抛物线的简单几何性质（二）学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

.3.2抛物线的简单几何性质（二）班级:_________姓名:__________一、课前回顾1、抛物线的性质及与焦点弦有关的结论；2、做一做:(1)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.有无穷多条 D.不存在(2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,则的值是()A.12 B.-12 C.3 D.-3二、学习目标1.通过抛物线与其方程的学习,进一步体会数形结合思想的应用.2.会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系.3.能运用直线与抛物线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.4.掌握抛物线中的定点与定值问题的求解方法.自学指导问题1：类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系,思考直线与抛物线有几种位置关系?怎样判断其位置关系?问题2.设直线l:y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0),两方程联立消去y,会得到一个什么样的方程?怎样判断这个方程的解的个数?问题3.如果直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗?填空:直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的交点个数决定于关于的方程组解的个数,即方程解的个数.(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.(2)当k≠0时,Δ>0⇒直线与抛物线有两个不同的公共点,此时称直线与抛物线相交;Δ=0⇒直线与抛物线有一个公共点,此时称直线与抛物线相切;Δ<0⇒直线与抛物线没有公共点,此时称直线与抛物线相离.已知抛物线的方程为,直线过定点,斜率为,当为何值时,直线与抛物线只有一个公共点?有两个公共点?没有公共点?变式1、若直线与曲线恰好有一个公共点,试求实数的取值集合.例2、(1)已知过点作抛物线的弦,恰被点所平分,则所在直线的方程为.

(2)已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于，两点,且.①求该抛物线的方程;②为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值。变式2、已知抛物线过点作一条直线交抛物线于两点,试求弦的中点的轨迹方程.例3、经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．四、目标检测1.1.过点作直线,与抛物线只有一个公共点,这样的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条2.与直线平行的抛物线的切线方程为()A.B.C.D.3.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.B.C.D.4.设抛物线的焦点为,经过点的直线与抛物线相交于两点,又知点恰为的中点,则.5.已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程.五、课后反思（1）直线与抛物线的位置关系有哪些？如何判断？（2）点差法的步骤是什么？六、课后作业1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点关于准线的对称点为；（2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为；（3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形.点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，求.3.设抛物线上的点与焦点的距离为，点到轴的距离为，求抛物线的方程和点的坐标.4.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点，为何值时，直线经过抛物线的焦点?5.过抛物线的焦点作直线交于两点,若,则|AB|=()A.16 B.12 C.10 D.86.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,与y轴交于点A,若AF=FQ,O为坐标原点,则△OPQ的面积为(A.2 B.322 C.227.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.-12,12 B.[-2,2]C.[-1,1]8.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于()A.217 B.17 C.215 D.159.已知抛物线C的方程为x2=12y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.-∞,-C.(-∞,-22)∪(22,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)10.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为.

11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于.

12.从抛物线上各个点向轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线？13.已知A,B是抛物