初中数学几何动点问题归纳

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总

近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变

换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，

这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常

见的基本问题.

最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最

短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴

对称图形(角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐

标轴).

我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现

图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关

系或组合成新的有利论证的基本图形.通过几何变换移动线段的位置是解决最值

问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本

问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需栗多种变换

的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

(1)去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔

细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

(2)科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段.平移把

不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的

线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般

的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的

基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

(3)怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点(直线)的

对称点(直线)，如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端

点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋

转60。或90°o

(4)怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”

或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。

目录

一、一条线段最值..............................1

1单动点型.................................1

1.1动点运动轨迹——直线型........................1

1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型.....................10

1.2.1定点定长..............................10

1.2.2定弦定角..............................15

1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形..................24

2双动点型................................27

2.1利用等量代换实现转化........................27

2.2利用和差关系实现转化........................28

2.3利用勾股定理实现转化........................28

2.4利用三角形边角关系实现转化.....................29

二、两条线段最值.............................30

1PA+PB型................................30

1.1两定一动（将军饮马）........................30

1.2两定两动...............................39

过河拆桥................................39

四边形周长最小；...........................42

1.3一定两动...............................44

两动点不随动.............................44

1.4三动点................................47

2PA+KPB型.........................................................48

2.1“胡不归模型”...........................48

2.2阿氏圆...............................65

三、“费马点''模型............................72

线段极值解题方略.............................76

—•、一条线段最值

1单动点型

所谓的单动点型指：所求线段两端点中只有一个动点的最值问题.通常解决这类问题的思考

步骤为三步：

（一）分析“源动点”的不变量。

（二）分析“从动点”与“源动点”问关系。

（三）分析“从动点”的不变量。

1.1动点运动轨迹——直线型

动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”

例1、如图1,在AABC中，NC4B=30°,BC=l,D为AB上一动点（不与点A重合），AAED

为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最

小值是o

方法指导：1.当动点的运动轨迹是一条直线（射线、线段）时，可运用“垂线段最短”性质

求线段最值.2.有时动点轨迹不容易确定，如例1,建议看到“中点”联想“三角形的中

位线及直角三角形斜边上的中线”等性质.3.试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该

动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线。

如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键。

①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的

轨迹是直线；

一_39

1.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,2）,点M的坐标为（m-1,——m——）（其

44

中m为实数），当PM的长最小时，m的值为.

2.如图，在平面直角坐标系中，A（l,4）,B（3,2）,C（m,—4m+20）,若OC恰好平分四

边形势典的面积，求点C的坐标.

②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线;

d定长

-1

1.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在边AD上，且AE:ED=1:3.动点P从点A

出发，沿AB运动到点B停止.过点E作EFXPE交射线BC于点F,设M是线段EF的

中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.

【变式11如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在BC边上，且BE:EC=1:3.动

点P从点B出发，沿BA运动到点A停止.过点E作EFLPE交边AD或CD于点F,

设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.

【变式2】如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2,AP=1,E是AB上的一个动

点，连接PE,过点P作PE的垂线，交BC于点F,连接EF,设EF的中点为G,当点E

从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是.

【变式3］在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,P是AD边的中点，点E在AB边上，EP的

延长线交射线CD于F点，过点P作PQXEF,与射线BC相交于点Q.

(1)如图1,当点Q在点C时，试求AE的长；

(2)如图2,点G为FQ的中点，连结PG.

①当AE=1时，求PG的长；

②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积.

2.如图，C、D是线段AB上两点，且AC=BD=，AB=1,点P是线段CD上一个动点,

6

在AB同侧分别作等边4PAE和等边△PBF,M为线段EF的中点.在点P从点C移动到

点D时，点M运动的路径长度为.

【变式1］已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，

分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH,点01和02是这两

个正方形的中心，连接0102,设0102的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点

Q移动路径的长是.

【变式2】等边三角形ABC中，BC=6,D、E是边BC上两点，且BD=CE=1,点P是线

段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N,连接MN、

AP交于点G,则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为.

【变式3］如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB

=1,点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和

正方形BRQP,E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF的中点为G,则当点P从点

C运动到点D时，点G移动的路径长为.

3.如图，已知在四边形ABCD中，AD/7BC,ABXBC,AD=1,BC=3,P为AB边上的一动

点，连接PD并延长到点E,使得PD：PE=1：3,以PE,PC为边作平行四边形PEFC,连

接PF,贝ijPF的最小值为.

【延伸】在四边形ABCD中，AB〃CD,BC±CD,AB=3,CD=4,在BC上取点P（P与B、

C不重合），连接PA延长至E,使PE：PA=x：1,连接PD并延长到F,使PF：PD=y：

1（x,y>l）,以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G,求PG长度的最小值（用x,

y表示）.

DC

【同型练】如图，已知DOABC的顶点A、C分别在直线x=l和x=4上，0

是坐标原点，则对角线0B长的最小值为.

同生琥图

③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。

定直线

1.如图，Z\ABC和4ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=2,0为AC

中点，若点D在直线BC上运动，连接0E,则在点D运动过程中，线段0E的最小值是

为.

【变式】1.如图，边长为2a的等边4ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,

将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长

度的最小值是.

A

奏式图

2.在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M为AB的中点.D是射线BC上一个动点,

连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接ED,N为ED的中点,

连接AN,MN.

(1)如图1,当BD=2时，AN=,NM与AB的位置关系是；

(2)当4<BD<8时，

①依题意补全图2；

②判断(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

(3)连接ME,在点D运动的过程中，求ME的长的最小值？

3.在4ABC中，/BAC=90°,AB=AC=2cm,线段BC上一动点P从C点开始运动，至【JB

点停止，以AP为边在AC的右侧做等边AAPa,则Q点运动的路径长为.

【秒杀训练】

1.如图，点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的

坐标为【】

2.如图，©0的半径为2,点0到直线1的距离为3,点P是直线1上的一

个动点，PQ切。0于点Q,则PQ的最小值为【】

A.V5B.V5/

Qi

C.3D.2

3.如图，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AD=AB=CD=2,NC=60°,M是BC的

中点。

(1)求证：AMDC是等边三角形；

(2)将AMDC绕点M旋转，当MD(即MD')与AB交于一点E,MC(即MC')同时

与AD交于一点F时，点E,F和点A构成AAEF.试探究4AEF的周长是否存在最小值.如

果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出4AEF周长的最小值。

1.2动点运动轨迹——圆或圆弧型

动点轨迹为定圆，利用三点共线

方法指导：L当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到

圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解.2.试着观察“动

点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常

见判断动点轨迹是圆的条件。

1.2.1定点定长

I动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或圆弧；

1.如图1,在正方形ABCD中，边长为2,点E是AB的中点，点F是BC边

上任意一点，将ABEF沿EF所在直线折叠得到△PEF,连接AP,则CP的最

小值________,AP的最小值是

1.如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上

同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A滑动到点A为止，

同时点F从点B出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A-B滑动到点B为止，那么在

这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为.

【变式1］在矩形ABCD中，已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴

着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中

点P在运动过程中所围成的图形的面积cm2.

【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E、F分别为AD、DC边上的点，且

EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点，贝UPA+PG的最小值为.

【变式3】如图，一根木棒AB长为2a,斜靠在与地面0M垂直的墙壁ON上，与地面的

倾斜角/AB0=60°,若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线0M向右滑行，则木棒中点P

也随之运动，已知A端下滑到K'时,AA，=（6-行）a,则木棒中点P随之运动到P'

所经过的路线长.

¥M

2.如图，在4ABC中，AC=2,AB=3.当NB最大时，BC的长为

3.如图，在4ABC中，NACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重

合），将4BCP沿CP所在的直线翻折，得到CP,连接BzA,则B，A长度的最小值

4.如图，在DABCD中，ZBCD=30°,BC=4,CD=33,M是AD边的中点，N是AB边

上的一动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到AA'MN,连接A'C,则A'C长度的最小

值是.

5.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,若/BAC=25°,ZCAD=75°,

贝|J/BDC=0,ZDBC=0.

6.如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=22,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC

的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是.

7.如图，矩形ABCD中，AB=2AB=4,长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC,取

EC的中点F,连接DF,则DF的取值范围为o

例2.（15威海）如图，已知AB=AC=AD,ZCBD=2ZBDC,NBAC=44°,则NCAD的度

数为.

变式：如图，四边形ABCD中，DC/7AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD的长为

例多图

例3.如图，在等腰4ABC中，AC=BC,ZC=70。，点P在4ABC的外

部，且与C点均在AB的同侧，如果PC=BC,那么NAPB=.

例4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E为AB边的中点，F是线段

BC边上的动点.将AEFB沿EF所在的直线折叠得到AEB'F,连接B'D,则

B'D的最小值为

II.定边对定角模型

1.2.2定弦定角

II当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧.

见直角一孩斜边（定长）一卷直径一定外心一现“圆”形;

见定角一孩对边（定长）一期周角一带心角一现“圆”形;

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45。、60°或者一

个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

1.如图，以G（0,1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两

点，点E为。G上一动点，CF±AE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F

所经过的路径长为.

2.如图，矩形0ABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7,3）,点E在

边AB上，且AE=1,若点P为y轴上一动点，连接EP,过点0作直线EP的垂线段，

垂足为点H,在点P从F（0,二251）运动到原点0的过程中，点H的运动路径长为.

3.在正方形ABCD中，AD=2,点E从D出发向终点C运动，点F从C出发向终点B运

动，且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则P点运动的路径长是.

4.等腰RtAABC中，NC=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点，连

接BD,过点C作CHXBD于H,连接AH,则AH的最小值为.

舞9题国

5.如图，RtAABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是4ABC内部的一个动点，且满足NPAB

=ZPBC,则线段CP长的最小值为.

6.如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D从C向终点B运动，同时点E以相同

的速度从A出发向终点C运动，连接BE、AD相交于点P,则点P的路径长为.

7.如图，的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点，AC±AP交直线PB于

点C,则4ABC的最大面积是.

篱7速国

8.如图，已抛物线y=ax°+bx+c(aWO)与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点，与y轴

交于C(0,2),连结AC、BC.

(1)求抛物线解析式；

(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；

(3)若点P在抛物线的对称轴上，且/CPB=/CAB,求出所有满足条件的

P点坐标.

9.如图，在正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从

点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动

过程中线段AF、BE相交于点P,则线段DP的最小值为o

变式：直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N,边长为2的正方形OABC一个顶

点0在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点0旋转一周，则点P

到点(0,2)长度的最小值是.

10.如图，边长为3的正方形ABCD,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴

的正半轴上滑动，点C点D在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OE,则

OE的长的最大值是.

D

8

变式：如图，已知平面直角坐标系中，直线y=kx(kWO)经过点C(a,3a)(a>0).线段BC

的两个端点分别在x轴与直线y=kx上(B、C均与原点0不重合)滑动，且BC=2,分

别作BP±x轴，CP,直线y=kx,交点为P,经探究在整个滑动过程中，P、0两点间的距

离为定值.

11.如图，开口向下的抛物线丁=。(》一2)2+上交x轴于点A,B两点，交y轴正半轴于

点C,顶点为P,过顶点P作x轴,y轴的垂线，垂足分别为M,N,连结CP,CM,ZCPM=45°,

tanZCMP=O.8.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)若点D为射线PC上动点，BD交4PMD的外接圆于点Q,求PQ的最小值.

【强化训练】

【例1】如图，AABC中，AC=3,BC=4A/2,NACB=45°,D为AABC内一动点，。0为

△ACD的外接圆，直线BD交00于P点，交BC于E点，弧AE=CP,则AD的最小值

为_______

P

•O

【例2】如图，AC=3,BC=5,且NBAC=90°,D为AC上一动点，以AD

为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE,则CE的最小值为

【练】如图，在AABC中，AC=3,BC=40NACB=45°，AM〃BC,点P在射线AM上

运动，连BP交4APC的外接圆于D,则AD的最小值为

［例3］如图，。0的半径为2,弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC±AP交直

线PB于点C,则4ABC的面积的最大值是.

【练】如图，的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点，AC±

AP交直线PB于点C,则4ABC的最大面积是（）

［例4］如图，边长为3的等边AABC,D、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE,AD、

BE交于P点，则CP的最小值为

例题4例题6图8

［例5］如图，A(l,0)、B(3,0),以AB为直径作。M,射线OF交。M于E、F两点，C

为弧AB的中点，D为EF的中点.当射线绕0点旋转时，CD的最小值为

【练】如图8,AB是。0的直径，AB=2,NABC=60°,P是上一动点，D是AP的中点，

连接CD,则CD的最小值为

针对练习：

1.如图，在动点C与定长线段AB组成的4ABC中，AB=6,AD±BC于点D,BE±AC于

点E,连接DE.当点C在运动过程中，始终有匹=立，则点C到AB的距离的最大

AB2

值是一

2.如图，已知以BC为直径的。0,A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，ADXAP交BP

于D,连CD.若BC=8,则CD的最小值为.

1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形

方法指导：1.当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段

转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定,

则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之

差.2.在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上

的中线。

例1、如图，NM0N=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M,ON上，当B在边ON上

运动时，A随之在边0M上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中

AB=2,BC=1,求运动过程中，点D到点0的最大距离.

1、如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=6,tanZBAC=-,点D在边AC的三等分点处,

2

将线段AD绕点A旋转，连接BD,F为BD中点，求线段CF长度的最大值.

2.如图，在4ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A

在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点0的最大距离为

回

提示：取AC中点D,由BOWOD+BD=l+0,知B0的最大值为

1+

3.如图，ZM0N=90°,线段AB两端点分别在边OM,ON上，当A在边0M上运动时，B随

之在边ON上运动，AB=2保持不变，以AB为边向外作等边aABC,在运动过程中，四边形

AOBC的面积的最大值是.

4.如图，平面直角坐标系中，将含30。的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两

端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm.

（1）若0B=6cm.

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点C与点0的距离的最大值=cm.

2双动点型

解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问

题。有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的

分析方法来处理，现总结思考前三个步骤：（一）分析“源动点”的不变量.（二）分析“双动

点”与“源动点”间关系.（三）转化为单动点问题。显然确定“双动点”与“源动点”间关

系是实现转化的关键。

2.1利用等量代换实现转化

例1.AABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4,BC=3,P是AB上一动点，且PELAC于E,

PF±BF于F,求EF的最小值.

B

分析：点P带动点E、F,显然点P是双动点E、F的''源动点"。第一步，“源动点”P在

定边AB上运动.第二步，由条件可知四边形PECF为矩形，所以双动点EF与“源动点”

P存在等量关系EF=CP.第三步，C是定点，P是动点且在一边上运动，可转化为“动点轨

迹为一条直线的单动点型”。

提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连结的线段？

2.2利用和差关系实现转化

例2、如图，在AABC中，AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB

分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是.

分析：本题的双动点P、D可看成由“源动点”E产生.第一步，“源动点”E在定边上运

动,且保持OELAB,第二步，双动点PD是圆上的动弦且所对圆周角为直角，因此PD为圆

0直径.源动点与双动点满足PD=CO+OE.第三步，PD长转化为三边关系，当C、0、

E三点共线时CE最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”.当CE上AB时PD

长度最小。

提示：双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和（差）？

2.3利用勾股定理实现转化

例3、如图，在RtZiAOB中，0A=0B=3V2,圆。的半径为1,点P是AB边上的动点，过

点P作圆0的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为.

分析：PQ为圆0切线，PCUOQ，双动点PQ与“源动点”P满足勾股定理PQ?=0y-0Q"

而0Q为定值1,因此要PQ最小只需0P取最小.问题可转化为“动点轨迹为一条直线的单

动点型”

提示：双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三

角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化。

2.4利用三角形边角关系实现转化

例4、如图，Z\ABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点，以

AD为直径画0分别交于AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值为.

分析：本题的难点就在于确定双动点EF与“源动点”D的关系，即EF与AD之间的数量

关系.连半径构造等腰△OEF,达到定角圆周角么EAF转化为圆心角NEOF,直径AD转化

为半径OE、OF,使EF与AD共存于一个三角形中，解三角形得EF=，.因A是定点,

2

D在线段BC上动，问题最终转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”。

二、两条线段最值

1PA+PB型

1.1两定一动(将军饮马)

出现一个动点的解题方法

这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一

个，映射到直线的另一侧。当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点

之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

引：如图在直线1上找一点P使AP+BP最短。

Z

I:

R

图(1)图⑵

解：(1)如果两点在直线异侧，如图(1),连接AB交直线1于点P,则点P为所示作的

点；

(2)如果两点在直线同侧，如图(2),可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情

况。

证明：如下图所示，从B出发向河岸引垂线，垂足为D,在BD的延长线上，取B关于河

岸的对称点B',连结AB',与河岸线相交于P,则P点就是所求作的点，只要从A出发,

沿直线到P,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的。

如果在河边的另外任一点C,则CB=CB',但是，

AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。可见，在P点外任何一点C,它与A、B

两点的距离和都比AP+PB都长。

本质：两点之间，线段最短。

【小结】

通过“对称”及构建“两点间的线段”基本图形，将动态变化中的线段通过转换，达到变

化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。路径最短问题，基本上运用轴对称,

将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解，所以

最短路径问题需要考虑轴对称。

两个关键点：

(1)找准对称轴。动点所在的直线即为对称轴。

(2)同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧

的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。

将军饮马口诀：“和最小，对称找”

例1如图，抛物线丁=工炉+公一2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点,

2

且A(—1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点M是x轴上的一个动点，当aDCM的周长最小时，求点M的坐标.

例题2定义一种变换：平移抛物线耳得到抛物线鸟，使心经过耳的顶点A.设的工对

称轴分别交耳、工于点D、B,点C是点A关于直线BD的对称点。

如图1,若公：〉=」/一2%+工，经过变换后，AC=2百，点P是直线AC上的动点,

1-333

求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值.

分析:如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点P是直线AC上的动点，所以直线AC

就是对称轴，从而运用对称变换把线段PD转化为线段PB进行求解.

解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称

轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题.根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”

把“两折线”转“直”，找出最小位置，并求出最小值。变换的奥秘是：动点在哪条直线上，

就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点.对称变换是转化的手段，也是解决问题的

关键.

【牛刀小试】

1.如图，正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.则

PB+PE的最小值是.

2.如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方

形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值

为.

3.如图，MN是半径为1的。0的直径，点A在。0上，NAMN=30°,B为AN弧的中

点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为.

4.如图，AB是。0的直径，AB=8,点M在00上，ZMAB=20°,N是弧MB的中点，P

是直径AB上的一动点.若MN=1,则APHN周长的最小值为.

5.己知A(—2,3),B(3,1),P点在x轴上，若PA+PB长度最小，则最小值为

6.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZB=60°，点D是BC边上的点，CD=1,将AABC

沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则4PEB

的周长的最小值是o

翦6题

7.如图，有一圆形透明玻璃容器，高15cm,底面周长为24cm,

在容器内壁柜上边缘4cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛

从容器底部外向上爬了3cm的B处时(B处与A处恰好相对),

发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少

路？(厚度忽略不计).

：-B

8.如图，在RtAABC中，NABC=90°,AB=BC=4,点M在BC上，且BM=1,N是AC

上一动点，则BN+MN的最小值为o

9.如图，在边长为2的等边4ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的

最小值为•

10.如图，点A,B的坐标分别为(8，0)和(0,2),点C是x轴上的一个动点，且A,B,C

三点不在同一条直线上，当4ABC的周长最小时，点C的坐标是

11.如图，正方形ABCD的边长是8,P是CD上的一点，且PD的长为2,M是其对角线

AC上的一个动点，则DM+MP的最小值是.

12.菱形ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点(26,0),NA0C=60°,点P是

对角线OB上一个动点,E(0,-l),问:EP+AP最短是，此时点P的坐标为.

霞12短

13.如图，已知点A(l,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点，则4ABP的周长的最小值

为

14.如图，四边形ABCD中，NBAD=120°,NB=ND=90°,在BC、CD上分别找一点M、

N,使AAMN周长最小时，则/AMN+/ANM的度数为【】

A.130°B.120°C.110°D.100°

15.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村

B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥0为坐标原点，以河道所

在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7)o

(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥0多远的地方可使所用输水管道最短？

(2)水泵站建在距离大桥0多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

1.2两定两动

过河拆桥

【解决方法】平移变换

平移变换的特征是：对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不改变其方向和长

度。平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手段。

【问题再现】（人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图3,A和B两地在一条河

的两岸，现要在河上造一座桥MN,造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假

定河的两岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直）

图3

在解决这道题题目前，我们先看以下模型：图3

【模型抽象】

动手操作一：如果把直线n和点A向上运动，而直线12和点B不动，你会

画吗？（平移要注意什么？）

问题：A、B为两村庄之间隔着河流，河流两岸为直线11、12,若在两岸建桥CD,桥与河

流两岸垂直，桥建在何处，可使AC+CD+DB最短。

策略：平移回去，把问题转化为在直线上找一点D,使A'D+DB最短

动手操作二：如果P不动，Q平移a个单位，你会画吗？（平移要注意什么？）

尸@•PQ

问题：如图，若A、B为定点，而线段PQ长为定值，当P在何处，AP+PQ+QB

最短。

•B

A

【小结】

两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平

移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。（处理方法:

当两点间有一段固定的距离时，利用平移可将这距离“压缩为零”，再连接构建“两点间

的线段”这一图形。）

例1（人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图3,A和B两地在一条河的两岸，

现要在河上造一座桥MN,造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两

岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直）

图3图4（1）图4《2》

分析：假设河的两岸为直线.这个问题要求“路径AMNB最短”

实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河

两岸的距离）.怎样保证“AM+BN”最短呢？如图4（1