高中数学归纳法

第二章推理与证明》＞

2.3数学归纳法

第二章推理与廊一~多

.学习目标

1.r解一数学归纳法的原理.2,能用数学归纳法证明

一些简单的数学命题.

第二章推理与证明〉

预习察▲自主学习研读•思考•尝试,

新知提炼“

数4力I纳法

一般」也，证叨一个上正整数〃仃关的命题，“取卜列*牌进行:

他（〃oWN'）

（1）（UI纳莫掂）'叶明力〃取第-个修时命

题成".；

n=k(kNn。,A:6N)

«1纳递推）假3【义L肘命题成M,

n=k+l

证叨时命题也成％

只此完成这两个少吸,就唱以断定命题时从小开始的所仃力坐

数〃都成M.

卜一述证明小法叫做数学归纳法

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导引

第二章推理与证明》＞

名【师〕指［津

1.数学1纳法是一种白:接证明的方法,一般生，与正整数有关的

恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前〃项和等问题都

可以/目数学归纳法证明,但并不是所有与正整数有关的问题都能

用数学归纳法解决.

2,第一个值小是命题成立的第一个正整数，并不是所仃的第一

个（直叫都是L

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第二章推理与证明

3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键,归纳假设“当〃=A

（心〃—时命题成立”起着已知的作用，证明“当〃

=A+1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据

有关的定理、定义、公式、性质等推证出当〃=A+1时命题也

成立,而不能宜接将〃一A+1代入旧纳假设，此时〃一A+1时命

题成立也是假设,命题并没有得证.

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第二章推理与证明

自羲尝试,

Q判断正误（正确的打“，错误的打"x”）

（1）与正整数〃有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.

（）

（2）数学归纳法的第--步小的初始值一定为1.（）

（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（）

答案：(1)X(2)X(3)V

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第二章推理与证明

2用数学归纳法证明“凸〃边形的内角和等于（〃一2）7T”时,

归纳奠基中〃。的取值应为（）

A.lB.2

G3D.4

解析：选C.根据凸〃边形至少有3条边,知〃三3,故〃。的取

值应为3.

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第二章推理与证明〉

□用数学归蝌法前嵋等式1+2+3+-+(.w+3)=

C^+3)Cw+4)《布丘凿)时.第一^验证露=1时涉左边应

取地项是()

41Bd+2

C.l+2+3D4+2+3+4

答案案D

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第二章推理与证明〉

❹用数学归纳法证明1+:+:++」.5(舞EN.且心1)

21

第一步要证明的不等式是/肽舞=百到I盘=面+1

时缪左端增加了项.

愣卷h当翦一工制11+|+|<2,

当蠹三t晡翌篝21项，

蹴到篥2w-i

2W-1-(2^-1)=2w-2=20岁一好

答案一十|十|<2誉

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搽宛点E用教学扫射施证喇等式

iMl)用教学期纳法述明11X4+2X7+3X11+-+»(3w+l)

=麴(w+1)%其中舞EBI：

E证明】C1)当雅=1时，左边=1X4=4享右边=1X2*=%

左边=右边,等式或直

b)假羲当再=豢(靠EN。时等就g售

W1X4+2X7+3X10+―+t(3*+1)=*(1+1)%

那么当露=巅+1时期

lX4+2X7+3X10+-*+t(3*+1)+0+11J3(&+1)+1]

=JtQ+1)量+0+1)p(t+1)+1]

=(fc+1)tf+<+4)=(t+1)[(t+1)+lf,

即当箴=女+1时等贰也成立重

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根据Cl)和(2)可知等式就任何府MN”都成立导引

第二章推理与证明〉

方法归纳

川数学厂I纳法注明等式的方法

：’着京氐两应届麻送统鼠才/质的薪看出3曲;

一看）---；项的多少与几的取值是否有关，由几二人至！］几=及+1时，

:等式两边会增加多少项

X_/

，熏底a渤几工+i证而无字叠花展血命植被威塞

透螭Q构相同的形式

0>-，法■豆面」然后利用归纳假设，经过恒等变形，得

、缨足”「：:‘到到结姑论脓所需的他形式

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第二章推理与证明

证瞬,(1)当豳=1时膏有中堡成立.

1X3

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区」跟躁训练用数学归纳法证明:第二章推理与证明〉

I222〃2〃(〃+1)

1X3+3X5*1(2/z-l)(2/z+l)~2(2/z+l)*

(2)殿赞当k酎等式成意即:+获ii+

1(t+1)

i+1+

0=1)(>+1)2C>+1)步哪叠叠»=毗1X3

炉,金皿事,炉_________।《■+♦》"_

3X5十…+(»-1)m+1)i+0+1)0+3)=

1(t+1)(1+1)3_(t+1)(i+2)

2(2t+l)+(2t+l)《21+3》—=-20+3)―%

W当曜=t+里酎等驰蹒之栏目

导引

由(1)(2)可藉对于任意的理卷十号式簿或或

提辍点2期教学封物被镰嘱不等式第二章推理与证明》>

例2；索证累…《维登第露&

舞十1露十25B®

r证明］(i)当舞=z时,左边="：+：£=*故左边

J45ow

A右边,不等式成.正

(2)假设当翳=A(&^2S&er)时不等式成立，即

i+i+i+2+***+i>l5则当弹=11时,

1I1

+--J-SttM——I-----------p

(i+D+i(^+1)+23i3i+l34+2

1i

11J"---------------*=|=V«*«=|=--------L-

3(1+1)*+11+2十黛十

111

l3i+l+'3i+2+'3A+34+l.J>i+

f1+——1kT

13命+1怎黛+鲁舞+3i+1/%栏目

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第二章推理与证明〉

m.__1~~~1~—1~•一

w

1

由m

只髭毓(®+2)C»+3)+《麟+a(«+3)+C»+l)(«

+2)—3(»-H)(»+2)委做

M»ffei^+lSt+f)+《南+宽+3)+(rf+fl+2)—

(2T^+27t+«)

MWttSi+5>®.最熟蹒邕

解叫当麴=1+&毗看等或豳霸或

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第二章推理与证明

所眺当踊=蠹41脑期不等或也虚或

*(1)(2)翊飙原不等式鬻一»糠奏飘藕莞甯燧娥直

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第二章推理与证明

反【思【提】升

川数学加纳法证明不等式问题的四个关键点

关键验证第1个孔的取值时，要注意即不一定为1,

氤二J•若条件为n>k9则7i0=^+l

证明不等式的第二步中，从九二人至U几二人4的推导

关键

过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设

点二

的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”

:应用而正国屣篇「春虚明》获宗加漏:司臬用芬

•析法证明n=k+\时也成立，这样既易于找到证明的

点三:突破口，又完整表达了证明过程

:证明几M+1成立时，应加强目标意识，即要证明

关键

:的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的

点四

•方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小”栏目

、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一____一一一一一一一一一一一一♦导引

国堡踪训练用薮学归纳法证明:

$+$+$+…+}<!,一；(鑫参嘉雅£可购)取

证明岁(1)当器三重时，

alI_..喻dI

五1J超口炉二手CIlAi=1一/=I

因为:4所以不等式成宜

通》假谈翔=矗盘&EM)时*

不等式成立，

即31京+.+“*+5<1

颠当蠹=*+1暗安

1,.1,1.1.1-1口1—

誉田源十矛十B四十严中飞百/VI一三431^一工1f一

<1+1>^+Mk(t+1)i_1

&(i+D(*+l)­豳《1+1》鬻f-QP

厮以当瓣=1+1时,不等式假2

绘上>谶修瞽使意嘉沁觞正音善不等或藩或堂栏目

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第二章推理与证明》

探究点3!H纳——猜想——iiljyi

KSHffl£”阿/瑜F臀寓产;京如掷鼠逸f.（=lw

例3己知数列的前”项和为IL1,S”

①燧F魁M趣三电十畛二供z-崛饕物4N量二’十号与国

（/；C\）.

^瞅*闻尸趣"h»#稼尸§叫》电萼燃n1w忐=」十，十。口才

（1）'号出S，S3S‘S」,并猜想S,的衣达式;

空嬲=4厥a检=峋十—十与十时=1百/jy'脚啊声施q蠲

（2）用数学III纳法诅叫你的猜想,并求出“”的友达式.程编个印?“

金贰十1

然下呵阳麟座原陶雄■制遗麟吸鬣电

舞n孵n就闪鬻薄诵露晦寇-

蘸曦当徽=t（1M,噩eO的籍通盛宣期即赢=^方

则当懑=好1毗品+广d+11％血=(>+*1)1€%MF)

斯瓶cf+«）&产c.m）演产Ci+i）打爵

10+1)

W6A的M产t+l辱

微当0^1+1时铝知渔虞鬣，

由0丽知静对于在慧的蚱格都看民产冷

3?^1.1JL

栏目

Z导引

因为鼠匚靖,#脚鼠J

勰C®+1)

第二章推理与证明

回法归

印倩想iiE叫”的一般少骤

:根据条件，准确计算出前若干项，这是

计算

:归纳、猜想的基础

归纳

通过观察、分析、比较、综合、联想,

、猜想出一般的结论

猜想

证明对一般结论用数学归纳法进行证明:

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第二章推理与证明

.当堂检测，

1.一个大门'1然数〃的命题，如枭证得1时命题成并

任侣"、七〃A（A、1|[A，、）时命题成M的匪础上，证明」'

A+2时命题成'九那么综介k述,对广（）

\•切正整数命题成。

B.一切正奇数命题成。

CT”正偶数命题成立

D.以上都不对

■析：选B.本题证明了当〃=1,3,5,7,…时,命题成立,

印命题对一I为正奇数成立.A,C,D不正确.

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第二章推理与证明〉

2.川数学UI纳Mill叫“1+〃；2+…+M；时’山""

〃十

+1,不等」弋左边的变化是

川济川2（/\）.项

BM皿Ji"/'两项

和2/3网弧同网减少J1-顶

（,邪叫A+1

D,以上结论都不正确

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3勒求证r十：士!』…十白1>：《嘉仁4）」第一早推理与证明—》

证明:①当『1时，左边=L右边M/所以不等式成立.

②假设当耀=蠢（蠢2L蠢巨N）时不等式成立岁

t1111

则当舞=上+1时浮1+尹，+…+^^+沙丁+1+7-*+2+…+

1.i,1,1

?>2+Fi+l+2i-1+2++去>与+$+玄+""+'=，+

所以当理=4+1时，不等式成立.

由①②可知l+|+1d-----H^I>2（源6ND成立.

第二章推理与证明〉

国理尊避已知蒙到｛/精足鼠+%=加+]

(1.)写出勰京辘型姆攀摧疆％的表达式胃

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第二章推理与证明〉

②殿赞当嬲teO耐缙豳或应解哪崛=爵一土舞

。禽牛喉手叫时+—睡=@C#+l)+1^

-w

rt*l=4~^所嬲赧1=2一漂1鬻

由府于隹意正版B第畿都成m

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第二章推理与证明

规范解答数学一纳法的应用

典例（本题满分12分）给个等式:

11,

1—4—（112）,

1-4+91+2+3,

1-4+9-16-(1+2+3+4),

（1）口重第5,6个等」弋，并茕测第〃（〃■、）个等」弋;

（2）川数学।“纳法i正叫你精测的等式.

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第二章推理与证明〉

【解】（1）第5个弋:1-4I9—16+251+2+3+4+5,

（1分）

第6个:；」弋:1—4I9—16+25-36—（1+213I4I5卜6）,

（2分）

第〃个等」弋为:I2—22+32—424----卜（—1）"ln~

（—1）"1（112+3+—）//）.（4分）

批注

___________A.__n___

（y

♦确一测此结论,是本题的居础.

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第二章推理与证明〉

(2)ffflt尬当翻二1酎.左边二1甥二3

右边=(->>®X1=1,左遨=右池步等式成年(6»

(7»

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第二章推理与证明〉

C—1)取(1+1)I0+1)一寺

《QH.》『《魁".》+好

<»=

C------»(1)版C1+1+3++B+1)F(1®»

»=k到B~t+

1蜷率藏为

WB«=t+l簪式噩球直(11»

(12»

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第二章推理与证明〉

I规范与警示/

(1)应用数学I八纳法时，M按口诀“递推居础不可少，「纳假

设要用到，突/旧式明依据，总结定论莫忘掉”来检短要点.

(2)在数学列纳法应用中，要明确「〃A+1时，等式两边的

式「叮〃A•时券苴两边的式广的联系，增加的项为(-1)A

(A+1)?,这样才可正确求解.

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第二章推理与证明

.当堂检测“

1.一个大门'1然数〃的命题，如枭证得丁〃1时命题成并

任侣"、七〃A（A、1|[A，、）时命题成M的匪础上，证明」'

A+2时命题成'九那么综介k述,对广（）

\•切正整数命题成U

B.一切正奇数命题成。

CT”正偶数命题成立

D.以上都不对

小^选B.本题证明了当〃=1,3,5,7,…时,命题成立,

即命题对一切正奇数成立.A,C,D不正确.

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第二章推理与证明〉

2.川数学UI纳Mill叫“1+〃；2+…+M；时’山""

〃十

+1,不等」弋左边的变化是

川济川2（/\）.项

BM皿Ji"/'两项

和2/3网弧同网减少J1-顶

（,邪叫A+1

D,以上结论都不正确