气候之间的关系；

③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系;

④学生与其学号之间的关系.

【学习过程】

一、问题探究

我们知道,如果变量y是变量工的函数,那么由x就可以唯一确定y.然而，现实世界中还存

在这样的情况:两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.例如,人的体重

与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值,那么，该如何刻画这两个变量

之间的关系呢?下面我们就来研究这个问题.

我们知道,一个人的体重与他的身高有关系,一般而言,个子高的人往往体重值较大,个子矮

的人往往体重值较小，但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻

炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素，像这样,两个变量有关系，但又没有

确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系(correlation).

两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在，例如：

1.子女身高y与父亲身高x之间的关系,一般来说,父亲的个子高,其子女的个子也会比较

高;父亲个子矮,其子女的个子也会比较矮，但影响子女身高的因素,除父亲身高外还有其他

因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等,因此父亲身高又不能完全决定子女身高.

2.商品销售收人y与广告支出x之间的关系，一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高，

但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素,商品销售收入还与商品质量、居民收入等

因素有关。

3.空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系，一般来说,汽车保有量增加,空气污染指数会

上升，但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活

和取暧、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素。

4.粮食亩产量y与施肥量x之间的关系,在一定范围内，施肥量越大,粮食亩产量就越高，但

施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因索，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管

理水平等因素的影响。

探究1:在对人体的脂肪的含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪

含量的简单随机样本数据,如表所示,表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个

体的观测结果,它们构成了成对数据。

编号1234567

年龄23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

编号891011121314

年龄53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

根据以上数据，你能推新人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？

成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们我们把这样

的统计图叫做散点檄

40

35

30

25

20

15

10

5

O

1

20253035404550556065年龄/岁

由散点图可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值

的增加，相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以

推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系.

变量相关关系的分类

(D正相关和负相关

如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，

我们就称这两个变量正相关、当一个变量的值增加时，

另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量徽相美•.

探究2.通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致推断两个变量是否存在

相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等，散点图虽然直观,但无法

确切地反映成对样本数据的相关程度,也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.能否像

引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特

征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？

对于变量x和变量y,设经过随机抽样得到的成对数据为(x,y),(x,y),…，(x,y),

1122nn

甘木一X1+X2+…+Xn_y+y+-+y

具中x=------------2,y=2------n-------

nn

将数据以区刃为零点进行平移,得到平移后的成对数据为：

X

(1-x,yi-y),(x2-X,y2-y),..(xn-x,yn-y)

绘制散点图为

40

35

30

25

20

15

10

5

O

1

平移

这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号，显然，这样的

规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的。

探究3：根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后星现的规

律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？

根据散点图特征，初步构造统计量.利用散点(方-又)物-刃,。=L2,...n)的

横纵坐标是否同号,可以构造一个量

4=：[(*「司(弘5)+12-,(%…+(X"G)(y.J)]

一般情形下,L>0表明成对样本数据正相关；L〈0表明成对样本数据负相关.

xyxy

问题1:L的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？

xy

我们发现，L的大小与数据的度量单位有关，所以不能直接用它度量成对样本数据相关程

xy

度的大小.

451啊网伉一。中叫10虱(程-Ji心叫一叫(玛->•)]=叫

在研究体重与身高之间的相关程度时,如果体重的单位不变,把身高单位由米改为厘米,单位

的改变不会改变体重与身高之间的相关程度.为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处

理为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为

(Xi',yi'),(X2',y2'),...,(Xn',yn')

仿照L的构造，可以得到

xy

4=：［（*「今（弘~）+127）（%7）+・+（07）（人7）］

分别除x「天和％—y（i=1,2,3…,n）得（号，号），（军，号），…,（甘，号）

1..................£（xi-x）（yi-y）国尸酉

1-11_1

r=；XJ+x2y2+…+X"£,）=In_2In_2=下=_2In-----------

酊-x）卧T唇"nx"ny

样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，

它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：

当r>0时，称成对样本数据正相关；当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变

小;当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大。

当「〈0时・，称成对样本数据负相关；当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变

大:当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小。

样本相关系数r的取值范围为［T,1］,样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数

据之间线性相关的程度：

当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当S越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当

r=0

时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.

-3«--------------・・一

-4-2024x

n=0.24

(3)

二、典例解析

例1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系

数,并推断它们的相关程度.

年龄23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

年龄53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

参考数据:

__141414

2

x«48.07,y«27.26,£xiyi=19403.2,=34181,=11051.77

/=!/=1i=l

1.线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法.与散点图相比

较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性

相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关.

2.利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若［r|>0.75,则

线性相关较为显著，否则不显著.

例2.有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10

年数据，如表所示.画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推

断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.

第n年12345678910

居民年收入/亿

32.231.132.935.837.138394344.646

元

A商品销售额/万

25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

元

例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生,测得他们的身高、体重、臂展等数据,如下表

所示

［体重/kg曾展/cm

90-----------190

85-----------185

180

175

170

165

160

155

165170175180185

185身高/cm

(1)

体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？

跟踪训练1.由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一一讲题一一再刷题”的

模式，效果不理想.某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一一刷题——检测效果”的

模式，并记录了某学生的记题型时间t（单位：h）与检测效果y的数据如表所示.

t1234567

y2.93.33.64.44.85.25.9

据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（若Irl'O.75,则

认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）.

E(ti-t)(yi-y)

i=1——

参考公式及数据:相关系数r=/，y=4.3,工

A/E(tLt)、/(y.-y)2i=l

(yi—y)'=7.08,g(ti—t)(yi—y)=14,4198.24=14.08.

i=l

【达标检测】

1.判断（正确的打“J”，错误的打“X”）.

（1）变量之间只有函数关系，不存在相关关系.（）

（2）两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响.（）

（3）两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.（）

（4）若相关系数r=0,则两变量x,y之间没有关系.（）

2.下列各图中所示的两个变量具有相关关系的是（）

3.对变量x,y有观测数据（xi,yj（i=l,2,3,…，10）,得散点图1；对变量u,v有观测

数据（u、，v）（i=l,2,3,…，10）,得散点图2,由这两个散点图可以断定（）

30

25

20

15

10

5

01234567%

图1图2

A.x与y正相关，u与v正相关B.x与y正相关，u与v负相关

C.x与y负相关，u与v正相关D.x与y负相关，u与v负相关

4.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r有

如下四个选项，其中拟合得最好的模型为（）

A,模型1的相关系数r为0.75

B.模型2的相关系数r为0.55

C.模型3的相关系数r为0.25

D.模型4的相关系数r为0.90

5.假设关于某种设备的使用年限x（单位：年）与所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统

计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

5

已知Zx：=90,〉'沁140.8,Zx,y；=112.3,乖48.9,正%1.4.

⑴求x,y；

(2)对x,y进行线性相关性检验.

【课堂小结】

判断变量的相关性通常有两种方式：

1.散点图；

2.相关系数r,

前者只能粗略地说明变量间具有相关性，而后者可以从定量的角度分析变量相关性的强

弱.

【参考答案】

知识梳理

1.②③解析：利用相关关系的概念进行判断.①④中两个变量之间的关系是一种确定性

关系，而②③中的两个变量之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系.

学习过程

一、问题探究

探究1：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们我

们把这样的统计图叫做散点图

40

35

30

25

20

15

10

5

O

1

问题1：我们发现，Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不能直接用它度量成对样本数据

相关程度的大小.

1a1a

4=口。映矶K必-i叫仙J)+TGTA矶匕->)]1吗

二、典例解析

例1.解：先画出散点图，如右图所示观察散点图,

可以看出样本点都集中在一条直线附近，

由此推断脂肪含量和年龄线性相关.

40

35

30

25

20

15

10

5

0

1

14__14―

斗^XjYi-Uxy

必;;4胃岗1时

Vi=lVi=l

19403.2-14x48.07x27.26

'〜V34181-14X48.072XV11051.77-14x27.262〜'

由样本相关系数r^O.97,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很

强。脂肪含量与年龄变化趋势相同.

归纳总结

例2.解：从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现线性相关关系.

x=38,y=39,

101010

Zxi?=14665，捷2=15835,=15170,

i=li=1i=1

x0.95

例3.解:通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78,都

为正相关.其中，臂展与身高的相关程度更高.

普展/cm

190