专题4-4奇偶数列问题

专题44奇偶数列问题高考真题2021·新高考1卷T17已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一奇偶项递推公式不同2024届重庆一中月考已知数列满足，(1)记，求证：为等比数列；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由可知结合可得进而可证为等比数列；（2）由（1）结论可先求出的通项公式，进而求出的通项公式，再根据求出的通项公式，则可求.【详解】（1）证明：且，又，为以4为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知：，，又，，所以.2023·巴蜀中学高三校考已知数列满足：①；②.则的通项公式；设为的前项和，则.（结果用指数幂表示）【答案】【分析】当为奇数时令可得，当为偶数时令，可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当为奇数时，令，则，当为偶数时，令，则，则，当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，当为奇数时，由，则，所以，当为偶数时，由，则，所以，所以，所以故答案为：，2024解·广东实验中学校考已知数列满足，且的前100项和(1)求的首项；(2)记，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解；（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）当为奇数时，；则偶数项构成以为公差的等差数列，所以当为偶数时，；当为偶数时，，则奇数项构成以1为公差的等差数列，所以当为奇数时，，则，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，当时，，∴，综上，知.2023届·福建师范大学附属中学高三上学期第二次月考（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（

）A． B．C． D．数列的前项和为【答案】BCD【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项.【详解】对于A，，A错误；对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；对于C，当为奇数且时，累加可得，时也符合；当为偶数且时，累加可得；则，C正确；对于D，设数列的前项和为，则，又，，D正确.2023届·山东省聊城市高三下学期第一次模拟已知数列满足，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.【详解】（1），得，因为，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，故，所以；（2）当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，.2023届·重庆市南开中学校高三上学期一诊已知数列满足：，且．设．(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；(2)求数列的前2n项和．【答案】(1)(2)数列的前2n项和为【分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论；（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案.【详解】（1）由题意可知：，，故，即，故是以为首项，以为公比的等比数列，且，故（2）由（1）知，,即，由题意知：，故，故数列的前2n项和.已知数列满足，且，求的通项公式；【答案】(1)，(2)【解答】(1)因为，所以当时，，即.所以当n为奇数时，是常数列.又，所以当n为奇数时，，即.当n为偶数时，，所以当时，，即的通项公式为.已知数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和；【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）由数列满足，且.．当为奇数时，，此时数列成等差数列．当当为偶数时，，此时数列成等比数列，即可得出．（2）可得：．利用“错位相减法”与分组求和即可得出．（1）当为奇数时，，此时数列成等差数列．

当当为偶数时，，此时数列成等比数列

（2）2023届·月考（六）已知数列满足，，.(1)证明：是等比数列(2)求数列的前2n项和.【详解】（1）证明：由已知可得，，.又时，，所以，数列是等比数列，首项，公比.（2）解：由（1）可知，.则.所以，.所以.已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意，整理数列的递推公式，利用等比数列的定义，可得答案；（2）利用错位相减法，可得答案.【详解】（1）由，得，又，故，所以，即，故又，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，故数列的通项公式为；（2），设，其前n项和为，则，，所以，所以，且，所以.已知数列满足：，．(1)求，；(2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式；(3)求数列前10项中所有奇数项的和．【答案】(1)，(2)证明详见解析，，(3)【详解】（1）依题意，数列满足：，，所以.（2），.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（3），，所以，所以.安徽省宣城市2023届高三一模数学试题已知数列满足，，，令.(1)写出，，并求出数列的通项公式；(2)记，求的前10项和.【答案】(1)，，；(2)【详解】（1）因为，，所以，，又，所以，，，当，时，；当，时，，当时，，即，则，，数列是以为首项，3为公比的等比数列，故.（2）由（1）可得，记的前项和为，则.已知数列中，，对任意的，都有（1）计算，的值；（2）证明数列成等比数列，并写出数列的通项公式．【答案】(1)，.;(2)见解析.【详解】分析：（1）由，令，即可求得，的值；（2），又，∴成以首项为，公比为的等比数列，进而可得数列的通项公式．详解：（1）

∴，.（2）又，∴成以首项为，公比为的等比数列，，即．题型二含有（1）n项2024届·湖北腾云联盟10月联考T15在等比数列中，，则.【答案】【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后根据定义可判断为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以，记，因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，所以已知，数列的前项和为，求数列的前20项的和.【答案】【详解】的前项和所以，数列的前20项的和为.已知，设，求数列的前项和．【答案】【详解】，当为偶数时，，当为奇数时，，故已知，令，求数列的前项和.【答案】【详解】，①当时，②当时，，综上所述，（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，求数列的前n项和．【答案】【详解】所以.设，为数列的前n项和，求的最值．【详解】两式相减：∴当n为奇数时，不妨设，则∴单调递减，当n为偶数时，不妨设，则∴单调递增，∴的最小值为，最大值为1四川省成都市树德中学20222023学年高三上学期入学考试已知数列满足，，，则数列的前20项和为.【答案】330【分析】分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.【详解】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式可求数列的通项公式，再根据数列的项与前n项和的关系可求的通项公式；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，所以，解得，所以，，①则当时，②①②得：，则，而当时，，则，满足上式．所以．（2）记，，.已知数列满足：，，.(1)记，求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.【答案】(1);(2)353【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到【详解】（1）因为，令n取，则，即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以（2）令n取2n，则，所以，由（1）可知，；；所以已知数列中，，．（1）求，，及数列的通项公式；（2）设，求及．【答案】（1），，；；（2），【分析】（1）分别令利用递推公式以及可得，，，将递推公式整理可得，可得是常数列，结合其首项即可求得的通项公式；（2）利用并项求