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二阶常系数非齐次线性方程的标准形式为7.6常系数非齐次线性微分方程

7.6.1二阶常系数非齐次线性微分方程其中

p,q为常数,不恒为0是方程的非齐次项.1.非齐次项为多项式这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为

其中

是m次多项式.因多项式的导数仍是多项式,我们猜测这类方程

的特解也是多项式.例1求下列方程的一个特解:解(1)做两次积分取积分常数为零,得特解为设代入方程整理得

比较系数得即

比较方程两边次数,

应为2次多项式.则积分并取积分常数为零,得特解设,则代入方程得

整理得

比较系数得解得

特解为

应为2次多项式.总结上例的特解形式,我们得出:方程的特解形式为

其中为m次待定多项式,更一般地,我们有下面的结论:方程的特解形式为其中为m次待定多项式,导数的最低阶数.

k是方程中出现的y的导数的最低阶数.k是方程中出现的y的为此只需要做变量代换

其中z是未知函数.

2.非齐次项为多项式与指数函数的乘积这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为其中是x的m次多项式,

是常数.注意到只要能消去指数ex即可归结为上一种情形.解令代入方程,整理得设则比较系数,得例2求方程的一个特解.

则解得原方程的一个特解为解特征方程为则例3求方程的通解.

特征根为对应的齐次方程通解令则代入方程,整理得设该方程特解为解得原方程的一个特解为原方程通解为解令例4(二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式)

其中p,q,是常数,是x的m次多项式.则代入方程,整理得消去得到注意到方程的特征多项式为

上式可简记为

方程(7-13)即为非齐次项是多项式的类型

因此,方程的特解形如其中为m次待定多项式,k是方程(7-13)中出现的z的导数的最低阶数,

即解(一)求对应齐次微分方程通解特征方程为特征根为对应的齐次方程通解例5求方程的通解,并求满足条件的特解.

(二)求非齐次微分方程通解特征多项式为

令原方程通解为因此,原方程的一个特解为得特解则原方程化为

其中即有解得所以,原方程满足初始条件的特解为(三)确定非齐次微分方程满足初始条件的特解求导得令则或3.非齐次项为多项式、指数函数与正弦或余弦函数的乘积基本形式为

其中是x的m次实系数多项式,

p,q,是实常数.的解.的特解求法与前面的讨论完全相同,和由线性微分方程解的结构理论

的解实部和虚部分别是方程方程只不过加入了复数的运算,其求导法则与实数相同.解特征多项式为

对应齐次方程通解特征方程特征根先解方程则方程化为

例6求方程的通解.令令其中解出一个特解即方程的一个特解为原方程通解为取其虚部,得原方程的一个特解

解令

则方程化为

例7

求方程的一个特解.令特征多项式为

先解方程其中即设特解

则方程的一个特解为比较系数得

其实部即为原方程的一个特解.

令和方程

是m次实系数待定多项式.由方程

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