高考数学数列难题训练题含答案解析5篇

高考数学数列难题训练50题含答案

一、单选题

1.已知数列｛。九｝满足=1,(m—l)7a7n-i——0(m2/mE/V*),且即九=

sin竽(neN*),则数列｛瓦｝的前18项和为()

A.-3B.-54C.-3V3D.-54V3

2.已知数列｛5｝满足：ai=2,a、n+i=：(、腐+2a“)(nCN*).记数列｛a"的前般项和

为Sn，则()

A.12<S10<14B.14<S10<16C.16<S10<18D.18<

S10<20

3.定义函数F(x)=匕，胃，，:jj,，胃，若函数/(x)=x2-2x+1,g(x)=/-

ax+b,且对任意的XER,都有F(x)=F(4—x)成立，函数y=F(x)的图象与

y=m自左向右有四个交点4、B、C、。，则\BC\-m的范围为()

A.(0,务B.(0,|)C.(0,1)D.(1|)

4.已知数列｛多｝的前n项和%=3x2"-3,等比数列｛%｝满足“=an-bn+1(ne4*),

若对于任意的实数aC[-1,1],不等式bn<2"•&血2一am一名)恒成立，则实数m的

取值范围为()

1111

A.(-00,一/"],+8)B.(-00,-2)u(2，+00)

C.(—oo,-3]U[3,+8)D.(—oo,—3)U(3,+8)

5.已知定义在(0,+8)上的函数/(%),满足(1)/(%)>0；(2)/(x)</(%)<2/(%)

(其中/'(X)是/(%)是导函数，e是自然对数的底数)，则然的范围为().

或,|)B.(^2,1)C,(e,2e)D.(e,e3)

6.已知各项均不为。的等差数列｛an｝满足a3-^7_+ail=o,数列｛bn｝为等比数列，且

bi=ai,则biebi3=()

A.25B.16C.8D.4

7.已知｛即｝为非常数数列且即。0,即=〃，an+1=an+sin(2an)+A(/z,AG

R,n€N*）,下列命题正确的是（）

A.对任意的；I,〃，数列｛g｝为单调递增数列；

B.对任意的正数£,存在A,〃，n0（沏CN*）,当n>沏时，|即-1|<

£;

C.存在4,〃，使得数列｛an｝的周期为2;

D.存在A,林，使得|册+a“+2-2为+11>2.

8.已知a>0,b>0,且百为3a与3b的等比中项，则的最大值为（）

4Q+9/J

A1o101n1

A-242526U-27

9.已知函数/（%）=/+版的图象在点4（1,/（l））处的切线l与直线3x-y+2=0平行,

若数列｛忐｝的前71项和为%，则52021的值为（）

A2021R2020c2019D2018

2022202120202019

10.普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后

一项由前一项的外观产生.以1为首项的“外观数列”记作4,其中a为1,11,21,

1211,111221,即第一项为1,外观上看是1个1,因此第二项为11；第二项外观

上看是2个1,因此第三项为21；第三项外观上看是1个2,1个1,因此第四项为1211,...,

按照相同的规则可得为其它项，例如必为3,13,1113,3113,132113,…若4的

第n项记作an,A）的第n项记作bn,其中i,je[2,9],若cn=\an-bn\,

则｛%｝的前n项和为（）

A.2n\i-7|B.n（i+;）C.n\i-j\D.1|i-j\

二、填空题

11.已知数列｛凝｝满足的=3,a2=6,且册+2=an+i-册（n为正整数），则CI308=_

Qn+11

12.计•算：Hm~n=_______•

…3n+n2n

13.求值：10g23・10g57・10g3540g74=

111

14.已知数列｛an｝中，ai=2,a-a.1-2n=0（n>2,nGN）.设bn=----1--------1------

nnan+lan+2an+3

+...+上，若对任意的正整数n,当1]时，不等式t2-2mt+1>悦恒成立，

a2n6

则实数t的取值范围是.

2

15.已知数列｛即｝的前n项和Sn=n,nCN*,则％=；ax-a2+

CI3-CI4+...+a2017-^2018=-

16.若数列｛5｝的前n项和Sn=2n+1,则此数列的通项公式为

Qn=•

17.有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的

S型；感染病毒尚未康复的/型；感染病毒后康复的R型(所有康复者都对病毒免

疫).根据统计数据：每隔一周，S型人群中有95%仍为S型，5%成为/型；/型

人群中有65%仍为I型，35%成为R型；R型人群都仍为R型.若人口数为A的

人群在病毒爆发前全部是S型，记病毒爆发n周后的S型人数为Sn,I型人数为ln,

则Sn=；In—.(用A和n表示，其中neN*)

18.请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列｛an｝,使得它的前n项和Sn满足：

数列｛店｝也是等差数列，则即=.

2

19.己知函数f(x)=xcos等,数列｛an｝中，an=f(n)+f(n+1)(neN*),则数列｛an｝

的前100项之和Sioo=.

20.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，用数列｛&J和｛\｝记录他们的

成绩.若第k题甲答对，贝I]ak=k，若第k题甲答错，则ak=—k；若第k题乙

kr

答对，则瓦=2-1，若第k题乙答错，则bk=-2-.已知b1+b2+-+bw=

767,+a2b2-I—+。10瓦0=9217,则即+a2+,,,+ciio=-

21.已知数列｛册｝的首项的=3,且an+1-an=2n,neN：则数列｛a4｝的

通项公式an=.

22.用印表示不超过x的最大整数，例如[3]=3,[1.2]=1,[-1.3]=一2.已

11

知数列｛即｝满足为=1,an+1=碎+0n,贝ij[叼+]+g+i■1-----

___1___1=

a2020+1'

23.已知数列｛g｝的各项均为正，S”为其前n项和，满足Sn=2an-2，数列｛%｝

为等差数列，且电=2,b10=10,则数列｛即+垢｝的前n项和

Tn=.

c

24.已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2n+i,若不等式(-1)nX<4,对VnGN*恒

dn+l

成立，则实数大的取值范围.

25.已知等差数列｛g｝的前n项和为S”，且53=15,a7+a9=34,数列

｛^―｝的前n项和为Tn,且对于任意的nCN*,7“<父抖，则实数t的取

anan+lnt

值范围为.

26.已知以区间(0,2)上的整数为分子，以2为分母的数组成集合力,其所有元素

的和为«i;以区间(0,22)上的整数为分子，以22为分母组成不属于集合4的数

组成集合人2，其所有元素的和为«2；……依此类推以区间(0,2n)上的整数为分子,

以2n为分母组成不属于4,A2…4-1的数组成集合An,其所有元素的和为

O-n>若数列｛册｝前n项和为Sn,则S2020-52019=.

27.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复

杂，但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方

程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,

线段AB的长度为a,在线段AB上取两个点C,。，使得AC=DB=iAB,

以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD,得到图2中的

图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，

我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn,则

(1)S3-;

(2)如果对VnGN*,Sn<2019恒成立，那么线段AB的长度a的取值范围

是.

已知。=数列｛心｝满足点+成=.若对

28.(10,t),+12(an+1+l)(an-1)+1,n6N*

任意正实数人，总存在由WD和相邻两项的，ctk+i，使得依+1+4必=0成立，则实数t的

最小值为

29.已知函数y=asinx+cosx,x6［0,^］,其最小值为a,则实数a的取值范

围是____________

30.若不等式|白一Mi+ax^o在％的定义域内恒成立，则a?的取值范围

是.

三、解答题

31.已知｛2｝是公差不为零的等差数列,a产1,且ai,g,ag成等比数列.

(1)求数列｛a,J的通项；

(2)设数列｛an｝的前n项和为Sn,令勾=专，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

32.已知在递增数列｛册｝中，%,a2为函数f(x)=/—11%+24的两个零点，数列

｛an+1-a"是公差为2的等差数列•

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵设数列|｛a的前几项和为的，证明：Sn<l

an4

33.设各项均为正数的数列®n｝的前n项和为％,满足45n-1=W+2册.

(1)求数列｛演｝的通项公式；

111

(O')乘11-…-I----------

al«2a2a3为％+1

34.设数列｛即｝的前n项和S",=l,an+1=ASn+l(ne/V*,A-1),且

a1(2a2,a3+3为等差数列｛bn］的前三项.

(1)求数列｛g｝，｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛a*bn｝的前n项和.

2

35.已知正项数列⑶｝的前n项和为Sn,点(a，“Sn)(nGN*)都在函数f(x)=1x+1x-^

的图象上.

(1)求数列｛沏｝的通项公式；

(2)若bn=an・3n,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

36.已知数列｛an｝满足的=1,an+1=2an,数列｛“｝满足名=3,b2=6,

且｛bn-an］为等差数列.

(1)求数列｛时｝和｛bn］的通项公式；

(2)求数列｛aJ的前n项和Tn.

37.已知三个正数a,b,c成等比数列，实数x,y分别为a与匕和匕与c的等差中项.证明:

(1)a4-c>2b；

(2)x-+y-=2,

38.设等差数列的前n项和为Sn,且S5=4s2,a2n=2an-1.

(1)求数列5｝的通项公式；

(2)设%=2(即：1)即'求数列｛匕｝的前几项和〃•

39.已知数列｛即｝满足an+1=劣，且的=2,数列｛%｝满足bn+1-bn=

anbn,且瓦=2,(nGW*).

(1)求证：数列｛2｝是等差数列，并求通项an；

⑵解关于n的不等式：2系<b/

40.已知数列｛aj为单调递增数列，即=1，其前n项和为Sn,且满足2Sn=磋一

2Sn_1+l(n>2,ne/V+).

(1)求数列｛aj的通项公式;

n

(2)若数列bn=—^—，其前n项和为了"，若心>福成立，求的最小

值.

41.在①Sn=|(Zn—3,其中右为数列｛a"的前n项和；②的=1,an-an+1=anan+1

这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

问题：已知数列满足—.

(1)求数列｛册)的通项公式；

(2)是否存在正整数m,使得am+am+i为数列｛&J中的项？若存在，求出m；若不

存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

42.已知锐角AABC的外接圆半径为1,内角B,C的对边分别为a,b,c,

AABC的面积为S且V3a2=4S+V3(c2—b2)-

⑴求C；

(2)求如的取值范围.

a

43.对于无穷数列｛an｝与｛bn｝，记A=｛x\x=a,nCN*｝,B=｛x\x=bn

n€N*｝,若同时满足条件：@(an｝,｛bn｝均单调递增；②4nB=0且4uB=

N*,则称｛an｝与｛bn｝是无穷互补数列.

(1)若斯=2n-l,bn=4n-2，判断｛%｝与｛bn｝是否为无穷互补数列，

并说明理由；

(2)若an=2n且｛an｝与｛bn｝是无穷互补数列，求数列｛bn｝的前16项的和;

(3)若｛an｝与｛%｝是无穷互补数列，｛an｝为等差数列且由6=36,求｛an｝

与｛bn｝得通项公式.

44.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足S-M-4n,数列｛悦｝中，bi=翁^对任意

n

正整数n>2,bn+1+bn=(1).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)是否存在实数中使得数列｛3必、+四是等比数列？若存在，请求出实数以及公

比q的值，若不存在，请说明理由；

(3)求证:：-历+乎+…+匕.〈吉•

45.已知=1,对任意正整数m,n中，①am+an=am+n；②的=1,

a2=2,an+1-an=an-an-1；(n>2,neN*)；③设数列｛an｝的前n项

和为%，Sn=Wa(neN*)，从这三个条件中任选一个，补在下面问题中，并作

n

答：在数列｛即｝中，▲,若bn=2an,求数列｛%｝的前n项和Tn.

46.已知二次函数/(%)=ax2+bx+b,cWR)满足：①对任意实数x,都有

f(x)>%;②当xW(0,2)时，有/(x)<|(x4-I)2成立.

(1)求证：/(I)=1；

(2)若/(-I)=0,求函数/(%)的解析式；

(3)在(2)的条件下，若对任意的实数xe[0,+8),有/(x)-mx>|恒成

立，求实数机的取值范围.

47.设｛an｝和｛%｝是两个等差数列，记g=max｛bi-anb2-azn,…，bn-am｝(n=l,2,

3,…)，其中max｛xi,X2,…，Xs｝表示xi,X2,…，Xs这s个数中最大的数.(13分)

(1)若an=Il,bn=2n-1,求Cl,C2,C3的值，并证明｛/｝是等差数列；

(2)证明：或者对任意正数M,存在正整数m,当nNm时，答>M；或者存在正

整数m,使得Cm,Cm+I,Cm+2,…是等差数列.

48.已知函数/(%)=-1|,g(%)=|%+3|一—1|.

6

5

4

3

2

1

1O

-1

(1)在直角坐标系中回出y=/(%)和y=g(x)的图象；

(2)若/(%)+a3g(%)恒成立，求Q的取值范围.

49.已知数列｛册｝的前n项和为Sn,«i=3,若数列｛S九+1｝是公比为4的等

比数列.

(1)求Sn,并求数列｛an｝的通项公式册；

n

(2)设bn=n^4+Aan,nWN*,若数列｛g｝是递增数列，求实数A的范

50.已知正项数列｛Qn｝满足，。1=2,且堵+i-册+1册+即+1=2忌+2斯.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足匕=合5€")，记也｝的前项和为〃，若斯7n+n+(-1)”•

Aan-1>0对任意nG/V*恒成立，求实数；I的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】6

12.【答案】3

13.【答案】2

14.【答案】(-oo,-2)U(2,+oo)

15.【答案】1；-2018

16.【答案】｛/喘战

17.【答案】0.95A；。-95”-0.65”月

6

18.【答案】2n-1(答案不唯一，满足d=2ai00即可)

19.【答案】10200

20.【答案】39

21.【答案】n2—n+3

22.【答案】0

23.［答案］2"+2+n2+n-4

2

24•【答案】(-；,1)

25.【答案】(0,162)

26.【答案】22°18

27.【答案】(1)4a

⑵（0,萼

28.【答案】11

29.【答案】（—8,1］

30.【答案】a3e［0,挈

31•【答案】（1）解：由题设知公差群0,由ai=l,a”a3,a9成等比数列得：

二0］•09，

即（l+2d）2=1・（l+8d）,解得d=l或d=0（舍去），故｛1｝的通项an=l+（n-1）xl=n

（2）解：•••Sn=^^，

•也=?^15=4哈一急），

：.Tn=4［（1-1）+（|-1）+-+-^）］=曲1一击）=罂

2

32.【答案】（1）解：函数/（%）=x-llx4-24的零点为3,8,而数列｛an｝递增,则%=3,

@2=8,。2—=5,

因此数列｛册+1-a九｝是以5为首项，2为公差的等差数列，则册+1-玛=2几+3,

当71之2时，Qn=a1+（做—。1）+（。3-。2）+…+（。九—。九一1）=3+5+7+…+（2九+

1）

=3+（当+1）•n=九（兀.!_2）,而%=3也满足上式，

所以数列｛a九｝的通项公式是a九=n（n+2）.

⑵证明：由⑴得1寻用1斗11（»急1），

因此Sn=*［（l…+（/_磊）+。—急）］

1111?11111

=2（1+2-雨-诉）=厂2（帝+吊〉而而l+限

所以为<京

33.【答案】（1）解：当几=1时，由4szi—1二成+2即得4al—1=域+2的，%=1.

当九>2时，由4Sn—1=成+2a九得4s71T-1=a器】4-2an_1,

两式相减可得4an=CL^+2（1n—W-i—2tzn-i,

化简得（Q〃+un-i）（cin-dn-i_2）=0,

由条件得+an-i>0，故的=%-1+2（n>2）,

得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

从而数列｛an｝的通项公式为即=2n-l.

(2)解：由(1)得%=2九一1,

11111

所以a九%+1-(2n—l)(2n+l)-2^2n—l2九+1),

111111111I

得近+砒+…+=2(1_4)+2(4—5)+…+2(2^―^TI)

111111

=2(1一4+歹广+而=1一市巨)

11

=2(1-2?rn:)

n

=2n+l*

34.【答案】(1)解：解法1：・・・an+i=A5"+l(?i£N*),

/.an=25九一1+l(n>2)

-a=za:,B|Jan+i=(A+1)M，(九之2),2+1H0,

又臼=1,敢=as1+1=4+1,

,数列｛&J为以1为首项，公比为A+1的等比数列，

,,%=(入+1)2，

A4(A+l)=l+(A+l)2+3,整理得公_二/.-1=0，得4=1

dn=2"-1，人九二1+3(71-1)=3n—2

解法2：Vai=l,an+1=ASn+l(n6/V*),

,•Q，2=as1+1=a+L。3=as2+1=A(I+a+1)+1=乃+2A+1,

A4(A+1)=1+"+24+1+3,整理得z：-2z-l=0，得2=1

/.an+1=Sn+l(n6N*),

Aan=Sn_I4-l(n>2)

•・Q九+1—Q九=Cln,即Q〃+i=2dn(7232),

又Qi=1,。2=2

，数列为以1为首项，公比为2的等比数列，

n-1

Aan=2,

=

bn=1+3(九一1)3九一2

n

(2)解:anbn=(3n-2)-2

，12n_1

..Tn=l-l+4-2+7-2+•••+(3n-2)-2®

123n-1

：.2Tn=l-2+4-2+7-2+•••+(3n-5)-2+(3n-2)-2n②

①一②得=1.1+3-21+3-22+•••+3-271T-(3n-2)-2n

2,(1—2"

=1+3——%一5一--(3n-2)•2”

1-z

n

整理得：Tn=(3n-5)-2+5

35•【答案】(1)解：由题可得Sn=/册2+/册—竽

当n>2时,Sn_i=/册t?④an-i~学

2a—a2a

所以an=^an+2n5n-l~^n-l

所以与2-2an-an_x2-2an_i=0

所以(an+an-i)(an-an-1-2)=0

因为an>0

所以an一an-1=2

2

当n=l时，Si=/ai2+%—学，所以的-2O1-15=0

因为ai>0,所以ai=5

所以数列｛加｝是以5为首项，2为公差的等差数列.

所以an=5+2(n-1)=2n+3

n

(2)解：由(1)可得bn=(2n+3)-3

23n

Tn=5x3+7x34-9x3+-+(2n+3)-3

234n+1

3Tn=5x3+7x3+9x3+•••+(2n+3)-3

所以-2%=5x3+2x32+2x33+2x34+…+2x3"-(2n+3)•3n+1

=15+2x9。二;1)-(2n+3)-3n+1

=6-(2n+2)・3田

n+1

所以Tn=(n+1)-3-3

36.【答案】(1)由题意知数列也丸｝是首项由=1,公比q=2的等比数列，所以

厮=2-1・

因为b1—di=2>£>2—a2=4，

所以数列｛原一即｝的公差d=2,

所以bn—un—(玩—即)+(7i—l)d=2+2(n—1)=2Tl,

所以勾=2九+2nT.

(2)Tn=+b2+b3+•••+%

=(2+4+6+…+2九)+(1+2+4+…+2"-1)

_(2+2n)n1x(1-2n)

=2+1^2

=n(n+1)+2n—1.

37.【答案】(1)解：由已知，得房=这，且Q>0,h>0,c>0,所以b=疝，

因为^所以a+c32〃F=2b

(2)解：因为％=竽，y=竽，

nrriaic_2a,2c_2a(b+c)+2c(a+b)

加以土+y=由+万元=—"(a+bXb+c)一

_2(ab+2ac+bc)_2(ab+2ac+bc)_

ab+Qc+/+bcab^2ac-\-bc

38•【答案】(1)解：由题意，设等差数列｛an｝的公差为d,则

[5al+10d=4(2%+d)解彳=2

+(2M—l)d=2[%+(71—l)d]—1’〔d=1

/.数列｛。九｝的通项公式为an=2+n-l=n4-l.

11111

(2)解：由(1)知，*=2(而_1)­=2n(计1)=2华一市)•

故Tn=瓦+电+…+bn

11111111

=2(1-2)+2(2-3)+，"+2(n-^+T)

111111

=2(1-2+2-3+"，+H-^+T)

11

=2(1-^+1)

n

=2(n+l)・

39.【答案】(1)证明：由册+i=乌多，且劭=2知，a>0

Uj2-r£n

故有/―一2=4得，所以数列心｝是等差数列

an+lQ九乙

由于/=>=>所以表皂,即时号

(2)解：由“+1-b=即加得，=册+1=生必，由累乘法得，bn=n(n+1)

则不等式2言<bn可化为2n<n(n+1),即吗/>1

令Cn=WN*，则C”>1・

当n=1时，Ci=1,不符合；

当几=2时，c2=|>1»符合；

当n=3时，c3=|>1>符合；

当兀=4时，c4=1>1»符合；

当几=5时，C5=1|vl,不符合；

而当力>M*h5+1)(九+2)i+1)_(九+1)(2-九)0u

rnj^n>5,neN时，cn+1-cn----------------------环一^n+i<

故当n>5,nEN*不符合；

综上所述，nG{2,3,4}

40.【答案】(1)解：由2sn=^-2Sn_i+l知：2Sn_i=谥_1-2szi_2+1，(n>3)，

两式相减得：2an=W-W.i-2%1T

即2(an+0nt)=(an-an_i)(an+an_i)，又数列{a九}为单调递增数列,即=1

**•CLn+Q〃-1>0，

Aan—an_i=2(n>3),

又当九=2时，2(%+a2)=连-20i+1,即厩一2a2—3=0,解得与=3或

@2=一1(舍)，

符合an-an_i=2,：.{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

an=1+(n—1)x2=2n-1

1111

(2)解：bn=(2n_i)(2n+i)=2~2n+I^，

..1/1,11,,11、_1/1、

••^n-2(T-3+3-5+'"+2n=T_2n+T>>-Z^T-Zn+T^，

又「Tn〉得，即-2n+1)>'T9,解得k>9,

又n€N+,所以n的最小值为10

41.【答案】⑴解：如果选择条件①：令n=l,a1=|a1-3.所以为=6,

则由于5"=|即一3,当nN2时，

S九_]=9Qn-1—3两式相减得：CLn—方册-1，则可—3，

数列｛%J是首项为6,公比为3的等比数列，

n

则数列｛册｝的通项公式为即=6x3「T=2x3;

如果选择条件②：

/11

■:@1=1，CLH0，贝由CLQ〃+l—^n^n+19IaZ—1'

nnun+l"几

所以号｝是首项/=1,公差为1的等差数列，

1

所以力=14-(n—1)x1=n,

所以即=

m

(2)解：对于条件①，假设存在正整数m,使得出n+am+1=a^kGN*),则2x3+

2x3m+1=2x3fc,

所以8x3m=3上,此等式左边为偶数，右边为奇数，

所以不存在正整数m满足题意；

对于条件②，

假设存在正整数m,使得即,+am+1=ak(keN*),

则上+=77=上化简得病+(1-2k)m—k=0,

TilTillxK

解得_2k-l+Jl+4k2,

m-2

因为2k<+4肥<2k+l，所以2k-*<2k,

m无正整数解，故不存在这样的m满足题意.

综上，对于条件①，通项公式为an=2x3”,不存在正整数m满足题意；

对于条件②，通项公式为即=，不存在正整数m满足题意.

42.【答案】(1)解：由V3a2=4S+V3(c2-b2)

得：V3(a24-62—c2)=4s

2V3afecosC=4x2absinC即：75cosc=sinC

VcosCH0,/.tanC=V3

又•・・Ce(0,yr)

(2)解：vAABC的外接圆半径为1

就.不=2,即c=2sinC=V3

v..a_b_c

sin?lsinBsinC'

:.a=2sinA,b=2sinB

.bc___「x2sinB/3sinBV5sin(，一4)

aa2sin4—sin4-sinA

同名cosA+msiiVl)_3V3

-sin-2tan42

又因为AABC是锐角三角形

f

o<<7rjo<AV7l_

_2

2即

)2"

o(

<<7r-o<-AVTr-

2x32

njAJ

"6<A<2

“..taAn、"门*，口0一<^14<—V3，八°</丽3产丁3/3’

-^<—<2V3

2a

43.【答案】(1)解：因为4c4，4CB,所以4CAUB,从而与｛0｝不

是无穷互补数列

(2)解：因为a4=16，所以hi6=16+4=20.数列｛小｝的前16项的和为(1+

2+…+20)-(2+22+23+24)=

—1+X—20X20-(25-2)=180

乙

(3)设｛册｝的公差为d,d€N*,贝ijQi6=%+15d=36.

由的=36—15d31,得d=1或2.

若d=1,则即=21,册=九+20,与“｛an｝与｛bn｝是无穷互补数列”矛盾；

若d=2,则%=6,an=2n+4,bn=鼠?蓝>5.

n,n

综上，an=2n+4,=Lc~^c.

nnk2n-5,n>5

44.【答案】(1)解：当n=l时，ai=Si=-3,

22

当n^2时，an=Sn-Sn-i=n-4n-(n-1)+4(n-1),

即an=2n-5,

n=l也适合，所以an=2n-5.

(2)解：法一:

假设存在实数由使数列｛印・也十四｝是等比数列，且公比为q.

n

因为对任意正整数n>2,fcn+1+bn=(1)，因=3；需=，

可令n=2,3,得b2=聂，b3=-•

301UO

因为｛3呱+酎是等比数列，所以8+竽,=(〃―今.—苧)，解得g=-

nnn

3bn-jl-3bn-^—36+1

从而n=-3(n>2)

3f-T3f_T3f_iT

所以存在实数--公比为q=-3.

nn

法二：因为对任意正整数n>2,bn+1+bn=(1).所以3bn=-3-3”-"加1+1，

设3%#|1=-3(3nIbn-l+H),则-%l=l,

13nhn-1

所以存在〃=一J，且公比q=F~~S=一3•

43%一1-4

(3)解：因为a2=-1,a3=l,所以瓦=3算j=一/，3bl—,=—1，

所以3%=-1.(-3广1,即%=(-l)n(④)，

于是bi+b2+…+bn=(-1)-1+^(1)°+(-1)2-1++…+(T)n,+―,

当是奇数时：b]+b2+.・.+bn=,关于递增,

得一/Wbi+b2+...+bnV—芸.

当是偶数时：bl+b2+...+bn=，关于递增，

得g<bl+b2+...+bn<.

11

综上，--7Wbi+b2+...+bnVG.

4o

45.【答案】解：选择条件①，am+an=am+n,

令？n=1,可得a1+即=an+i，即an+1一0n=1,

・・・｛«n｝是首项为1，公差为1的等差数列，Aan=1+(n-1)x1=n；

选择条件②，册+i-即=即一斯-1，

可得an+1+an_]=2an,则｛册｝是首项为1,公差为a2-ar=2-1=1的等

差数列，

.%an=14-(n-1)x1=n；

选择条件③，Sn=裳3(nCN*)，

71=1时，Qi=Si=l,

2

时，an-Sn—Sb】、学9，满足­=1，

：•an=n；

所以任选一个条件都可得到an=n(_nGN*),

n

bn=2-n,

23n

Tn=2xl+2x2+2x34-……+2xn，

27^=22x1+23x2+24x3+……+2nx(n-1)+2n+1xn,

-T=2+22+23+……+2n-2"+ixn=2(：一誉_n+i,

n1—22xn

n+1

：.Tn=(n-1)-24-2.

46.【答案】(1)证明：由题意知，当xe(0,2)时，x</(x)<|(x+l)2成立，

令x=1,则有1</(x)<1,

所以/(I)=1；

(2)解：由(1)知，/(I)=a+b+c=l,

又/(-I)=a-b+c=0,所以a+c=4，b=，

由/(x)>x,即ax2—^x+^—a>0在R上恒成立，

所以a>0,且/=1-4a(1-a)<0,即(4a-l)2<0，所以a=/，

所以c=/，

111

2

=-X+-X+-

所以f(x)424

(3)解：在(2)的条件下，/(%)-mx>可化为1x2+-mx>0

即对任意的实数%6[0,4-oo),%2+%—mx>0恒成立，

当x=0时，^%2+^x-mx=0,符合题意，此时meR；

当x>0时，i%24-—mx>0即对任意的实数xG[0,+oo),-%4--m>0,

11_-1

即m在％€[0，+8)上恒成立,所以m42,

综上所述，m6(—oo,i].

47.【答案】(1)解：ai=l,a2=2,a3=3,bi=l,b2=3,b3=5,

当n=l时,ci=max{bi-ai}=max{0}=0,

当n=2时，C2=max{bi-2ai,bz-2a2)=max{-1,-1}=-1,

当n=3时，C3=max{bi-3ai,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2,

下面证明：对Vn£N*,且叱2,都有Cn二bi-nai,

当n£N*,且2<k<n时，

则(bk-nak)-(bi-nai),

=[(2k-1)-nk]-1+n,

=(2k-2)-n(k-1),

=(k-1)(2-n),由k-l>0,且2-n0O,

则(bk-nak)-(bi-nai)<0,则bi-naiNbk-nak,

因此，对Vn£N*,n>2,cn=bi-nai=l-n,

Cn+I-Cn=一1，

，C2-Cl=-1,

.*.Cn+i-Cn=-1对Vn£N*均成立，

.・・数列{.}是等差数列；

(2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为dI,d2,下面考虑的Cn取值，

由bi-ain,b2-a2n,bn-ann,

考虑其中任意bi-am(i£N*,_ftl<i<n),

则bi-ain=[bi+(i-1)di]-[ai+(i-1)d2]xn,

=(bi-am)+(i-1)(d2-dixn),

下面分5=0,di>0,5VO三种情况进行讨论，

①若di=O,则bi-&n=(bi-am)+(i-1)ch,

当若d2<0,