沪教版 九年级数学 相似三角形复习

相似三鬲形复习

o课前刑忒

【题目】课前测试

已知，正方形的边长为2,E为8c边的延长线上一点,CE=2,联结

AE,与。交于点F,联结6尸并延长与线段OF交于点G,则6G的长为_____

【答案】BG=g也

【解析】延长A2BG相交于点》,

•.正方形A3C。，.,./AOC=NZ)CE=90-

-AD=CE=2,NAFD=/EFC,

：.\AFD兰AEFCf/.AF=EF,DF=CF,

/AH||BE,

DH=BC

AH||BEZ

DHDGHG_1

'^E~~GE~^G~2'

.BG=-BH,

3

AB=2,AH=4,/BAH=90-:.BH=2后,

.BG=-45.

总结：本题考点包括平行线分线段成比例、直角三角形的性质、正方形的性质，考查学生

综合运用知识的能力.

【难度】3

【题目】课前测试

如图,在梯形A5CQ中，AD//BC,AD=a,BC=b,E、尸分别是AO、BC的中点,

且交8E于P,CE交DF于Q,求PQ的长.

【答案】PQ=g

a+b

AEPEEDEQ

【解析】AD//BC,■■~BF~~BP，~FC~^C*

又E、尸分别是A。、3C的中点，

.PEEQ

:.AE=DE,BF=FC~BP~~QC'

PQ//BC//AD.

PQEPPQPFPB

'------------------------.--------------------------

"BC~EB"AD~AF~EB'号+表」

代入，求得：PQ=R.

a+b

总结：考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的，先应用性质证明比例线段相等再

判定.由三线平行模型可得出结论.

【难度】4

苕如识,位

适用范围沪教版，初三年级，成绩中等以及中等以下

知识点概述相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了

比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算.重点是灵活

运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三

角形与动点问题相结合的类型

适用对象；成绩中等以及中等以下

;主意事项大部分学生试听这个内容主要想听相似三角形章节复习

重点选讲：

f--------------------------------------------------------------------------------------\

①相似形与比例线段

②三角形一边的平行线定理

II

③相似三角形的判定与性质定理

茗如出境锂

卷如出椅ifI:相他形与比俐线用

i

誉1.相似形

(1)相似形的概念

相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形.

(2)相似多边形的性质

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当

两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1.

二国三2.比例线段及性质

(1)比例线段

1.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做

成比例线段，简称比例线段.

2.如果鬻、以：葭碱’是比例线段，即生之(或研曲7涵)，那么线段薛'、党是比例外

囹%

项，曲、4是比例内项.

3.如果比例的两个内项(或两个外项)相同，那么这个相同的项叫做比例中项.

4.如果点P把线段分割成"和AP>PB)两段，其中AP是AB和抬的比例中

项，那么称这种分割为黄金分割，点尸称为线段钻的黄金分割点.其中，

—=^-0.618,称为黄金分割数，简称黄金数.

AB2

(2)比例的性质

1.基本性质：

如果@=',那么。4=历；

bd

如果2=£,那么2=4,-=-,-=-.

bdaccdab

2.合比性质：

4rlpnQcXJ/Za+bc+d

如1果一=一,那P么----=-----;

baba

如果3=£,那么i=j.

bdbd

3.等比性质:

如果3=£=七，那么乌!£=q=£=4(b+d#))

bdb+dbd

等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形：

号’啕福腌婚上密+吩-4檎婚喧稔循.

如果曲党f脚，则甥喇*h*―+潞叔党/,眼

(b+d+f+......+n#0)

⑥如出场锂2：三鬲形一边的平行线

1.三角形一边的平行线性质定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.如图，已

知AABC,直线,且与回、AC所在直线交于点。和点E,那么黑=若

二国’2.三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三

边对应成比例.

如图，点、D、E分别在AABC的边他、AC上，DE//BC,那么匹=42=丝

BCABAC

定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.

性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.

二国’4.三角形一边的平行线判定定理

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三

角形的第三边.

5、三角形一边的平行线判定定理推论

如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所

得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

6.平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

DFFG

如图，直线/"儿/儿，直线加与直线〃被直线《、4、4所截，那么——=——.

［国=7.平行线等分线段定理

两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一

条直线上截得的线段也相等.

卷垢出梳锂3：相似三鬲形的性口与初定

二国’1.相似三角形预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相

似.

2、相似三角形判定定理

(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相

似.可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.

(2)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那

么这两个三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个角形

相似.可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

(4)如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直

角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

3.相似三角形性质定理

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(2)相似三角形周长的比等于相似比.

(3)相似三角形的面积的比等于相似比的平方

俐魅啸第

题型1:相似形与比例线居

下列各组中的两个图形一定相似的有()

(1)两个等腰三角形；(2)两个直角三角形；(3)两个等腰直角三角形；

(4)两个等边三角形；(5)两个矩形；(6)两个菱形；

(7)两个正方形；(8)两个等腰梯形；(9)两个圆.

(A)3组(B)4组(C)5组(D)6组

【答案】B

【解析】相似的是(3)(4)(7)(9)

对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，

还要考虑边的大小对应.

总结：考查相似图形的特征，形状完全相同，

【难度】2

题型1变式练习1:题型1:相似形与比例线目

(1)点P是线段AB的黄金分割点，求—的值.

An

(2)》是9和4的比例中项，则6=；

(3)线段a=6厘米，b=16厘米，贝(J线段。和6的比例中项是.

【答案】(1)或三以.(2)±6;(3)4V6cm.

【解析】

222

(1冲艮据黄金分割点的定义，AP=BPAB，即AP=(AB-AP)-A8,两边同时除以AB,

可解得警=赵二；或=AP-2C,类似的可得警==5.

AB2AB2

(2)由题意可知片=9x4=36,可解得6=±6;

(3)。、6都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为反正=4痴0”

总结：注意线段的黄金分割点有两个.注意线段比例中项和数字比例中项的区别.

【难度】2

【题目】题型1变式练习2:题型1:相似形与比例线段

nhc

已知^—=——=--=k,则一次函数y=丘-3的图像一定经过第几象限？

b+ca+ca+b

【答案】三、四.

【解析】

,a+b+c11

(1)a+b+c/O时，根据比例的等比性左=，此时一次函数,=彳尤一3经

/ICt-IUIC-I4乙

过一、三、四象限；

(2)。+匕+。=0时，可得。+。=一。，贝必=&二一1,止匕时一次函数)二一1一3经过二、三、

-a

四象限；

综上所述，函数必经过三、四象限.

总结：考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限

与系数的关联.

【难度】3

【题目】题型2:三角形一边的平行线定理及其推论

如图，M为的中点，EF//AB，联结EM、WW分别交4尸、BE于点C和点。.

求证：CD//AB.

【答案】见解析

【解析】

EFECEFDF

证明：EF//AB,

M为AB的中点,AM=BM.

ECDF

CDIIAB.

总结：考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用

【难度】2

【题目】题型2变式训练1:三角形一边的平行线定理及其推论

如图,AABC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的长.

9

【答案】EC=-

【解析】DE//BC,

DEDFAE_2

BC-CF-AC-5

2Q

即3+EC=-，求得：EC=3

总结：相似三角形中"A"字型和"X"字型的综合应用，可得到相等比例关系式.

【难度】2

【题目】题型2变式训练2:三角形一边的平行线性质定理及其推论

如图，梯形ABCD中，DC//EF//GH//AB,AB=30cm,CD=10cm,

DE:EG:GA=2:3:4,求EF与G"的长度.

M

空叫

【答案】EF=GH=^cm.

99

【解析】

过点C作CP//D4分别交GH、AB于

点、M、点、N、点、P,则易得四边形ZMPC为平行

四边形.

P

贝EM=GN=AP=DC=Wcm,PB=20cm.

FMCMDE2

由尸M//BP,可得:

PBCPDA9

40130

代入可得：FM=一cm,EF=EM+FM=—cm.

NHCNDG5

由NH/IPB,可得:

PBCP万厂5'

代入可得：NH=^-cm,GH=GN+NH=^-cm.

总结：夹在平行线间的线段对应成比例.

【难度】3

【题目】题型3:相似三角形性质及判定定理

如图，AB=AC,AC2=ADAE,求证：BC平分/DBE.

【答案】见解析

【解析】证明：AB=AC,AC2=AD»AE,

,ABAE

■■^=AD.AE,D即n罚=莉—

又ZA=ZA,:.MBDs^AEB.ZABD=NE.

又AB=AC,：.ZABD+ZDBC=ZACB.

又ZCBE+ZE=ZACB,，/CBD=/CBE.即BC平分/QBE.

总结：本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质.

【难度】2

【题目】题型3变式练习1:相似三角形性质及判定定理

如图，在AABC中，ADA.BC,BEYAC,D、£分别为垂足.若NC=60°,

SAW=1,求四边形的面积.

【答案】3

【解析】ADA.BC,BELAC,ZCDA=ZBEC=90

CDCA

ZCDA=ZBEC=90-,\CBE^\CAD~CE

CDCA

ZCDA=ZBEC=90-,，ACBE^^CAD

CE-CB

ADCE^AACB,

—

CD_1.S^DCE_SMJCE_2

ZCBE=ACAD=30qa

CA21^AACB4。四边形BDEAJ

S'CDE=1,一S四边形QE4B-3.

总结：本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识.

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:相似三角形性质及判定定理

如图，AB=16厘米，AC=12厘米，动点尸、Q分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同

时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移动到点。为止，点。从点2出发沿

8A边一直移动到点A为止.经过多长时间后，AAP0与AABC相似？

-48,、32

T【答案】五s或gS

【解析】设两动点运动时间为'则4尸=为，8Q=f,AQ=16-f.

(1)AAQPsM8C时，则有当=4

ADAC

16—Z2t._.48

即TTF‘解/l得=："IT.

(2)AAPQs入48c时，则有当=当

ADAC

2t16—/_32

即TTTF,A解/1得=I：

总结：解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下,

则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相

应比例关系顺序变换一下即可.

【难度】3

【题目】兴趣篇1

已知：。为AABC的中位线M/V上任意一点，BP、。的延长线分别交ZU26于点

。和点£

ADAE

求证：--------1-------

DCEB

【答案】

【解析】过点A作GU//5C分别交上、5。的延长线于点G、H.

MN是中位线,

AM=MB,AN=NC,MN/IBC.

:.GH/IBC!/MN.

AMGP

...GP=PC

MBPC

GHGP

GHIIBC

BCPC

GH=BC;

ADAHAEAG

GH//BC

DCBCEBBC

ADAE1

..——+——=l

DCEB

总结：本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关

知识.

【难度】3

【题目】兴趣篇2

ADBD

如图,2。是AA5C的内角平分线.求证：八八

/i(_z

【答案】见解析

【解析】过点。作CM//A3交AO的延长线于点M.

B

CMIIAB

ABBD

,ZBAD=ZM

CMDC

是角平分线

/BAD=ZDAC;

...Z.M=ADAC

...AC=CM

AB_BD

AC-DC

总结：本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识.

【难度】3

备选试题1

如图，。是线段上一点，且2BD=3DC,CE交AB于点F,AE:ED=1:3,

求AF:族的值.

【答案】2:15

【解析】过点A作AM//3。交CF的延长线于点M,*

F/\

根据三角形一边平行线的性质定理，/IE\

又2BD=3DC,gp2(BC-DC)=3DC.

由AM//BC可得：AF:BF=AM:BC=2:15.

总结：考查三角形一边平行线的性质，由已知和所求比例构造平行

【难度】3

【题目】

如图，正方形。斤的边炉在AABC的边BCh,顶点D、G分别在边力&AC,AH

是AA5C的高，6。=60厘米，2〃=40厘米，求正方形。斤白的边长.A

BEHFC

【答案】24.

【解析】设正方形的边长为工,

DGADAP

DG//BC,/........-------

BCABAH

x40-x

—=----,x=24,

6040

正方形EFG。的边长为24.

总结：本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系.

【难度】3

【题目】甯选试题3

如图，梯形ABCD中，AD//BC,£是腰AB上的一点，过点日乍6c的平行线交CD

于点，已知2,BC=6.

(1)如果万一，试求“的长；

匕BJ

(2)如果变些=：,试求"的长

»梯形EBCFJ

【答案】(1)EF=­;(2)EF=|Vi05.

【解析】(1)过点/作AN//OC交比"于点N,交)于点M.

AD//NC//FE,

四边形//VC■。是平行四边形，

四边形/股⑶是平行四边形，

AD=MF=NC=2,BC=6,:.BN=4.

AEEMAE_2AE_2

EF/IBCEB-3AB-5

ME_2

~NB~~5

E

(2)分别延长胡、。交于点G.

设S梯形AE尸D=2a,，梯形EBB=3a，贝[]S梯形地⑺=5。,

SAGZM_S^GDA_]

SAAQG+S梯形ABCQ3AADG+5〃9

5