自考概率论与数理统计统计章节作业

第一章随机事件与概率

一、单项选择题

L掷一枚骰子，设人=｛出现奇数点｝,8=｛出现1或3点｝,则下列选项正确的是

(B

).

A.AB=｛出现奇数点｝B.A7=｛出现5点｝

C.5=｛出现5点｝D.=C

2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是(A).

A.(A+B)-B=AB.(A+B)-B=A-B=A-AB

C.(A-8)+8=A+BD.AB+AB=A

3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A尸｛第i次正面向上｝01,2),则“至少

有一次正面向上”可表示为

(D).

A.AAUAAB.4A2C.A4D.A|U4

4.某人向一目标射击3次，设人表示“第i次射击命中目标”(A1,2,3),

则3次都没有命中目标表示为

(A).

A.A4AB.A｛+A2+A3C.444D.4A2A3

5.设A与B为互为对立事件，且P(A)>0,P(8)>0,则下列各式中错误的是

(A

).

A.P(AIB)=0B.P(B|A)=0C.P(AB)=0D.尸(AU3)=1

6.设事件A与5相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则P(A\B)=

(D).

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

7.已知事件A与8互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则

(C).

A.P(AUB)=1B.P(AB)=P(A)P(8)

C.P(AB)=0D.P(AB)>0

8.设尸(A尸0,8为任一事件，则

(C).

A.A=(DB.AuBC.A与8相互独立D.A与8互不相容

9.已知P(A尸0.4,尸0.5,且AuB，则P(A|B)=(C).

A.0B.0.4C.0.8D.1

10.设A与8为两事件，则而=(B).

A.ABB.AUBC.D.AAB

11.设事件Au8,P(A)=0.2,尸(8)=0.3,则P(AU8)=

(A).

A.0.3B.0.2C.0.5D.0.44

12.设事件A与8互不相容,P(A)=0.4,尸(8)=0.2,则P(A|8)=

(D).

A.0.08B.0.4C.0.2D.0

13.设A,8为随机事件,P(B)>0,P(A|B)=1,则必有(A).

A.P(AU8)=P(A)B.AuB

C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)

14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字，则这3个数字中不含5的概率为(A).

A.0.4B.0.2C.0.25D.0.75

15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会

活动，则4人中恰好2男2女的概率为

(A).

A-lB.0.4C.0.25

16.某种动物活20年的概率为0.8,活25年的概率为0.6,现有一只该种动物已

经活了20年，它能活到25年的概率是(B).

A.0.48B.0.75C.0.6D.0.8

17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为

(A).

A.0.125B.0.25C.0.5D.0.4

18.一批产品的合格品率为96%,而合格品中有75%是优质品，从该批产品中

任取一件恰好是优质品的概率为

(A).

A.0.72B.0.75C.0.96D.0.78

19.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个

都是正品的概率为

(C).

20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个,

取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为

C).

83

A.1B.CC.D.

10107103

21.某人打靶的命中率为0.4,现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率

为

(Q.

A.0.42B.0.63C.C；0.420.63D.^0.430.62

22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子，则至少有一-枚骰子出现6点的概率为

(D).

A.C：1(1)5B.l-C^(1)5C.C^|(1)5D.l-(1)6

ooooooo

23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中，则出现2个空盒的概率为

(A).

A.-B.-C.-D.-

9233

24.从1,2,3,4,5,6六个数字中，等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到

的4个数字完全不同的概率为

(A).

A.—B.—C.4D.与

186!464

25.某人每次射击命中目标的概率为p(O<p<l),他向目标连续射击，则第一次

未中第二次命中的概率为

(D).

A]B.(l-p)2C,l-2pD.p(l-p)

二、填空题

L一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不

同色的概率为18/35.

2,甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为

_______1/16.

3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1

个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25.

4.从数字1,2,…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的

概率为0.0486.

5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5,0.6,

0.7,则目标被击中的概率为0.94.

6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任

取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12.

7.设事件A与5互不相容，P(A尸0.2,P(8)=0.3,则P(AUB)=0.5.

8.设事件A与5相互独立，且P(A+3尸0.6,P(A尸0.2,则P(B尸0.5.

9.设P(A)=0.3,P(B|A)=0.6,则P(A8尸0.42.

10.设P(A)=P(B)=P(C)=LP(AB)=尸(AC)=',P(BC)=0,则尸(A+B+C)=

46

_________5/12.

11.已知P(A尸0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)0.6

12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5,则4次射击中恰好

命中3次的概率为0.25.

13.已知P(A)=0.4,P(B)=0.8,P(B|A)=0.25,则P(A|8)=0.125.

14.设P(A)=；,尸(81A)=；,尸(4|B)=；,则P(AUB)1/3.

15.一寸比产品的废品率为4%,而正品中的一等品率为60%,从这批产品中任取

一件是一等品的概率为0.576.

16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概

率分别为0.4,0.5,则飞机至少被击中一炮的概率为0.7.

三、计算题

1.设P(A尸0.4,尸(3尸0.2,P(B|①=0.3,求P(A8)以及P(A|3).

P(B)-P(AB)

解:由P(B|A)=0.3得:£(坐)=0.3,即=0.3,

l-P(A)

=0

解得:P(AB)=0.02.从而，P(4|B)=迪厘』

P(B)0.2

2.已知Au仇P(A)=0.2,尸(5)=0.3,求:(1)P(A),P(B)；(2)P(AB)；(3)P(AB)；

(4)P(AUB);(5)P(B-A).

：(1)由概率的性质，知P(^)=l—P(A)=0.8,P(豆)=1—P(B)=0.7；

(2)因为Au8,所以AB=A,P(AB尸P(A)=0.2；

(3)P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=O；

(4)因为AuB,所以AUB=8,P(AUB)=P(B)=0.3；

或者，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；

(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1.

3.若事件A与8互不相容,尸(A)=0.6,P(A+B)=0.9,求:(l)P(AB)；(2)P(A|B)；

⑶P(丽.

解:(1)因A与8互不相容，故P(A8)=0,所以P(而)=1-P(A8)=1；

(2)因A与8互不相容，由加法公式：尸(A+8)=P(A)+P(B),得P(B)=0.3,从而

P(AB)_P(A)-P(AB)_0.66

P(A|B)=

P(B)~~l-P(B)~-077

(3)P(AB)=1-P(AB)=l-P(A+B)=l-0.9=0.1.

4.已知事件A与8相互独立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)P(8)；(2)P(AB)；

⑶P(A|B).

解：(1)因为事件4与3相互独立，所以P(45)=P(A)P(8),

P(A+B)=P(A)+P(B)~P(AB)=P(A)+P(B)~P(A)P(B)

0.6=0.4+P(B)-0.4P(B),解得：P(B)=；；

———A

⑵因为事件A与8相互独立，所以A与8也相互独立，故P(AB)=P(A)P(B)=石;

(3)因为事件A与B相互独立，所以「(A|8尸尸(A尸04

四、应用题

1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任

取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.

.解：设A"3个产品中至少有2个产品等级相同”，N“3个产品等级都不同”,

由古典概率定义，得尸（力=驾&=卫。0.049,从而

以。245

P（A）=1-0.049=0.951.

2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.

解:A“取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知:

GG+c；_8

P(A)=

3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一

双的概率.

解：A“4只鞋子中至少能配成一双"，则N“4只鞋子都不同”.由古典概率

得：隔）=生涉1=畀故蛇）=1-陶）卷

4.从0,1,2,3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是

三位数且是偶数的概率.

解：A“排成的数是三位数且是偶数”，A。“排成的三位数末位是0”，A2

“排成的三位数末位是2”，则4=4）+42,且4与4互不相容，因为

2

P（4）=Wr—2'=_1,p（4）=毕C'C'•=]_

'C；3!4-C：3!6

所以，P（A）=P（4）+P（A）=』.

5.一批零件共100个，次品率为10%,每次从中任取一个零件，取出的零件不

再放回去，求下列事件的概率：

（1）第三次才取得合格品；

（2）如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.

解：设A*第i次取到合格品"（i=l,2,3）,则

（1）第三次才取到合格品的概率为：

______一____In990

p（A，4）=尸（A）p（4lA）p（AiA4）=旃x旃XfO.oo83.

（2）A"三次内取得合格品”，则4=4+44+可兀4,所求概率为:

P（A）=P（A）+P（44）+P（44A）

=P（4）+P0）P（&IA）+m）P（41QP（AIAA）

90109010990

-------H---------X-----+-------X-----X-----=0.9993.

100100991009998

6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次,

试求：（1）两次取出的都是红球的概率；（2）在第一次取出白球的条件下，第二次

取出红球的概率；（3）第二次取到红球的概率.

解:A1“第一次取出的是红球”，4“第二次取出的是红球”，则

（1）由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：

p（A&）=p（A）p（4⑷=,x,=1；

（2）在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：P（4IA）=2；

（3）由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：

p（A）=p（A）P（A2|A）+哂P（4*）

7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的

25%,35%,40%,而各台设备的废品率分别是0.05,0.04,0.02,今从全厂生产

的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.

解：设4"第i台设备生产的零件"（i=l,2）,产品是废品”,由题意知:

P(A1)=25%,尸(A2尸35%,P(A3)=40%,P(B|A0=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,

由全概率公式得，产品是废品的概率为：

P(5)=P(A)P(B|A)+P(4)P(B|4)+P(4)P(B|A)

=25%x0.05+35%x0.04+40%x0.02=0.0345.

8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废

品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02,且第一台加工的零件比第二台

加工的零件多一倍.

(1)求任取一个零件是合格品的概率；

(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.

.解：设8"零件是合格品”，A“第一台车床加工的零件”，则N“第二台

7—1

车床加工的零件”，由题意知:P(A)=j,P(A)=1.

(1)由全概率公式得：P(B)=P(4)P(B|A)+P(A)P(B|A)

21

=yX(l-0.03)+-x(l-0.02)=0.973；

⑵由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率

P(N历_P(N)P(囱N)3

P(A\B)=

l-P(B)]2.92

3

9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男人女人各占一半.现随机地挑

选一人，求：

(1)此人恰是色盲的概率是多少？

(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？

(3)若随机挑选一•人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？

解：设8“色盲患者”，A“随机挑选一人是男人”，由题设知:

1_1_

P(A)=于P(A)=-,P(B\A)=5%,P(B|A)=0.25%,则

(1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=-x5%+-x0.25%=0.02625；

22

(2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为:

P(AB)

P(A|B)=

P(B)

(3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为:

P(A|B)=PG4B)__2__«0.4878.

P(B)~l-P(B)-0.97375

10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回),

甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：

(1)甲乙都抽到难签;

(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；

(3)甲乙丙都抽到难签；

(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.

.解：设A,B,C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，贝IJ

44?

(1)甲乙都抽到难签的概率为：P(AB)=P(A)P(B|A)=—x-=—；

(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：

———644

P(AB)=P(A)P(B|/l)=-x-=-；

(3)甲乙丙都抽到难签的概率为：

4321

P(ABQ=P(A)P(BIA)P(CIAB)=-x-x-=—；

4

(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：P(A)=—=0.4.

由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：

--4364

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—x-+—x-=0.4.

丙抽到难签的概率为：

P(C)=P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C|AB)

±x2ZAi2±l2All.4.

109x8+10x9x8+10x9x8+10x9x8=0

得，P(A)=P(B)=P(Q=0.4,所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.

11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4,0.5和0.7.若

三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的

概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.

解：设4表示“三人中恰有队击中飞机”，i=0,1,2,3.8“飞机被击落”.

Ao,A],A2,构成完备事件组，且

P(4)=(l-0.4)x(l-0.5)(l-0.7)=0.09,

P(^)=0.4x(l-0.5)x(l-0.7)+(l-0.4)x0.5x(l-0.7)+(l-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36,

P(4)=0.4x0.5x(l-0.7)+0.4x(l-0.5)x0.7+(l-0.4)x0.5x0.7=0.41,

P(AJ=04x0.5x0.7=0.14.

由题设知：P(8|4)=0,P(5|A)=0.2,P(B|4)=0.6,P(B|4)=l.

故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：

P(B)=P(4)P⑻4)+P(4)p(B|a)+P(4)P(8|4)+P(A)p(B|A)

=0.09x0+0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6,其他条件不变，

再求飞机被击落的概率.

解：设A表示“三人中恰有i人击中飞机”，;=0,1,2,3.8“飞机被击落”.

A。,Ai,A2,A3构成完备事件组，且由贝努里公式得：

P(4)=Cfx0.6°x0.43=0.064,P(A)=C；x0.6x0.42=0.288,

P(A2)=C；x0.62x0.4=0.432,尸(4)=C；x06=0.216.

由题设知：P(B\Ao)=O,P(B\Al)=0.2,P(B|^)=0.6,P(B\Ai)=l.

故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：

3

p(B)=zp(a)p(Bia)

/1=0

=0.064x0+0.288x0.2+0.432x0.64-0.216x1=0.5328.

13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为

次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率为0.03,求：

(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.

.解：设A”产品是合格品”，8“经检查产品被判为合格品”，且由题意知:

P⑷=95%,P(A)=1-95%=5%,P(B|A)=1-0.02=0.98,P(A")=0.03.则

(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=95%x0.98+5%x0.03=0.9325；

(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概

率为：

P(A3)_0.95x0.98

P(A|8)=-0.9984.

P(B)-09325

14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台

为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小

时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.

解：设A”第i台机床需要看管”,i=\,2,3.“三台机床中最多有一台需

要工人看管”表示为44A3+A&A+A4A3+A4A，且这4个事件两两互不

相容，由加法与独立性知，所求的概率为：

p（A4A+AA2A+A44+AAA3）

p

=P（A44）+p（4&A）+（A4A3）+p（444）

=P（A）P（T）P（4）+P（4）P（4）尸（4）+p（4）尸（1）P（A）+P（N）P（4）尸田）

=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3+0.9x0.8x0.7=0.902

15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率

分别是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率

是多少？

解：设A“第i道工序加工出次品"，z=L2,3.则加工出来的零件是次品表

示为4+A2+A3，月A，A2,A3相互独立，从而4,4，4也相互独立.

所求概率为：

p（A+&+A,）=1-P（而否=1-P（QP（4）P（4）

=1-（1-2%）（1-3%）（1-5%）=0.09693.

16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4,

0.6,0.7,求此密码被破译的概率.

.解：设A,B,。分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+3+C表示“密

码被破译”，且4B,C相互独立，从而,瓦仁也相互独立，故所求概率为：

P(A+B+C)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)

=1-(1-0.4)(!-0.6)(l-0.7)=0.928.

17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,各在两批中随机取一粒，求:

(1)两粒种子都能发芽的概率；

(2)至多有一粒种子能发芽的概率；

(3)至少有一粒种子能发芽的概率.

解：设A,8分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：

P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=1-0.7=0.3.

(1)两粒种子都能发芽的概率为：P(AB)=P(4)P(B)=0.8X0.7=0.56；

(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：

P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.8x0.3+0.2x0.7+0.2x0.3=0.44；

(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：

P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.8+0.7-0.8x0.7=0.94.

18「批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求:

⑴取出5件样品中恰有2件一级品的概率pi；

(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率02；

(3)取出5件样品中至少有一一件--级品的概率P3.

解：该问题是参数〃=0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：

⑴取出5件样品中恰有2件一级品的概率pi=C；x0.72x0.33=0.1323；

(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：

5

P2=XC5X0.7"x0.3J=1-Cfx0.7°x0.35-C；x0.7x0.34=0.96922；

k=2

(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：

5

P3=Z以*0.7*x0.35*=1-C；x0.7°x0.35=099757.

k=\

19.一射手对一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为—,求射手射

81

击一次命中目标的概率.

.解：设射手射击一次命中目标的概率为p，由贝努里定理知，4次射击中至

少有一次命中目标的概率为：1-(1-P)4,由题设知：

1-(1一〃)4=算解得：p='.

o13

20.一射手对一目标独立地射击，每次射击命中率为p,求射击到第4次时恰

好两次命中的概率.

解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰

有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：

P=pC；P(l-p)2=3/(1-0)2.

五、证明题

1.设0<P(3)<l,证明事件A与8相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A|B).

证：必要性设事件A与8相互独立，则P(AB尸P(A)P(8),P(A\B)=P(A),

P(AB)_P(A-AB)_P(A)-P(A)P(fi)

P(A|Z)=，

P(9一l-P(B)—l-P(B)P(A)

所以，P(A\B)=P(A\B).

充分性若P(A|B)=P(A西),则

P(AB)__P(A-AB)_P(A)-P(AB)

P(B)~P(B)~l-P(B)-l-P(B)

对上式两端化简，得：P(AB)=P(A)P(B),所以A与8相互独立

2.证明条件概率的下列性质：

(1)若尸(8)>0,则04P(A|8)<1,P(Q|8)=1,P(①|B)=0；

(2)若A与B互不相容，P(C)>0,则P(AU8|C)=P(4|C)+P(8|C)；

(3)P(A|B)=1-P(A|5).

证：(1)因为P(A|B)="A©,而o<p(4?)<p(B),所以，O〈P(A|8)W1,

P(8)

且pg⑻=2=a=1,P(①网=段@=3=。；

P(B)P(B)P(B)P(B)

(2)若A与8互不相容，则AC与BC也互不相容，从而

P(AUB|C)=.(—CUB。=.(AC)+P(8C)=p(A|C)+P(81C)；

P(C)P(C)

(3)由性质(2)得：P(A\JA\B)=P(A\B)+P(A\B),又AU^=Q，由性质⑴知，

P(C|B)=1,所以,P(A\B)+P(A\B)=1,即P(H8)=1—P(A|8)

第二章随机变量及其概率分布

一、单项选择题

X012

1.设随机变量X的分布律为

P0.30.20.5

则P{X<1}=

C).

A.0B.0.2C.0.3D.0.5

2.设随机变量X的概率分布为X0123

P0.10.20.3a

则cr

(D).

A.0.2B.0.3C.0.1D.0.4

上%>1

3.设随机变量X的概率密度为/(%)=-£',则常数c=

0,x<1

(D).

A.-1B.-C.--D.1

22

X的概率密度为f(x}=[aX：0<X<lm"…*

4.设随机变量，则常数a=

[0,其它

(D).

A.-B.-C.3D.4

42

5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是(A).

10010

x>1009x>0

AB.<X

x<1000,x<0

J1-,3

-1,0<x<2—<x<—

C.<D.2’22

,0,其它

,0,其它

6.设函数/(x)在区间口向上等于sinx,而在此区间外等于0；若/(x)可以

作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间切为(A).

TTJTS7T

A.[0,y]B.[0㈤C.[--,0]D.[0,y]

7.下列函数中，可以作为某随机变量X的分布函数的是

(C).

0,x<0

0.5元，x<0

0.3,0<x<l

A.F(x)=<B.F(x)=<0.8,0<%<1

0.2,l<x<2

1,x>1

1,x>2

71

0,x<00，x<一,

0.1,0<x<5、,兀

C.F(zx)x=<D.F(x)=<sinx,——<x<0

0.6,5<x<62

1,x>61，x?0

8.设F(x)是随机变量X的分布函数，则(B).

A.F(x)一定连续B.F(x)一定右连续

C.F(x)是不增的D.F(x)一定左连续

9.设尸(x)=P(X<x)是随机变量X的分布函数,则下列结论错误的是(D).

人.F*)是定义在(-8,+8)上的函数B.limF(x)~limF(x)=l

XT—XT-o0

C.P(a<X<b)=F(b)-F(a)D.对一切实数x,都有0<F(x)<l

10.设随机变量的概率分布为P(X=k)=若)”=1,2,3...)，则常数a=(B).

A.1B.-C.2D.--

22

1L已知随机变量X的分布律为

X0123

P0.30.40.10.2

F(x)是X的分布函数，则F(2.5)=(B).

A.0.7B.0.8C.0.1D.1

»……2x,0<x<1

12.随机变量X的概率密度其它，则

P{-1<X<1|=(A).

A.-B.-C.-D.-

4324

13.已知随机变量X的分布律为X-1012

P0.10.20.30.4

若随机变量r=X2,则P{Y=l}=(C).

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.2

14.设随机变量X〜8(4,0.2)则P{X>3}=

(A).

A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192

15.设随机变量X~N(1,4),y=2X+l,y〜(C).

A.N(1,4)B.N(0,1)C.N(3,16)D.N(3,9)

16.设X~N(4，〃)，①(x)是N(0,1)的分布函数，则W6)=(D).

A.O>(。)—①(a)B.①(b)+①(a)

C.(D(-7-)一0(—F)D.0)(—一0(—

crcraG

17.设X〜N(・l,4),①(x)是MOJ)的分布函数，则尸(-2<X<0尸(A).

A.2(D(1)-1B.①(0)-①(―2)C.①(2)—；D.①(2)—①(0)

18.设X〜N(0,1),p(x)是X的概率密度函数，则0(0)=(C).

A.0B.0.5C.-7^D.1

屈

19.设X服从均匀分布U[0,5],y=3X+2,则y服从(B).

A.U[0,5]B.U[2,17]C.U[2,15]D.U[0,17]

20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件

该商品，用随机变量X表示中奖的件数，则X的分布为(D).

A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布

21.设X服从参数4=2的泊松分布，F(x)是X的分布函数，则下列正确的

选项是(B).

A.%l)=e-2B.F(O)=e-2

C.P(X=O)=P(X=1)D.P(X<1)=2e-2

22.设乂服从参数/1的泊松分布，且2(乂=1)=42(乂=3),则/1=(C).

A.1B.2C,3D.4

二、填空题

1.若P(XW尤2)=1-夕，P(X2xJ=l-a,其中无1<巧，则P{X}<X<X1)

1

2.设随机变量X的概率分布为X-2012

P0.10.20.30.4

记hx2,则P(y=4)=0.5.

3.若X是连续型随机变量，则尸(X=l)=0.

4.设随机变量X的分布函数为&x),已知F(2)=0.5,F(-3)=0.1,则

P(-3<X<2)=0.4.

5.设随机变量X的分布函数为「⑴二白匚/产山,则其密度函数为

0,x<0

6.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=<sinx,0<x<|,其密度函数

1,x>-

[2

为/(x),则/(a=_______1Z1.

1--xr>0

7.设随机变量X的分布函数为尸(x)=e'一，则当Q0时，X的概率密

0,x<0

度/*)=_______L.

8.设随机变量X的分布律为

X012

P0.40.20.4

则P(0<X<1)0.6.

9.设随机变量X〜N(3,4),则P(4<X<5)=0.148

(其中①⑴=0.8413,①(0.5)=0.6915)

10.设随机变量X服从参数为6的泊松分布，写出其概率分布律

P(X=K)=6K/K!K=0,1,2,3.

11.若随机变量X〜3(4,0.5),则P(X>1)-15/16

12.若随机变量X〜U(0,5),且Y=2X,则当03W10时，丫的概率密度加y)=

1/10.

13.设随机变量X〜N(0,4),则P(X>0)=0.5

14.设随机变量X〜U(-l,1),则P(IXIW>=0.5.

15.设随机变量X在［2,4］上服从均匀分布，则P(2<X<3)=0.5.

16.设随机变量X〜M-1,4),贝IJy=七」〜N(0,1).

17.设随机变量X的分布律为P(X=Z)=*%=0,1,2,…，则斫2/3.

kx+10Vx<2

18.设连续型随机变量X的概率密度为/(%)=(八'什,、，则公

0,其匕

-1/2.

19.若随机变量X〜M1,16),y=2X-1,则y〜N(l,64).

20.若随机变量X〜U(l,6),Y=3X+2,则hU(5,20).

三、计算题

0,x<0

1,设连续型随机变量X的分布函数为F(1)=卜，0<x<l,求X的概率密度

1,x>1

函数.

解：由分布函数与概率密度函数之间的关系F'(x)=/(x)知，当0<x<l口寸,

/(x)=(x2y=2x,

2Y0<Y<1

当xNl或xKO时，/(x)=0,所以，X的概率密度为/(x)=八’卜….

0,具匕

2.设X服从参数p=0.2的0-1分布，求X的分布函数及P(X<0.5).

解：X的分布律为

0.80.2

当x<0时，F(x)=P(X<x)=0；

当0Wx<l时，F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0.8；

当xNl时,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0.8+0.2=1.

0,x<0

所以，X的分布函数为尸(x)={o.8,0<x<l；而P(X<0.5尸P(X=0尸0.8.

1,x>1

3.设随机变量X〜U(a,。)，求X的密度函数与分布函数.

1,

解：X的密度函数为=；分布函数~元)=1/⑺山,

0,其它7

当x<〃时，F(x)=f=[0dt=0；

J—ooJ—oo

当时，F(x)=f=[o力+「一!一力='

J-OOJ—coah-ab-a

当X乂时，如)=匚AM=匚Odt+J：占it+J；0^=i.

所以，X的分布函数为尸(x)=,a<x<b.

b-a

1,