2023-2024学年吉林省吉安市吉水县八年级（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省吉安市吉水县八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是(

)A. B. C. D.2.不等式组x≥−12x<4的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.3.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(

)A.(a+3)2=a2+6a+9 B.a4.如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB.若∠1=32°，则∠2的度数为(

)A.32°

B.58°

C.74°

D.75°5.如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是0,1,−2,−2,2,−2，则顶点D的坐标是A.−4,1 B.4,−2 C.4,1 D.2,16.已知一组均不为1的数；a1，a2，a3，…，an.满足如下关系：a2=1+a11−a1，A.−12 B.13 C.−3二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.因式分解：9x2−4y8.若分式|x|−1x−1的值为零，则x的值为______．9.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=______．10.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象交于点P，则不等式kx−3<2x+b的解集是______．11.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为______cm．12.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(1,0)，(0,2)，经过点A的直线l⊥x轴，点P是直线l上第一象限内的一个动点.若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标为______．三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题6分)

(1)若x+y=3，xy=2，求x2y+xy2的值．

(2)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转45°后得到△A′B′C.若∠A=60°，∠B′=100°，求14.(本小题6分)

解不等式组：2(x+2)−x≤7①4x−1315.(本小题6分)

如图，已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF，∠ABC=90°，∠DEF=90°，点F，E，B，C在同一条直线上，连接AF.请在图①、图②中仅用无刻度的直尺画出△ACF中AF边上的高CM(保留作图痕迹，不写作法)．

(1)如图①，点B与点E重合；

(2)如图②，点E在CB的延长线上．16.(本小题6分)

先化简：(x2−3x+3x−117.(本小题8分)

如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形．18.(本小题8分)

创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．

(1)求两种型号垃圾桶的单价；

(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？19.(本小题8分)

如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以2cm/s的速度向点A移动，用t(s)表示点P，Q移动的时间(0≤t≤3)．

(1)当t为何值时，△PAQ是等边三角形？

(2)当t为何值时，△PAQ是直角三角形？20.(本小题9分)

阅读下列材料：

请仔细阅读下面某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程，然后回答问题．

解：设x2−4x+2=m

原式=m(m+4)+4(第一步)

=m2+4m+4(第二步)

=(m+2)2(第三步)

=(x2−4x+4)2(第四步)

回答下列问题：

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______；

21.(本小题9分)

(1)阅读理解

由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”.在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE，请证明他的发现；

(2)问题解决：如图②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．

①试探索线段CD，BD，DE之间满足的等量关系，并证明；

②若AB=AC=3，线段DE与线段AC交于点F，连接CE，当△ABD≌△DCF时，求线段CE的长．22.(本小题12分)

【课本再现】

(1)如图(1)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则线段DE与边BC的数量关系是______，位置关系是______，小明给出了部分证明步骤，请你完成剩余部分；

证明：如图(2)，延长DE到F，使FE=DE.连接CF．

在△ADE和△CFE中，

∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE．

∴△ADE≌△CFE．

∴∠A=∠ECF，AD=CF．

∴CF//AB．

……

【知识应用】

如图(3)，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是AB的中点，M是DC的中点.求证：∠PMN=∠PNM；

【拓展应用】

(2)如图(4)，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，求∠ADC的度数．

参考答案1.D

2.C

3.C

4.C

5.C

6.B

7.(3x+2y)(3x−2y)

8.−1

9.45°

10.x>4

11.2

12.(1,4)或13.解：(1)∵x+y=3，xy=2，

∴x2y+xy2=xy(x+y)=2×3=6；

(2)∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转45°后得到△A′B′C，

∴∠BCB′=45°，∠A=∠A′=60°，

∵∠B′=100°，

14.解：2(x+2)−x≤7①4x−13>x−1②，

解不等式①，得x≤3，

解不等式②，得x>−2，

∴原不等式组的解集为−2<x≤3．

将不等式组的解集在数轴上表示如下：15.解：(1)如图，延长FD交AC于G，

∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∠DEF=90°，

∴∠DFE=∠ACB=45°，则FG⊥AC，D在AB上，且AB⊥CF，

∴点D为△ACF三条高的交点，

连接CD，并延长CD交AF于点M，则线段CM即为所求．

(2)解得：如图，延长FD交AB于点T，同(1)可知，

点T为△ACF三条高的交点，

连接C

T，延长C

T交AF于点M，线段CM即为所求．

16.解：(x2−3x+3x−1−1)÷x2−4x+4x2−1

=x2−3x+3−x+1x−1÷(x−2)2(x+1)(x−1)17.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，且AB//CD，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)；

∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，

∴∠AEF=∠CFE，

∴AE//CF，

∴四边形AECF18.解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，

由题意可得：3x+4y=5806x+5y=860，

解得：x=60y=100，

答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；

(2)设A型垃圾桶a个，

由题意可得：60a+100(200−a)≤15000，

a≥125，

答：至少需购买A型垃圾桶12519.解：(1)AP=t cm，AQ=(6−2t)cm，

∵当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，

即t=6−2t，

解得t=2．

∴当t=2时，△PAQ是等边三角形；

(2)∵△PAQ是直角三角形，

∴∠AQP=90°，

当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，AQ=12AP，

即AP=2AQ，

∴t=2(6−2t)，

解得t=125；

当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，AP=12AQ，

即AQ=2AP，

∴6−2t=2t，

解得t=32．20.(1)C；

(2)(x−2)4；

(3)设x2−2x=m，

原式=m(m+2)+1

=m2+2m+1

=(m+1)21.(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

(2)解：①结论：BD2+CD2=DE2.理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴∠B=∠ACB=45°，

由(1)得，△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2．

又∵BD=CE，

∴BD2+CD2=DE2．

②∵∠BAC=∠DAE=90°22.(1)解：线段DE与边BC的数量关系是DE=12BC，位置关系是DE//BC，

证明：如图(2)，延长DE到F，使FE=DE.连接CF．

在△ADE和△CFE中，

∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，

∴△ADE≌△CFE．

∴∠A=∠ECF，AD=CF．

∴CF//AB．

又∵D是AB的中点，

∴AD=BD