山西省长治市武乡中学2024-2025学年高一数学下学期第六次周测试题

PAGE7-山西省长治市武乡中学2024-2025学年高一数学下学期第六次周测试题考试范围:第六章、第七章、8.1—8.3；考试时间：90分钟；一、单选题1．设（为虚数单位），则（）A． B． C． D．22．已知平面对量与的夹角为，且，为单位向量，则（）A． B． C．19 D．3．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（）A． B． C． D．4．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．5．已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（）A． B． C．4 D．66．若全部棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A． B． C． D．7．如图所示，为线段外一点，若，，，，…，中随意相邻两点间的距离相等，，，则用，表示，其结果为（）A． B．C． D．8．1748年，瑞士数学家欧拉发觉了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中全部正确结论的编号是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．①③9．已知复数满意，则的最大值为（）A． B． C． D．10．设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题11．一个球的表面积为，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为___________.12．已知正方体的全部顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.13．已知复数满意，则的最大值是__________.14．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________.三、解答题（共30分）15．如图，在底面为菱形的四棱柱中，，，在底面内的射影为线段上一点.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求三棱锥的体积.16．已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，且z是方程的根.（1）求复数z；（2）复数（，i为虚数单位）满意，求a的取值范围.17．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，到处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平马路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端

（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图，当该同学面对基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大?参考数据：，，，.参考答案1．B2．B3．C4．A5．B6．C7．B8．A9．C10．D11．412．13．14．15．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知条件得出点在底面上的射影是的外心即可求解；（Ⅱ）利用等体积法即可得出所求三棱锥的体积.【详解】解：（Ⅰ）∵，∴为等边三角形，∴.又，∴，∴点在底面上的射影是等边的外心，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知底面，且底面，∴.又，，∴，∴.16．（1）；（2）【分析】（1）复数z是方程的根，解出，.，复数z在复平面内对应的点在第四象限，即可解出z值（2）化简，由共轭复数和模长公式可得a的不等式，解不等式可得．【详解】解：（1）方程的根为，.∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴.（2）由（1）得，.，.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及复数相等、共轭复数和不等式的解法，属中档题．17．（1）152m；（2）m.【分析】（1）依据题意，把条件抽象到三角形中，用正弦定理干脆求出山高BE；（2）由两角和差正切公式和基本不等式，求最