复变函数与积分变换试题

复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．1-i的幅角是；2.2(5)Ln(-1+i)的主值是1f(z)=）f（；3.1+z2，(0)=（0），4．z=0是z-sinz1f(z)=的（一级）极点；5．，Res[f(z),∞]=（-1）；z4z二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导函数为（）；（A）f"(z)=ux+iuy；（B）f"(z)=ux-iuy；（C）f"(z)=ux+ivy；（D）f"(z)=uy+ivx.C2．C是正向圆周z=3，如果函数f(z)=（），则f(z)dz=0．33(z-1)3(z-1)；（B）；（C）；2z-2z-2(z-2)（A）ncz3．如果级数∑nn=1∞在z=2点收敛，则级数在（A）z=-2点条件收敛；（B）z=2i点绝对收敛；共6页第页（C）z=1+i点绝对收敛；（D）z=1+2i点一定发散．４．下列结论正确的是()（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；（C）如果Cf(z)dz=0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；（D）函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．1∞为sin的可去奇点；(A)(B)∞为sinz的本性奇点；z(C)∞为的孤立奇点sinz1三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设f(z)=x+axy+by+i(cx+dxy+y)是解析函数，求2222a,b,c,d.解：因为f(z)解析，由C-R条件共6页第页∂u∂v∂u∂v==-∂x∂y∂y∂x2x+ay=dx+2yax+2by=-2cx-dy,a=2,d=2,，a=-2c,2b=-d,c=-1,b=-1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。ezdz其中C是正向圆周：（2）．计算C2(z-1)z解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程ez因为函数f(z)=在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22(z-1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆c1,c2且位于c内ezC(z-1)2zdz=C1ezez(z-1)2dzdz+C2(z-1)2zezez=2πi()"+2πizz=1(z-1)2=2πiz=0无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。z15（3）．dzz=3(1+z2)2(2+z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z共6页第页z15z=3(1+z2)2(2+z4)3dz=-2πiRes[f(z),∞]-----（5分）11=2πiRes[f()2]----（8分）zz11f()2=zz1()15(1+12143)(2+())2zz12z111f()2=有唯一的孤立奇点z=0,zzz(1+z2)2(2z4+1)311111Res[f()2,0]=limzf()2=lim=12243zzzz(1+z)(2z+1)z→0z→0z15∴dz=2πi--------（10分）z=3(1+z2)2(2+z4)3z(z2-1)(z+2)32(z-3)（4）函数f(z)=在扩充复平面上有什么类型的奇(sinπz)3点？，如果有极点，请指出它的级.解：z(z2-1)(z+2)3(z-3)2f(z)=的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，∞3(sinπz)sinπz）=0的三级零点，（1）z=k,k=0,±1,±2,±3,为（，z=±1,为f(z)的二级极点，z=-2是f(z)的可去奇点，（2）z=0（3）z3=3为f(z)的一级极点，共6页第页（4）z=2,-3,±4，为f(z)的三级极点；（5）∞为f(z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。1在以下区域内展开成罗朗级数；2z(z-1)四、（本题14分）将函数f(z)=（1）0解：（1）当0111f(z)=2=-[]"z(z-1)(z-1)(z-1+1)∞1]"=[∑(-1)n(z-1)n]"而[(z-1+1)n=0=∑(-1)nn(z-1)n-1n=0∞f(z)=∑(-1)n+1n(z-1)n-2-------6分n=0∞（2）当0111f(z)=2=-2=-2z(z-1)z(1-z)znz∑n=0∞共6页第页=-∑zn-2-------10分n=0∞（3）当1f(z)=11=z2(z-1)z3(1-1)z1n∞1()=∑n+3------14分∑n=0zn=0z∞1f(z)=3z每步可以酌情给分。五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：⎧y""(x)-5y"(x)+4y(x)=e-x⎨⎩y(0)=1=y"(0)=1解：对y(x)的Laplace变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有1…（5分）s+1s2L(s)-s-1-5(sL(s)-1)+4L(s)=整理得11+(s+1)(s-1)(s-4)s-11111…（7分）=-++10(s+1)6(s-1)15(s-4)s-1151=++10(s+1)6(s-1)15(s-4)L(s)=1-x5x14xe+e+e…（10分）10615共6页第页y(x)=六、（6分）求f(t)=e+∞-βt(β>0)的傅立叶变换，并由此证明：cosωtπ-βtdω=e22⎰0β+ω-βt-iωt解：F(ω)=⎰ee-∞+∞dt(β>0)--------3分F(ω)=⎰e-∞-iωtβtedt+⎰e-iωte-βtdt(β>0)+∞+∞=⎰e-∞(β-iω)tdt+⎰e-(β+iω)tdt(β>0)=e(β-iω)t0--∞e-(β+iω)t+∞(β>0)F(ω)=112β+=2(β>0)------4分2-i+iβ+ω+∞1f(t)=1=⎰-∞eiωtF(ω)dω(β>0)--------5分⎰+∞-∞eiωt2βdω(β>0)22β+ω=⎰2β1+∞2ββ+ω2-∞(cosωt+isinωt)dω(β>0)=⎰+∞cosωtiω+β2+ω2βsinωt⎰-∞β2+ω2ω(β>0)+∞共6页第页f(t)=2βπ⎰+∞cosωtω(β>0)，-------6分22β+ω+∞cosωtπ-βtdω=e22⎰0β+ω«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B）填空题（每小题3分，共计15分）（）；2.Ln(-1-i)的）；3.f(z)=11+z2，f(7)(0)=（0）；z-sinz1f(z)=f(z)=Res[f(z),0]=4．，（0）；5．，z2z3Res[f(z),∞]=（0）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导函数为（）；（A）f"(z)=uy+ivx；（B）f"(z)=ux-iuy；（C）f"(z)=ux+ivy；（D）f"(z)=ux+iuy.C2．C是正向圆周z=2，如果函数f(z)=（），则f(z)dz=0．3z3z3（B）；（C）；（D）.22z-1(z-1)(z-1)共6页第页3．如果级数∑cnzn在z=2i点收敛，则级数在n=1∞（A）z=-2点条件收敛；（B）z=-2i点绝对收敛；（C）z=1+i点绝对收敛；（D）z=1+2i点一定发散．４．下列结论正确的是()（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；(B)如果f(z)dz=0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f(z)在C所围成C的区域内一定解析；（C）函数f(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z-z0的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．（A）、nzl是复平面上的多值函数；(B)、cosz是无界函数；z(C)、sinz是复平面上的有界函数；（D）、e是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）22（1）求a,b,c,d使f(z)=x+axy+by+i(cx+dxy+y)是解析函数，解：因为f(z)解析，由C-R条件共6页第页∂u∂v∂u∂v==-∂x∂y∂y∂x2x+ay=dx+2yax+2by=-2cx-dy,a=2,d=2,，a=-2c,2b=-d,c=-1,b=-1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．dz．其中C是正向圆周z2z(z-1)=2；解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程1在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22(z-1)z因为函数f(z)=为圆心画互不相交互不包含的小圆c1,c2且位于c内1C(z-1)2zdz=C111(z-1)2dzdz+C2(z-1)2z11"=2πi()+2πizz=1(z-1)213z=0z=0zedz，其中C是正向圆周z=2；（3）．计算C(1-z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：zz=2f(z)dz=-2πiRes[f(z),∞]=2πic-1-----（5分）共6页第页131z21zzeze111111=-=-z2(1++++)(1++++)23231(1-z)z2!z3!zzzz1-z=-(z2+z+111111++)(1++++)2232!3!z4!zzzz811+)=-32!3!c-1=-(1+1+z=28f(z)dz=-2πi3(z2-1)(z+2)3（4）函数f(z)=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinπz)3极点，请指出它的级.f(z)的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，∞3z=k,k=0,±1,±2,±3,为（sinπz）=0的三级零点，z=±1,为f(z)的二级极点，z=-2是f(z)的可去奇点，z=0,2,-3,±4，为f(z)的三级极