高中数学《一元线性回归模型及其应用》教案、导学案与同步练习

问题7：儿子身高与父亲身高的关系，运用残差分析所得的一元线性回

归模型的有效性吗？

残接国,作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数

据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.

观察表可以看一到,残差有正有负,残差的绝对值最大是4.413.观察残差的

散点图可以发现,残差比较均匀地分布在横轴的两边，说明残差比较符合

2

一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为。的随机变量的观测

值.可见,通过观察残差图可以直观判新模型是否满足一元线性回归模型

的假设.

一般地,建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画数据的效果进行分

析，借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更

符合实际的预测与决策。

概

(1)(2)

(3)(4)

问题8：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模

型中对随机误差的假定？

根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差

为M的随机变量的观测值.

图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；

图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非

线性函数部分；

图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；

国（4）的质的比妣物峥申在物柳NMMft的相*状区域内.所

以，只有图（4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设。

二、典例解析

例L经验表明,对于同一树种,一般树的胸径（树的主干在地面以上L3m

处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人

员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了

某种树的一些数据如下表所示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经

验回归方程.

编号123456

胸径

18.120.122.224.426.028.3

/cm

树高/m18.819.221.021.022.122.1

编号789101112

胸径

29.632.433.735.738.340.2

/cm

树高/m22.422.623.024.323.924.7

解：以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图如下:

树高/m

26

24

22

is--/=0.2493d+14.84

16・一•・・A—------------------------------------------►

15202530354045胸径/cm

散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性

相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之

间的关系.

用d表示胸径,h表示树高,根据据最小二乘法,计算可得经验回归方程为

0.2493d+14.84

编号胸径/cm树高观测值/m树高预测值/m残差/m

118.118.819.4-0.6

220.119.219.9-0.7

322.221.020.40.6

424.421.020.90.1

526.022.121.30.8

通过典型例题的

628.322.121.90.2

分析解决，提升

729.622.422.20.2学生对回归方程

的理解和运用。

832.422.622.9-0.3

发展学生逻辑推

933.723.023.2-0.2理，直观想象、

数学抽象和数学

1035.724.323.70.6

运算的核心素

1138.323.924.4-0.5养。

1240.224.724.9-0.2

根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到

0.1)以及相应的残差，如下表所示.

以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到下图.

1.0

0.5

0.0

15202530,354645胸径/cm

-0.5

-1.0

观察残差表和残差图，可以看到残差的绝对值最大是0.8,所有残差分

布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较

好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测

树高.

皿胞回归I国的若木步%

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量.

(2)画出解释变量与响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否

存在线性关系等).

(3)由经验确定回归方程的类型.

(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数.

(5)得出结果后需进行线性回归分析.

①残差平方和越小，模型的拟合效果越好.

②决定系数♦取值越大，说明模型的拟合效果越好.

需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题

意进行分析检验即可.

例2.人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给

出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数

据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年

份的经验回归方程。

编号12345678

年份1891912192119301936195619601968

6

记录11.10.610.410.310.210.110.09.95

/s80000000

解：以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作

散点图，得到下图，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一

元线性回归模型建立经验回归方程.

用Y表示男子短跑100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份，利用一元

线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据

y,=-0.02033743?+49.76913031

将经验回归直线叠加到散点图，得到下图:

仔细观察：从图中可以看到，经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋

势，请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？

篥f世界纪录所对应的散点薄廨仝验回归直线，并且旗后廊时阿殿更

的戢盛郁森焦蕤属色直线般上寿，中卿腐卿段岫散盛就嫡魅网羯直线

的下方.

这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验

回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相

关的特征.

思考：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？

仔细观察，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附

近.回顾已有的函数知识，可以发现函数y=-lnx的图象具有类似的形状

特征

注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点

是集中在曲线y=f(t)=c+cln(t-1895)的周围，其中c、c为未知参

I212

数，且c<0.

2

用上述函数刻画数据变化的趋势,这是一个非线性经验回归函数,其中

CC是待定参数,现在问题转化为如何利用成对数据估计参数C和C；令

1.2I2

x=ln(t-1895),则Y=cx+c对数据进行变化可得下表：

21

编号12345678

年份/t18961912192119301936195619601968

X0.002.833.263.563.714.114.174.29

记录11.810.610.410.310.210.110.09.95

Y/s0000000

y2=-0.4264398x+l1.8012653

得到散点图，由表中的数据得到经验回归方程为：

%=-0.4264398x4-11.8012653

卫卤表明,经验回归方程对于成对数据具有非常好的拟合精度.将

x=ln(t-1895)代入：将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：

y2=-0.4264398%+11.8012653

y2=-0.4264398In(，一1895)+11.8012653

对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归模型,

得到了两个回归方程，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？

国=-O-4264398X+11.8012653

%=-0.4264398ln(r-1895)+11.8012653②

我们发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象，表明非线性经验回

归方程②

对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.

(1).直接观察法.在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回

归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色).

8282

Qi=Z（e）=0.669,Q2=Z@）«0.004

i=\i=l

人①

y2=-0.4264398%+11.8012653

②

%=-0.4264398ln(?-1895)+11.8012653

(2).残差分析:残差平方和越小,模型拟合效果越好.

Q明显小于Q,说明非线性回归方程的拟合效果要优于线性回归方程.

21

2

(3).利用决定系数R刻画回归效果.

,残差平方和

一总偏差平方和。

i=l

2

R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

R.越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差.

①和②的R分别为0.7325和0.9983说明非线性回归方程的拟合效果要

优于线性回归方程。

(4)用新的观测数据来检验模型的拟合效果,事实上,我们还有1968年之

后的男子短跑100m世界纪录数据,如表所示

编号910JI12131415

1983198819911991199419961999

y9.939.929.909.869.859.849.79

编号161718192021

t200220052007200820082009

Y9.789.779.749.729.699.58

在散点图中,绘制表中的散点(绿色)，再添加经验回归方程①所对应的经

验回归直线(红色)，以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线(蓝色)，

得到右图.显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的附近,远离红色经验

回归直线，表明经验回归方程②对于新数据的预报效果远远好于①.

思考：在上述问题情境中，男子短跑100m世界纪录和纪录创建年份之间

呈现出对数关系,能借助于样本相关系数刻画这种关系的强弱吗？

在使用经验回归方程进行预测时,需要注意下列问题：

(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体,例如,根据我国父亲身

高与儿子身高的数据建立的经验回归方程,不能用来描述美国父亲身高

与儿子身高之间的关系，同样,根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的

数据建立的经验回归方程，不能用来描述北方干早地区的树高与胸径之

间的关系。

(2)经验回归方程一般都有时效性,例如,根据20世纪80年代的父亲身

高与儿子身高的数据建立的经验回归方程,不能用来描述现在的父亲身

高与儿子身高之间的关系。

(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远，一般解释变量的取值在

样本数据范围内，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越

远,预报的效果越差，

(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，事实

上,它是响应变量的可能取值的平均值。

建立非线性经验回归模型的基本步骤：

1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；

2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；

3.通过财L将料I性经验回归模型归搬

4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；

5.消去新元，得到非线性经验回归方程；

6.得出结果后分析残差图是否有异常.

跟踪训练1.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收

集了6组观测数据列于表中：

；agx/℃212324272932

产卵数y/个61120275777

经计算得:

6__6_6_

Z(%-x)(y-y)=557，Za-x)2=84,^(y,.-y)2=3930,

/=!/=!/=!

线性回归残差的平方和：

62

W(%-为)=236,64,e80605«3167.

1=1

其中七，X分别为观测数据中的温度和产卵数，1=1,2,3,4,5,6.

(1)若用线性回归模型拟合，求y关于x的回归方程f=左：+6

(精确到0.1)；

(2)若用非线性回归模型拟合，求得y关于x回归方程为

2

y=0.06ea2303x,且相关指数R=0.9522.

2

①试与(1)中的线性回归模型相比较，用R说明哪种模型的拟合效果更

好？

②用拟合效果好的模型预测温度为35c时该种药用昆虫的产卵数.(结果

取整数).

n

—y.）2

附：相关系数/=］，=;1.

E（y,-y）2

i=\

解:（1）由题意得，n=6,x==26,y==33,

66

W（/一元）（%-为=557,2（Xi-元I?=84,

i=li=l

.Z（x,-；）（一）

b=---------------=—«6.6,a«33-6.6x26=-138.6.

£（“384

r=l

所以y关于x的经验回归方程为夕=6.6%-138.6.

66

（2）对于线性回归模型，28-衿2=3930,W（%-无）2=236.64

i=li=l

相关系数改=1-却''）=1-空空”0.9398.

i（y.-?）23930

1=1

VO.9398<0.9522

ann（—°・2303r

•••非线性回归模型的回归方程y=006e1,比线性回归方程

拟合效果更好

②?=0.06e°-231,3,1==0.06ea231）3x35=0.06Xe80605：=»3167X0.06F90

（个）

预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数为190个.

三、达标检测

1.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，且

通过练习巩固本

它们的R?的值的大小关系为R版型3〈R氤”〈隘型1〈R嬴2,则拟合效果最好的是

节所学知识，通

()

过学生解决问

A,模型1B,模型2C.模型3D.模型4

题，发展学生的

B解析：在片表达式中，片越大，表示拟合效果越好.所以拟合效果

最好的是模型2.故选B.数学运算、逻辑

2.下列数据符合函数模型()推理、直观想

X12345678910象、数学建模的

22.6933.383.63.844.084.24.3

y核心素养。

,1x

A.y=2+-xB.y=2e

o

1

C.y=exD.y=2+lnx

D解析：分别将x的值代入解析式判断知满足y=2+lnx.

3.已知经验回归方程y=2x—1,则该方程在样本(3,4)处的残差为

-1解析：因为当x=3时，y=2X3—1=5,所以方程在样本(3,4)处

的残差是4—5=-1.

4.已知x与y之间的数据如下：

X23456

y2.23.85.56.57.0

(1)求y关于x的经验回归方程；

(2)完成下面的残差表并判断(1)中经验回归方程的回归效果是否良好

(若逢0.9,则认为回归效果良好).

X23456

yi—yi

z(Xi—x)(力一y)Zx，y:一nxy

八i=I1=1--

附：b=-----------------=-------------,a=y—bx,

X(Xi-X)2x2

Z(y.-yO2

i=l

R2=l-----------

E(y「y)'

i=l

解：(1)由已知图表可知x=4,y=5,Zx：=90,

i=l

；*112.3-5X4X5*-*-

y^xiYi—112.3,则mlb—90_5义4?—卜21a—丫bx—0.08,

故y=L23x+0.08.

(2)因为ei=yi-y1,所以e1=—0.34,e2=0.03,e3=0.5,6i==0.27,

e5=-0.46,则残差表为

X23456

yi—yi-0.340.030.50.27-0.46

5

因为Z(yi-7)2=(2.2—5)2+(3.8—5)2+(5.5—5尸+(6.5—5)』(7

i=i

\2八\2ll」20.651

-5)2=15.78,X(外一力)=0.651.所以R-=l-y^七0.96>0.9,

i=i

所以该经验回归方程的回归效果良好.

三、小结

1.比较两个模型拟合效果的方法：（1）残差法，残差越大，拟合效果越

通过总结，让学

差；残差越小，拟合效果越小.（2）产法，R,越接近1,拟合效果越好，

生进一步巩固本

R2越接近0,拟合效果越差.

节所学内容，提

2.对于线性回归模型与非线性回归模型，当数据的散点图分布在直线

高概括能力。

带状区域内，则选用线性回归模型刻画；当数据的散点分布在曲线带状

区域内，要先对数据进行适当变换，再利用线性回归模型进行拟合.

【教学反思】

课后通过对教学过程的反思与研究，才能不断完善教学设计中的不足，才能提升教材分析

的能力和课堂教学实效.

1.多元展示，多方评价.在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在

整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补

充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.

2.创造性的使用教材.有别于教材，我在教学中，让学生考察了分别考察了两类题型之后

再引导学生进行归纳，这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.

《8.2一元线性回归模型及其应用》导学案

【学习目标】

1.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.

2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解

决，提高数学运算能力.

3.能通过实例说明决定系数R的意义和作用，提高数据分析能力。

2

【重点与难点】

重点：决定系数R的意义和作用

2

难点：某些非线性回归问题转化为线性回归问题

【知识梳理】

一元线性回归模型

用X表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0,方差为与

父亲身高无关的定值。:则它们之间的关系可以表示为a[：2),(i)

我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型(simplelinearregressionmodel).

其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为

截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值

虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx+a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，

后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.

2.经验回归方程

nn

三（苍一如（y一歹）_£Xjyn三歹

£（x.-x）2£x.2-nx2y=bx+a

1=11=1

d=y-bx.

我们将y=+&称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式,

其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法.

注意：

1、经验回归必过医,9).；2、3,6忑都是估计值.；3、6与r符号相同.

3.残差分析.

我们称y为响应变量Y的观测值，通过经验回归方程得到的夕为预测值.为了研究回归模型

i1

的有效性，定义残差为TyjZ，残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归

模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为聂慧

分析.

4.决定系数V刻画回归效果.

-残差平方和

一总偏差平方和。

1=1

R越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好

R越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差.

【学习过程】

一、问题探究

通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断

两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.

如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻

画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关

系，并通过模型进行预测.

探究1:生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说,父亲的身高较高时，

儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身

高及其父亲的身高，得到的数据如表所示.，

编号1234567891011121314

父亲身高

174170173169182172180172168166182173164180

/cm

儿子身高

176176170170185176178174170168178172165182

/cm

可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高

线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r比0.886,表明儿子身高和父亲身高正线

性相关，且相关程度较高

160165170175180185父亲身病/cm

探究2.根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻

画吗？

编号1234567891011121314

父亲身高

174170173169182172180172168166182173164180

/cm

儿子身高

176176170170185176178174170168178172165182

/cm

探究3：从成对样本数据的散点图和样本相关系数可以发现，散点大致分布在一条直线附

近表明儿子身高和父亲身高有较强的线性关系.我们可以这样理解，由于有其他因素的存

在，使儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系.那么影响儿子身高的其他因素是什么？

探究4：由探究3我们知道，正是因为存在这些随机的因素，使得儿子的身高呈现出随机

性各种随机因素都是独立的，有些因素又无法量化.你能否考虑到这些随机因素的作用，用