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设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.10.6

多元微分在几何上的应用10.6.1空间曲线的切线与法平面对应于设对应于割线的极限位置——曲线的切线割线

的方程为切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.当时,法平面:过点且与切线垂直的平面.曲线在处的切线方程法平面方程为1.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令x为参数,切线方程为特殊地:2.空间曲线的方程为方程组确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组表示).切线方程为法平面方程为

两边分别对x求全导数:求得解切线方程法平面方程例1求曲线

在

处的切线和法平面方程.即整理得解方程组两边对x

求导,有例2

求曲线在点处的切线及法平面方程.法平面方程为所求切线方程为切向量即在曲面Σ上任取一条过点在该点可微且偏导数不为零.

不全为零.的曲线Γ,设其参数方程为：10.6.2空间曲面的切平面与法线1.

曲面Σ的方程为的情形点对应于参数

由于曲线Γ在曲面Σ上,所以

在恒等式两端对t求全导数,

并令

则得

若记向量

曲线Γ在点M处切线的方向向量记为

则※式可改写成※即向量垂直.

因为曲线Γ是曲面Σ上过点的任意一条所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在又是法线的方向向量.称为曲面Σ在点的过点且垂直于切点的法线,向量称为曲面Σ在点的法向量.曲线,曲面在处的法向量:法线方程为所以曲面Σ上在点的切平面方程为2.曲面方程形为

的情形曲面在M处的切平面方程为令曲面在处的法线方程为全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在处的切平面方程:法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为或解令切平面方程法线方程例3

求曲面

在点

处的切平面及法线方程.例4证明曲面上所有点处的切平面都过

证设则法向量为切平面方程为一定点.显然,切平面都过原点.即解设为曲面上的切点,所求切平面方程的法向量可取为由所求切平面方程平行于已知平面,得例5

求曲面平行于平面的切平面方程.令因为是曲面上的切点,所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)即即证过直线L的平面束方程为即其法向量为练习求过直线

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