《数学》复习人教A（新高考）-第6节　离散型随机变量及其分布列

第十章

第6节离散型随机变量及其分布列知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为

，所有取值可以一一列出的随机变量，称为

随机变量．随机变量离散型2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的

．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②

＝1.概率分布列p1＋p2＋…＋pn(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为

3．常见离散型随机变量的分布列X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1. (

) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义． (

) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7

则它服从两点分布． (

) (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布． (

)×

×

×

×

解析

对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确．2．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是_____________．0，1，2

3．已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.51－2qq2

则常数q＝____________．CD

5．(2021·西安月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．6．(2021·郴州检测)设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________．考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一离散型随机变量分布列的性质///////自主演练C

D

3．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____，公差d的取值范围是________．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．感悟升华【例1】(2021·惠州调研改编)某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2020年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2020年度的月均销售额(单位：万元)分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70. (1)根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励，试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；考点二离散型随机变量的分布列///////师生共研【例1】(2)在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假，为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止，设审核次数为X，求X的分布列．求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．感悟升华【例2】某市政府出台了“创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，评分在[60，80)内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．考点三超几何分布///////师生共研【例2】(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率；【例2】(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．感悟升华【训练2】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；【训练2】(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(

) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 解析选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.C

D

C

C

5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是 (

)C

6．若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是 (

) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2)C

解析

由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8， 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．二、填空题7．某射击选手射击环数的分布列为X78910P0.30.3ab

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．40%

解析由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4， 故射击一次的优秀率为40%.8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过

1人的概率是________．9．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________________________． 解析

X＝－1，甲抢到一题但答错了．

X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．

X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．

X＝2时，甲抢到2题均答对．

X＝3时，甲抢到3题均答对．－1，0，1，2，3

三、解答题10．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m (1)求2X＋1的分布列； 解由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

列表为X012342X＋113579

从而2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．X01234|X－1|1012311.(2021·甘肃、青海、宁夏联考)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．

(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列．B

14．(2020·重庆四检改编)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25)27人13人40人20人[25，35)23人17人35人25人[35，45]20人20人35人25人先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60