高中数学-空间向量及其加减运算教学设计学情分析教材分析课后反思

第三章空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其加减运算

【核心素养定位】

1.了解空间向量的概念，掌握其表示方法（数学抽象）

2.掌握空间向量的加减运算（直观想象、数学运算）

教学重点：

（1）空间向量的有关概念

（1）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。

（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用

教学难点：

（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。

易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用

教学用具：多媒体

教学方法：研讨、探究、启发引导。

教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维

习惯。

教学设计：

一、趣味情景导学

1、（老师）：同学们好！大家知道“后羿射日”这个神话故事吗？古时候，天上有十个太阳，

地上的人们苦不堪言，于是天帝的儿子后羿就去射太阳，大家注意观察后羿的箭，大家能想

到我们之前学过的哪些知识吗？

（学生讨论）向量

（课件）引入：（我们看这样一个问题）小明从家出发向正东走100米，再向正北走100

米，再爬楼到三楼，问小明直线距离有了多远？

（老师）：小明走的路线涉及到了我们的空间，所以解决这类问题，需要空间知识，而

这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今

天所研究的内容：“空间向量及其运算”。

2、（自主学习）：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么

区别和联系？平面向量的运算法则、运算律空间中适用吗？

（类比学习——学生看书、然后讨论研究了哪些内容，体现类比思想）学生回答所学

内容（目的，增强自主学习性））

一、平面向量、空间向量的基本概念

向量概念：在平面上（对比：在空间中），既有大小又有方向的量叫向量；画法：用有向线

段AB画出来；表示方式：逆或甩（用小写的字母表示）；零向量：（在平面、空间中）

长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；单位向量：（在平面、空间中）模为

1的向量称为单位向量；相反向量：（在平面、空间中）长度相等，方向相反的两个向量，

互称为相反向量；相等向量：（在平面、空间中）方向相同且模相等的向量称为相等向量：

二、平面向量、空间向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为a+6；

几何意义：如图为。+了为平行四边形的对角线03,或三角形AB0中边030减法法则：

记为a-B；几何意义：如图中a—否为平行四边形的对角线AC,方向指向被减向量。

三、平面向量、空间向量的运算律：

—♦—►—•—♦—•

交换律a+Z?=Z?+a,结合律（a+b）+c=a+S+c）。

四、推广到平面中的多个力的和（首尾相接的多个力的和）、向量构成封闭图形时合力

为零。（需要借助图形理解平面向量加减运算及其运算律的意义，体现数形结合思想）。（课

件演示）：）

3、（引导学生归纳总结）用类比（表格）形式对比给出空间向量的相关定义，采用填空形式

填写下列有关内容：（课件）

内容平面向量空间向量

概念在平面上，既有大小又有方向的量在空间，具有大小和方向的量

画法及其表示用有向线段AB画出来；表示方式：

用有向线段A6画出来；表示方式：

A6或〃

AB或g

零向量长度为零的向量叫做零向量，零向量长度为零的向量叫做零向量，零向量

的方向是任意的的方向是任意的

单位向量平面中模为1的向量空间中模为1的向量

相反向量平面中长度相等，方向相反的两个向空间中长度相等，方向相反的两个向

旦

里，量，

相等向量平面中方向相同且模相等的向量空间中方向相同且模相等的向量

加法法则记为a+5,首尾连接的向量，和向记为a+5，空间中，首尾连接的向

量为第一个向量的起点指向最后一个量，和向量为第一个向量的起点指向

向量的终点（注意展示几何意义的图最后一个向量的终点（注意展示几何

形及解释）意义的图形及解释）

加法运算律交换律a+：=」+.,交换律a+:=」+a,

结合律(图示)结合律(图示)

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)

可借助图形理解平面向量加减运算及可借助图形理解空间向量加减运算及

其运算律的意义其运算律的意义

减法法则

记为a—同起点的两个向量，差记为空间中，同起点的两个

向量连接两个向量的终点，并且指向向量，连接两个向量的终点，并且指

被减向量。向被减向量。

4、（研讨课件）（1）空间中，任意两个向量是否可能异面？（学生讨论、演示、回答）

（2）平面向量可在同一平面内平移，而空间向量也可在空间中平移。平移后的向量与原向

量是同一向量。由此得出：空间任意两个向量都可转化为共面向量。任意的空间中的两个向

量，平面向量的结论都适用。（体现转化思想：空间问题向共面问题的转化）。

（3）注意与异面直线（不同在任何一个平面上的两条直线称为异面直线）作好区别。

5、（研讨课件）（2）空间向量满足加法结合律吗？（学生讨论、演示、回答）

五、练习

1.判断正误

1.如果两个向量长度相等，那么这两个向量相等（）

2.如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等（）

3.同向且等长的有向线段表示同一向量（）

4.向量的模是一个正实数（）

5.所有的单位向量都相等（）

6.方向相反的向量是相反向量（）

六、应用

1.判断正误

（1）若AB=CO,则AB\=\CDo（）

（2）单位向量都相等（）

（3）与A4的长度相等（）

（4）不相等的两个空间向量，模不相等（）

2.如图所示，在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,44=1的长方体力比》4844的八个顶

点的两点为始点和终点的向量中.

（1）单位向量共有多少个?

（2）试写出模为函的所有向量.

试写出与AB相等的所有向量.

（4）试写出热的相反向量.

3.如图，已知平行六面体48O4AG”.化简下列向量表达式

（1）AB+CC,（2）CQ+AB（3）AB-CC]

（4）（AB+B^CJ+CQ

4

（5）A3+AD+AA

AB

（6）DA+DC+DDt

七、当堂达标训练

1.判断下列说法是否正确：

（1）零向量没有方向.（）

（2）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）

（3）相等的向量，则它们的起点相同，终点也相同.（）

2.设有四边形4崎，。为空间任意一点，且通+为=应+击，则四边形4?5是（）

A.平行四边形B.空间四边形C.等腰梯形D.矩形

3.在正方体/及⑦■45G4中，

化简：（1）DD、-AB+BC

（2）AB+CD+BC+DA

八、（）课堂小结：（学生先总结，然后演示）

10、作业P92页1、2；P106页1、2

11、（学生讨论问题：通过学习得到的启示和感想）

3.1.1空间向量及其加减运算学情分析

本课时面对的是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展时期，

学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生

活，掌握了一些高中数学的学习方法，为本节课的学习建立了良好的心理基础。同时，高一

研究了平面向量的运算和应用，在此基础上，推导、类比出本节要学习的空间向量及其加减

运算就成了轻而易举、顺理成章的事了，牢固的掌握这个概念及运算，并会灵活运用公式进

行相应的运算也会比较自然，为下一节内容的学习做好知识准备。

3.1.1空间向量及其加减运算效果分析

随着新课程的实施，我越来越关注自我评价。通过自我评价进行自我诊断、自我反思、

自我调整和自我激励，是实现自我提高、自我完善和专业发展的重要途径。现将自己的课堂

教学工作做以下评价总结。

一、上课前做好准备

在上课之前，我细致地分析学生，充分地把握教材，精心地设计教学进程，恰当地选择

教学方法，准确地拟定教学目标并对学生多种可能的反映做出预期。实践经验告诉我们，课

前准备越充分，教师在课堂上就越能游刃有余，得心应手，否则很容易出现问题甚至出现僵

局。

二、课堂上有效组织教学

有许多的事例可以说明，教学效果不好、教学质量不高，主要是因为教师组织教学的意

识不强，组织教学的能力欠佳。教师不仅是教育者，还是管理者。因此平时我注意把组织教

学贯穿在课堂的始终，而不仅仅是上课时的一个起始环节。注意整合新颖的教学内容，组织

学生的学习活动调整自己的教学计划。从不断追问中提高课堂教学管理能力。

三、课堂上充分调动学生主动参与

教学是师生共同参与的活动，课堂是师生共同活动（学习、生命成长）的场所，甚至在一

定意义上教师的活动是为了引发、引导、指导学生的活动，教师的教是为了建构学生成为学

习的主体。所以教师教的重要任务之一是如何让学生认真听讲、主动思维、积极配合、自觉

学习。为此，在课堂教学中，我注意关注学生非智力因素的作用，包括激发学生的兴趣，培

养学生克服困难的自信心和意志力，调动学生积极的情感因素等，使学生产生学习的渴望和

动机，真正实现学生的主体性。

四、课堂上尊重、激发、引导学生的学习

让学生愿意学习、自觉学习、会学习是课堂教学的核心目标。课堂上我尊重学生的学习，

尊重学生学习的个体差异。把握学生是否愿意学；清楚学生是否会学，学习方法是否科学。

在课堂上我不失时机、有目的地激发学生学习的内在动机，教会学生正确的学习方法和学习

策略。同时课堂教学中我注意避免只关注学生知识的获得而忽视其他方面的片面的绩效观。

通过借助教材的文化力量和自己的教育理念，促使学生在知识与能力、理解与沟通、理想与

追求、情感与态度诸方面获得良好的自我认识与自我发展。

五、课堂上恪尽职守、投入激情了

课堂是师生生命成长与延续的场所，课堂充满着责任、充满着希望。学生喜欢的是充满

激情的教师，喜欢的是充满活力的课堂。课堂上我善意地对待学生出现的各种问题，以最大

的热情投入工作，对教育教学充满激情，让师生共同充满阳光。

六、让教学设计在课堂上落实到位

教学设计是对教学过程以及教学中可能出现的问题和解决方法的一种事先预设，因此我

是精心准备，让它具备合理性和科学性，课堂上力争用这一设计来实施。同时做好教学的课

后反思，每一节课下来都要思考一下：教学目标是否实现，教学任务是否完成；重点是否突

出，难点是否突破；课堂中出现的新情况，是否应对合理；并找出差距，分析原因，总结经

验，吸取教训，以便采取补救措施。现在我正逐渐让自己形成反思习惯，努力提升自身的专

业水平，优化自身素养。

总之，及时的进行自我评价使我找出了自己的优势和不足，促进了自我教育观念、教学

方式的转变，使自己的教学方法更加灵活，提高了课堂教学效益，增强了自我发展意识，促

进了科研意识和能力的提高。成就了学生和我的共同发展。

3.1.1空间向量及其加减运算教材分析

本节内容是教材选修2T的第三章《空间向量及其运算》第一节，是高考的考点，历年

高考必考内容。主要给出了空间向量的概念、表示、相同或相等关系、加减运算及其运算律

等内容，要引导学生主动参与，独立思考，自己得出相应的结论。

教材在本小节类比平面向量引入了空间向量的概念、表示、相同或相等关系、加减运算

及其运算律等内容。通过本小节的教学，应使学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的几

何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空

间向量加减运算及其运算律的意义。

空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同。可在复习平面向量的定义、

表示方法及其相等关系后直接给出。然后说明，平面向量仅限于研究同一平面的平移，而空

间向量研究的是空间的平移。

对于空间任意两向量都是共面向量的认同，学生可能会受异面直线概念的干扰。为此,

可先让学生回忆空间两条直线的位置关系，再正面提出空间两向量是否可能异面的问题，进

而根据相同或相等向量概念用教科书图3.1-4解决疑问。在此基础上可进一步强调：由于空

间任意两个向量都可转化为共面向量，所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结

论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）。最

后还应说明：教科书图3.b4中，由于点0可以是空间任意一点，所以a,b确定的平面不是

一个，而是一组互相平行的平面的集合。但在研究解决具体问题时，一般只要在其中一个

平面内考虑即可。

教科书在本小节最后安排的“探究〃栏目，目的是让学生进一步结合平行六面体，数形

结合，理解空间向量运算的加法交换律和结合律。一般地，三个不共面的向量的和可以与分

别以这三个向量为边的平行六面体的对角线建立起联系。

3.1.1空间向量及其加减运算

难易度及题号

考查知识点及角度

基础中档稍难

概念的理解1、25

相等相反向量36

化简向量4,7

一、基础自测

1判断正误

1如果两个向量长度相等，那么这两个向量相等()

2如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等)

3同向且等长的有向线段表示同一向量()

4向量的模是一个正实数()

5所有的单位向量都相等)

6方向相反的向量是相反向量()

二、应用

2.判断正误

(5)若AB=CO,则AB\=\CD。)

(6)单位向量都相等()

(7)AB与BA的长度相等()

(8)不相等的两个空间向量，模不相等)

3.如图所示，在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,力4=1的长方体四6》43G〃的八个顶

点的两点为始点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个?

（2）试写出模为季的所有向量.

（3）试写出与A3相等的所有向量.

（4）试写出羽的相反向量.

4.如图，已知平行六面体ABCD-A^CM.化简下列向量表达式

（1）AB+CQ（2）CC.+AB（3）AB-CC}

（4）（A8+qC|）+CG

（5）AB+AD+AA,

（6）~DA+~DC+DD,

四.当堂达标训练

5.判断下列说法是否正确：

（1）零向量没有方向.（）

（2）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）

（3）相等的向量，则它们的起点相同，终点也相同.（）

6.设有四边形丝口，。为空间任意一点，且通+应=质+龙；则四边形/腼是（）

A.平行四边形B.空间四边形C.等腰梯形D.矩形

7.在正方体/8绥45G4中，

化简：（1）DD、—AB+BC

（2）AB+CD+BC+DA.

3.1.1空间向量及其加减运算课后反思

这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那教师在

这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分

内容在整个数学知识体系中的地位和作用。这不仅能够让学生更加深刻地理解概念更加自如

地运用概念，还能在这个过程中对学生进行数学思想方法的渗透。帮助学生站在一个更高的

角度，站在数学发展的角度看问题，对学生的长远发展是有好处的。本节课设计的一个特点

就是从整体上进行了设计，关注学生已有的认知结构，并在此基础上由知识浅层挖掘出其背

后所蕴含的数学概念体系，强调类比的方法，这也是形成新的数学概念的重要方法之一。

我对这一内容进行了教学设计以及备课。就此次教学，我进行了反思：

一、反思教学理念：

新课程理念的灵魂是核心素养，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通

过训练掌握。态度和情感