高中数 3.3-1几何概型几何概型(1)试题 苏教版必修3

3.3几何概型第1课时几何概型(1)eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是________．解析如图，P为△ABC的边AB上一点，S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB·sinB，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AB·sinB＝S，欲使S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB·sinB＞eq\f(S,4)，，则PB＞eq\f(1,4)AB.故△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率为eq\f(AB－\f(1,4)AB,AB)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)2．已知半径为2eq\r(3)的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．解析由题意可知，设正方体的棱长为a，则eq\r(3)a＝2×2eq\r(3)，∴a＝4，故V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V正方体＝a3＝64.由几何概型计算公式可知，所求事件的概率P＝eq\f(64,32\r(3)π)＝eq\f(2\r(3),3π).答案eq\f(2\r(3),3π)3．已知⊙O是等边三角形ABC的内切圆，在△ABC内随机取一点，则该点落在⊙O内的概率为________．解析设等边三角形ABC的边长为a，内切圆半径为r，则S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，tan30°＝eq\f(r,\f(a,2))＝eq\f(2r,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴r＝eq\f(\r(3),6)a，∴S⊙O＝πr2＝π·eq\f(3,36)a2＝eq\f(π,12)a2，∴所求概率为P＝eq\f(\f(π,12)a2,\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3),9)π.答案eq\f(\r(3),9)π4.如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率为________．解析记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水．∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝eq\f(0.1,2)＝0.05.答案0.055.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投在圆内，那么他投中正方形区域的概率为________(结果用分数表示)．解析设圆的半径为r，则圆的内接正方形的边长为eq\r(2)r，由几何概型的概率公式知，投中正方形区域的概率为P＝eq\f(2r2,πr2)＝eq\f(2,π).答案eq\f(2,π)6．判断下列试验是否为几何概型？并说明理由．(1)在某月某日，某个市区降雨的概率．(2)在1000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出300mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率．解(1)不是几何概型，因为其不具有无限性、等可能性；(2)是几何概型，因为其具有①无限性，②等可能性，符合几何概型的特征．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．如图，靶子由三个半径分别为R,2R,3R的同心圆组成，如果你向靶子随机地掷一个飞镖，命中M1区域，M2区域，M3区域的概率分别为P1，P2，P3，则P1∶P2∶P3＝________.解析可分别求得P1＝eq\f(1,9)，P2＝eq\f(1,3)，P3＝eq\f(5,9)，故P1∶P2∶P3＝1∶3∶5.答案1∶3∶58．在一杯10L的清水中，有一条小鱼，现任意取出1L清水，则小鱼被取到的概率为________．解析以体积为测度，故P＝eq\f(1,10).答案eq\f(1,10)9．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10min的概率为________．解析以分钟为单位，∴P＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)10．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任意x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为________．解析由f(x0)≤0，解得－1≤x0≤2，∴P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10)＝0.3.答案0.311．已知集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|2＜x＜3}，在集合A中任取一个元素x，求事件“x∈A∩B”的概率．解A∩B＝{x|2＜x＜3}，因为集合A的测度为5－(－1)＝6，集合A∩B的测度为3－2＝1.故事件“x∈A∩B”的概率为P＝eq\f(1,6).12．某袋黄豆种子共100kg，现加入20kg黑豆种子并拌匀，从中随机取一粒，则这粒种子是黄豆、黑豆的概率分别是多少？解符合几何概型，测度为质量(相当于体积)．设这粒种子是黄豆、黑豆的概率分别为P1，P2.则P1＝eq\f(100,100＋20)＝eq\f(5,6)，P2＝eq\f(20,100＋20)＝eq\f(1,6).所以，这粒种子是黄豆、黑豆的概率分别为eq\f(5