高中数学讲义微96 平面几何

微专题96平面几何

一、基础知识：

1、相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形的判定

①三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似

注：由三角形内角和为180。可知，三角形只需两个内角对应相等即可

②两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相

似

③三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似

④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似

（2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主

要体现出“对应”两字），例如：若AABC〜AA'A。'，则有:

AB_AC_BC

ZA=ZA',ZB=ZB',ZC=ZC',府一/一就

2、平行线分线段成比例：如图：已知《〃"〃小且直线与

平行线交于A,B,C,D,E,F,则以下线段成比例：

ABDE

(1)（上比下）

~BC~~EF

ABDE

(2)（上比全）

~AC='DF

BCEF

(3)（下比全）

AC=~~DF

3、常见线段比例模型:

（1）“A”字形:在AABC中，平行3c的直线交三角形另两边于。,£,

即形成一个“A”字，在“A”字形中，可得AABCAADE,进而

有以下线段成比例:

-ADAE

w①____--

DB~~EC

DBCE

S---

ABAC

ADAEDE

自⑼____--

AB-AC-BC

（2）“8”字形：已知AB〃CD,连结4D,8C相交于。，即形成一个“8”字，在“8”字

形中，有:AB

从而蛆BOAB

△AOB~&DOC，

OD

4、圆的几何性质:

（1）与角相关的性质

①直径所对的圆周角是直角

②弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等

③同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半

④圆内接四边形，其外角等于内对角

（2）与线段相关的性质：

①等弧所对的弦长相等

②过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦

③若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直

5、与圆相关的定理

（1）切割线定理：设24是。。的切线，PBC为割线，

则有：PA2=PBPC

（2）相交弦定理：设是圆内的两条弦，且

相交于P,则有APBP=CPDP

（3）切线长定理：过圆外一点P可作圆的两条切线，且这

两条切线的长度相等

6、射影定理：已知在直角三角形ABC中，ZBCA=90\CD为斜边A3上的高（双垂直特

点），则以下等式成立：

BC2=BDBAAC2=ADABCD2=BD-AD

注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形ABC

中的边AC,BC,BD,ZHCD这五条线段中，可做到已知两条边

的长度，即可求出所有边的长度

7、平面几何中线段长度的求法：

（1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段

（2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系

（3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决

（4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为X,通过方程进行

求解。

二、典型例题：

例1：如图，已知Q4切于A点，割线PC。与弦AB相交于E点，且PA=PE=BE,

若PC=4,CD=21,则AE的长为

思路：由B4是切线，PCZ）是割线联想到切割线定理，所以有：

=PCPD=PC（PC+CD）=\OO,解得丛=10,从而

PE=BE=10,求AE可联想到相交弦定理：AEBE=CEDE,

CE-DE

即AE=----------,其中CE=P£—PC=6,DE=CD—CE=T5,代入可得：

答案：9

例2：如图，四边形ABCO内接于圆。，与圆。相切于点。，ACr>BD=F,/为AC

的中点，OGBD,CD=M，BC=5,则。E=.

思路：由OE与圆。相切可想到切割线定理：即DE?=EA-EB,弋

因为8D是直径，且F为AC的中点，所以3。垂直平分AC,且/\

△BAD和ABCD为对称的直角三角形。所以AO=C£>=JI6,y\//）

AB=BC=5,所以+=底。在△瓦炉中，B

由切线可知ED工BD,且AOLBE,,所以由射影定理可知

RD

BD-=BABE=BE=—7,则AE=3E—AB=2,进而DE=y/EA-EB=取

BA

答案：-\/14

例3：如图，Q4与圆0相切于A,PCB为圆。的割线，并且不过圆心。，已知NB7%=30°,

PA=26,PC=\,则圆。的半径等于.

思路：由与圆。相切于A可知PA2=PC-PB,可得

P42

PB=——=12,从而BC=PB—PC=T1,在中,

PC

可由ZB%=30°,PA=2A/J,可得:DA=2,PD=4,

从而CO=3,BO=5,观察圆内的弦，延长AO交圆于E,

从而有ADDE=CDDB,与半径进行耳关系可得：

AD（2R—AD）=CDDB,代入数值可得R=7

答案：R=7

例4：如图，P是半圆O的直径延长线上一点，PT切半

圆于点T,TH人BC于■H,若PT=l,PB+PC=2a,则=

HOB

思路：因为尸丁切半圆于点T,所以考虑连结圆心与切点，可得：OT工PT,在RsPTO中

具有双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出PH,由切割线定理可得：PT?=PC-PB,

PB+PC=2a[pc=a-yja2-]

〈=><,所以

PBPC=1[pB=a+y]（a2-\

222

BC=PC—PB=2A/a—1,即〃=y/a—1,从而OT=r=y/a—1,PO=PC+厂=。,

PT21

由射影定理可得：PT，=PH-PO=PH=——=-

答案：B

例5：如图，P3为AABC外接圆。的切线，BD平分NPBC,交圆。

于。，C,。,尸共线.若AB上BD,PCLPB,PD=1,则圆。的半径A

是.

思路：由A8_L89可知AO为圆。的直径，由弦切角性质可得

=且在圆中NBM）=ZBCD（对同弧BO）,由BD平

分ZPBC可得/DBP=/DBC,进而

ABAD="CD=ZDBC=ZDBP,在Rt^BPD中，可知：

ZBCD=NDBC=ZDBP

=>/BCD=NDBC=NDBP=30

ZBCD+NDBC+ZDBP=90

，所以由尸。=1可得：BO=2PO=2,在&AABO中，N84£>=30°,可得AP=2BO=4,

从而r――AD-2

2

答案：2

例6：如图，AABC内接于。。，过中点。作平行于AC的直线/,

/交AB于点E,交。。于G、F,交。。在点A切线于点P,若

PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为.

思路：由以为切线可想到切割线定理，所以PA2=PGPF,

PF=PE+ED+EF=S,只需求出PG即可。因为Q4为切线，所以

弦切惫NPAE=NC,因为依〃AC,所以NBDE=NC,从品NBDE=/PAE,进而可

PEAE

证APAE~ABDEN==>AE-BE=PE-DE,由相交弦定理可知：

BEDE

PEDE

AE・BE=GE,EF,所以PE,DE=GE-EF=GE=------=2,所以

EF

PG=PE-GE=\,代入PA?=PGPF可得:PA=R

答案：A/6

例7：如图，已知A3和AC是圆的两条弦，过点8作圆的切线

与AC的延长线相交于D,过点C作8。的平行线与圆交于点

E,与AB相交于点尸，A尸=6,FB=2,E产=3,则线段

CO的长为

思路：由3。是切线且。C4是割线可想到切割线定理，所以

=①，分别计算各线段长度。由AF=6,EB=2,EE=3可使用相交弦定理

AF-FBCFAF316

得：CF=------=4,再由C/〃6。可得：—=——=-,所以8。=，,同时

EFBDBF43

丝=丝=4=AO=4CO,代入①可得：4CD2=BD2=>CD^-BD^~

CDFB23

Q

答案：-

3

例8：如图，已知与。。相切，A为切点，过点P的割线交。0于6,C两点，弦CD//AP,

4),8c相交于点E,点F为CE上一点、,且NP=/EDE,若CE:BE=3:2,DE=3,

EF=2,则P4=.

思路：由Q4与。。相切可想到切割线定理，即

PA2=PB-PC,只需求出PB,PC即可。从题目条件中很难

直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由

4P=4EDF

可得：AAEP~"ED所以

ZAEP=ZFED

—=——nAE•ED=EP•EF①。由切割线定理可知EC②。因为

FEED

[NC=NEDF

CD//AP,所以NC=NP,进而NC=/EDF,所以]=>ACED~^DEF,

/CED=NCED

CEDE9

则一=——=DE?=CEEF,代入DE=3,EF=2可得CE=-,所以

EDEF2

2271545

BE=——CE=3,由①可算得EP=—,所以BP=EP—BE=—,PC=PE+CE=—°

3444

则PA=dPBPC

4

答案:竽

例9：如图，Q4切圆。于点A,割线经过圆心。，若PB=OB=1,。。平分NAOC

交圆。于点。，连结PO交圆。于点E,则PE的长等于

思路：由图可知若要求得PE,可想到切割线定理

模型=只需求得即可。由

割线PBC与切线R4可想到切割线定理，从而可

计算出PA=G,考虑计算PD,可将其放入

△OOP中计算，已知的边有OD=1,OP=2,需

jr

要求解"OP,在应ZiAOP中，通过边的关系可判定440尸二一，进而44。。二——,由

33

jr27r

角平分线可知ZAOD=—，所以ZDOP=——。从而可用余弦定理计算出，即可算出PE

33

解：♦.•1达切圆。于点A

：.PA2=PBPC由P3=Q3=1可得：r=l

:.PC=PB+BC=l+2^3

PA=y/PB-PC=G

在4Aop中，QA，=1.OP=2,AP=6

71一2万

ZAOP=-ZAOC=—

33

17t

•••。。平分Z4OC/.ZAOD=-ZAOC=-

23

2万

APOD=ZAOD+NAOP=——

.•.在△P。。中，由余弦定理可得：DP2=OP2+OD2-2OP-ODcosPOD=7

DP=yi

DA23万

由切割线定理可得：PEPD=PA1:.PE=——=上==

而一行

例10：如图，AB,CD是圆。的两条平行弦，AF"BD法

CD于点E,交圆。于点E,过5点的切线交C。延长线于

点P,若PD=CE=1,PB<,则8C的长为

PR2\\/

思路：由切割线定理可得Pl=po-pcnpc=—=5e-

PDF

从而DE=PC—PD—CE=3,由两组平行关系可得四边形A8Z)£为平行四边形，从而

CMCE1I3

AE=BD,由AF〃皮)可得：——=——=-,若设6C为x,则CM=—=-x,

CBCD444

可想到相交弦定理，AATf70=CM-6M①，所以只需用x表示出尸M即可得到关于

x的方程。因为与圆相切，所以NC=NDBP,结合NP可得：ABCP-ADBP,所以

1

有吆="=非=BD='x即AE结合比例可知：

DBBPV5

331

AM^-AE=-^=x,EM^—f=x由相交弦定理可得

44754V5

人-s口八„„CEED3亚

AE•EF=CE-ED=EF=----------=-----代人①可得

AEx

志京x+延）=解得：X：

V15

答案：BC=V15

三、历年好题精选

1^（2015,天津）如图，在圆。中，M,N是弦AB的三等分点，弦C£>,CE分别经过点M,N,

若。0=2,用£>=4,。丫=3,则线段可£的长为（）

810

A.B.32

3T2

2、（2015,广东）如图，已知AB是圆。的直径，AB=4,EC是圆。的切线，切点为

C,8C=1,过圆心。作BC的平行线，分别交EC,AC于点

。和点P,则。。=

3、（2014,重庆）过圆外一点P作圆的切线Q4（A为切点）,

再作割线PBC依次交圆于B,C,若PA=6,AC=8,BC=9,则

AB=_______

4、(2015,新课标ID如图，。为等腰三角形43c内一点，与AABC的底边BC交于M,N

两点，与底边上的高交于点G,且与A8,AC分别相切

于E,F两点

(1)证明：EF//BC

(2)若AG等于的半径，且AE=MN=2百，求四

边形EBCF的面积

6、(2014,新课标全国卷I)如图，四边形ABCD是的内接四边形，A8的延长线与。C

的延长线交于点E,且C3=CE

(1)证明：ND=NE

(2)设AO不是0。的直径，AO的中点为M,且=

7、(2014,新课标II)如图，P是外一点，Q4是切线，A为切点,

割线P8C与。。相交于点民C,PC=2R4,。是PC的中点，的

延长线交。。于点E,证明:

(1)BE=EC

c

F

(2)ADDE=2PB之

8、（2014,天津）如图所示：“8C是圆的内接三角形，ABAC

的平分线交圆于点。，交BC于苴E,过点B的圆的切线与AD

的延长线交于点口，在上述条件下，给出以下四个结论：

①BO平分NCBE；②FB）=FDFA；③AECE=BE-DE；

④AFBD=ABBF,则所有正确结论的序号是（）

A.①@B.③④C.①②③D.①®④

9、如图，在AABC中，AB=3,8C=4,C4=5,点。是BC的

中点，5E，4。于£,BE的延长线交ADEC的外接圆于点尸，

则EF的长为

10、如图，AB是圆。的直径，点。在圆。上，延长8C到。使BC=C£）,过。作圆。的

切线交AD于E.若AB=8,£>C=4,则。E=.

B

习题答案：

1、答案：AD

解析：由M,N三等分A8,不妨汲AM=MN=NB=x,则由

切割线定理可得：AMDM^2x2^2-4,解得[\O/.

x=2,再由切割线定理可得：ANNB^CNNE,所以'LZ

AN-NB4-28C

NE=--------=----=-

2、答案：8

解析：连结0C,由A3=2r=4可得OC=r=2,因为EC

且圆。于C,所以OC_LEC；另一方面，由AB是直径可得

BCVAC,所以CB的平行线OP_LAC,且由。是A3中

点可得0P为AABC的一条中位线，所以0P=48C=,，

22

则在AOCD中，由双垂直(OP_LAC,OC_LC£>)可用射影定理OC?=OP-QD,从而

PC2

0D=

~OP=8

3、答案：4

解析：设=则由切割线定理。A?=心/。=心.(28+6。)可得：

62=X(X+9),解得：x=3,PC=\2,因为PA是切线，所以NC=NPAB,再利

—,所喝噜，即日审6-8,

用公共角NP可得:

12

4、解析：(1)证明：•.•△ABC是等腰三角形，且ADJ.BC

.♦.A。是NC48的平分线

,.•4旦4/为。。的切线:.AE=AF,ADYEF

：.EF//BC

(2)由(1)可知AO是。的垂直平分线，又因为EF是OO

的弦

.•.0在AZ)上

连结OE,OAf,则由AE是切线可得OEJ_AE

设00的半径为r,则AG=r

AO-2r-2OE

可得：NEAO=30=>NEAF=60

-.AE=AF

.•.△ABCgAER均为等边三角形

AE=2^3/.AO-4,OE=2=r

：.OM=r=2,DM==MN=6

2

OD=\,从而AD=AO+QD=5=

3

解析：由切割线定理可知：。12=。。・。。=。。・(。。+8)=4,从而。4=4,由。是P4

中点可得PA=2QA=4,再由切线长相等可得PB=PA=4

6、解析：(1)证明：:AB,。,。四点共圆

:.ZD=ZCBE\CB=CE

NCBE=ZE

：.ZD=ZE

(2)证明：设BC中点为N,连结肱V

MB=MC:.MNIBC

.•.O在直线MN上

•.•M为A£＞中点，且AT＞不是。。的直径

...OMJ_A£)即MN,A£)

:.AD//BC

ZA=NCBE

.•.ZA=NE,由（1）得ND=NE

.•.△ADE为等边三角形

7,证明：(1)连结A8,AC

•.•。是PC中点，且PC=2P4

：.PA=AD

：.ZPAD=ZPDA

/PDA=ADAC+ZDC4,/PAD=/BAD+NPAB,且ZDCA=ZPAB

ADAC=/BAD