高等数学教程　下册　第4版 课件 10.5 隐函数及其求导法_第1页
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10.5

隐函数及其求导法10.5.1一个方程的情形并不是所有的方程都能确定隐函数,就不能确定隐函数,现给出隐函数存在的充分条件.例如,方程y=f(x)满足方程定理10.7(隐函数存在定理1)则(1)存在x0

的某个邻域,在此邻域内存在唯一的函数隐函数的求导公式设二元函数F(x,y)满足(1)F(x,y)在的某一邻域内可偏导,(2)

y=f(x)具有连续导数,且且且

和

连续,或简写于是,得所以存在的一个邻域,在这个邻域内证明:现仅推导求导公式.将恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得函数y=f(x)称为由方程F(x,y)=0所确定的隐函数.例1验证在点x=0某个邻域内存在唯一确定的一元函数y=f(x)满足方程xy–ex+ey=0,并求y=f(x)的导数.解令则在整个平面上连续,且由定理10.7,方程xy–ex+ey=0在点(0,0)的某个邻域内能唯一确定一个有连续导数的函数y=f(x),且解1令则例2

已知方程两边关于x求导,有解2解得定理10.8(隐函数存在定理)则在X0

的某个邻域内,存在唯一的函数y=f(X)设

X=(x1,x2,…,xn),函数F(x,y)满足(1)F(X,y)在的某一邻域内一阶偏导数连续满足方程F(X,y)=0,且以为例L

表示该椭球面与xOy

平面的交线.两个连续的二元函数满足F(x,y,z)=0.不满足定理的条件,在

的邻域内总存在一个连续的二元函数z=f(x,y)满足F(x,y,z)=0.满足定理的条件,在

的某个邻域内存在唯一的解令例3

设有隐函数其中F

具有连续的偏导数,求则解故先求例4设z=f(x,y)由方程求确定令则再求两边分别对y求偏导,得对代入得将解设例5设函数所确定,求方程组的情形定理10.9(隐函数组存在定理)设(1)Fk(X,Y)(k=1,…,m)在点(X0,Y0)的某个邻域内可偏导,且偏导数连续,(3)F关于Y

的雅可比(Jacobi)行列式满足:

则在点(X0,Y0)的某个邻域内存在唯一一组可偏导的隐函数y1=f1(X),…,ym=fm(X)满足方程组F(X,Y)=0.解方程组两边对x求导解得例6设及求解方程组的两边对x

求偏导,有移项,得例7设

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