专练13（圆大题）中考数学考点必杀500题（江西专用）（解析版）

2021中考考点必杀500题专练13（圆大题）（30道）1．（2021·江西九年级一模）如图，为圆的直径，点在线段的延长线上，，动点在圆的上半圆上运动（包含、两点），以线段为边向上作等边三角形，（1）当线段所在的直线与圆相切时，求的面积（如图1）；（2）当线段与圆有两个公共点、时，如果于点，求的长度（如图2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）连接OA，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．（2）连接MQ，易证AO∥MQ，从而得到△PNO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、ON，进而求出PN、NM、AM、CM的值．【详解】解：（1）连接，过点作，垂足为，∵与相切于点，∴．∴，∵，∴．∴．∵是等边三角形，∴，．∵，∴，∴．∴的面积为．（2）连接，如图所示．∵是的直径，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴，∵．∴，．同理：，．∵，∴．∴．∵，，，∴．∴．∴．∵，，∴，∵是等边三角形，∴，．∵，∴．∴．∵，∴，．∴．∴．∴的长度为．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强．2．（2021·江西九年级其他模拟）如图，为的直径，且，的平分线交于点．（1）求的长；（2）平分交于点．①求证：；②若弦，求的长．【答案】（1）；（2）①见解析；②【分析】（1）连接BD，根据直径所对的圆周角为直角可得，由角平分线的定义及圆周角定理易证，即可得△ABD是等腰直角三角形，所以；（2）①由三角形外角的性质、圆周角定理及角平分线的定义可得，，即可得，根据等角对等边可得AD=DE；②过点E作EFAC，EGBC于G，EFBA于H，易证四边形CFEG是正方形；再根据勾股定理求得BC=4，设CF=CG=x，则即可得解得在Rt△AEF中，EF=1，AF=2，根据勾股定理即可求得．【详解】（1）连接BD，∵为的直径，∴，∵CD平分，∴，∵，∴△ABD是等腰直角三角形，∴；（2）①∵，，，∴AD=DE；②过点E作EFAC，EGBC于G，EFBA于H，∴四边形CFEG是矩形；∵CD平分，∴EF=EG，∴四边形CFEG是正方形；∵AB=5，AC=3，∴BC=4，设CF=CG=x，则∴在Rt△AEF中，EF=1，AF=3-1=2，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．3．（2021·江西九年级其他模拟）如图，以△ABC的AC边为直径作⊙O，交AB于点D，E是AC上一点，连接DE并延长交⊙O于点F，连接AF，且∠AFD＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当AE＝AD时：①若∠FAC＝25°，求∠B的度数；②若OA＝5，AD＝6，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②【分析】（1）连接CD，由圆周角定理得∠CDA=90，∠AFD=∠ACD=∠B，可得∠CAD+∠B=∠CAD+∠ACD=90，则可得结论；（2）①由圆周角定理得∠FDC=∠FAC=，由AD=AE，得∠ADE=∠AED=，所以∠CAD=，在直角△ABC中可得∠B的度数；②过点E作EH⊥CD于点H，则EH∥AD，且有，因CE=AC-AE=10-6=4，CD=8，故可求得EH、CH，进而求得DH，在直角△DEH中，由勾股定理即可求得结果．【详解】（1）连接CD，如图所示∵AC是⊙O的直径∴∠CDA=90∴∠CAD+∠ACD=90°∵∠AFD=∠ACD，∠AFD=∠B∴∠ACD=∠B∴∠CAD+∠B=∠CAD+∠ACD=90°∴∠ACB=90°∴BC⊥ACBC是⊙O的切线（2）①∵∠FDC=∠FAC=25∴∠ADE=∠ADC-∠FDC=90°-25=65°∵AE=AD∴∠ADE=∠AED=65°∴∠CAD=180°-2×65=50°又∵∠CAD+∠B=90°∴∠B=90°﹣50°=40°②过点E作EH⊥CD于H，如图所示则EH∥AD∵OA=5，AD=6∴AC=2OA=10，AE=6∴EC=AC﹣AE=4在Rt△ACD中，由勾股定理得：∵EH∥AD∴△CEH∽△CAD∴即∴，∴DH=CD-CH=∵EH⊥CD∴由勾股定理得：【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理是解决本题的关键．4．（2021·江西九年级二模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，连接，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F．（1）求证：．（2）如果的半径为，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）连接，由为的直径，得到，再由得到是的中线，继而得到是的中位线，从而证明，即可得到是的切线，进而证明，据此解题；（2）过点作交于点，在中，由余弦定义、勾股定理解出的长度，再利用勾股定理解出的长，进而证明，最后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．【详解】解：（1）连接，为的直径，是的中线，是的切线；（2）过点作交于点，的半径为，在中，在中，．【点睛】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·江西赣州市·九年级一模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tanB，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）AF＝CE＋BD；见解析【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；

（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；

（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．【详解】（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tanB，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵，∴，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵，∴，∴OC，故⊙O的半径为；（3）如图，连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF＋BD＝CE＋BD．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．6．（2021·江西吉安市·九年级一模）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BD=．【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=．【详解】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，，∴∠BOC=90°，∵E是OB的中点，∴OE=BE，在△OCE和△BFE中，，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF=，∴S△ABF=，即4×2=2BD，∴BD=．【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．7．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可．

（2）根据S阴=S扇形OAD-S△ADO计算即可．【详解】证明：（1）是的直径，，，，即，；（2）连接，，，，，，，，在直角三角形AOE中，AO=4，∠BAD=30°，∴OE=2，，∴，．【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2021·江西南昌市·九年级期末）如图，已知是的直径，，连接，弦，直线交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）连接，通过证明△COD≌△COB得到即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解【详解】（1）如图，连接.∵，∴，.又∵，∴，∴.∵，，在和中∴，∴.又∵点在的切线.∴是的切线.（2）∵，∴.∵，∴.∵，∴.∵的半径为2，∴，∴.【点睛】本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的判定定理是解题关键．9．（2021·江西南昌市·九年级期末）已知为的一条弦，交于点，是弦上一点（不与，重合），连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）如图1，若在圆心的上方，且与相交于点，求证：是等腰三角形；（2）如图2，若是的直径，，的半径为4，求线段的长；（3）如图3，若在圆心的下方，且与的延长线相交于点，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）线段的长为3；（3）线段，，之间的数量关系为，理由见解析．【分析】（1）连接，由题意易得，∠B=∠OCB，则有，进而可得，然后问题可求证；（2）连接，则，由勾股定理可得，由（1）可得，设，则，然后再由勾股定理可求DC的长；（3）连接，，连接并延长交于点，连接，由题意可得，则有，进而可得，然后有，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，则，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴，又∵，∴，∴，∴是等腰三角形；

（2）如图，连接，则，∵在中，，的半径为4，∴，由（1）可得，设，则，∴在中，，∴，即线段的长为3；

（3）线段，，之间的数量关系为，理由：如图，连接，，连接并延长交于点，连接，∵为的切线，∴，又∵，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．10．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，半的直径，为半圆一动点（不与，重合），的延长线与直线相交于点，且．（1）求证：为半的切线；（2）若是的平分线，且于，连接．①请判断线段与有什么位置关系，并说明理由；②当时，则的长为______．【答案】（1）见详解；（2）①OD⊥BC，理由见详解；②6【分析】（1）由题意易得∠ACB=90°，∠A+∠ABC=90°，进而可得∠A+∠P=90°，然后问题可求证；（2）①连接OC，延长OD交BC于点E，由题意易得∠DCB=45°，进而可证CD=BD，然后可得OE是线段BC的垂直平分线，则问题可求解；②由①得：△CDB是等腰直角三角形，则有DE=CE=BE，设CE=x，则DE=BE=x，进而可得，，然后利用勾股定理可求解．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵，∴∠A+∠P=90°，∴∠ABP=90°，∴BP⊥AB，∵AB是直径，∴BP是半的切线；（2）解：①OD⊥BC，理由如下：连接OC，延长OD交BC于点E，如图所示：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCB=45°，∵BD⊥CD，∴∠DCB=∠DBC=45°，∴CD=BD，∵OC=OB，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴OD⊥BC；②如①的图，由①得：△CDB是等腰直角三角形，∴DE=CE=BE，设CE=x，则DE=BE=x，∵AB=10，，∴，，在Rt△COE中，，∴，解得：（不符合题意，舍去），∴，故答案为6．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．11．（2021·江西赣州市·九年级期末）（1）解方程：；（2）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，设的半径为r，求的长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先去括号，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案；（2）连接OC，由垂径定理的推论，得到，然后利用勾股定理，求出半径，然后求出AC的长度．【详解】（1）解：，∴，∴，解得：；（2）解：连接，如图：∵是直径，，∴，∴，即，∴，∴由勾股定理得．【点睛】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．12．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在中，点为边上一点，经过，两点，与边交于点，点为下方半圆弧上一点，，垂足为，．（1）求证：为切线．（2）求证：．（3）若，，求半径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）半径【分析】（1）证明：连接，得，根据，得到，即可得到结论；（2）连接，证明，即可得到结论；（3）根据是的直径，得到，证得，得到，列得，求出，即可得到半径长．【详解】（1）证明：连接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴为切线；（2）解：连接，∵，∴设，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵∴，∴；（3）∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴半径．【点睛】此题考查同圆的半径相等，证明直线是圆的切线，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，综合掌握各知识点是解题的关键．13．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，CO相交于点E．（1）求证：；（2）若AD=16，CE=4，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)⊙O的半径为10．【分析】(1)由AB是直径，得到∠D=90°，由OC∥BD得到∠AEO=90°，进而得到OC⊥AD，再由垂径定理即可证明；(2)由AD=16可以得到AE=ED=8，设圆的半径为r，则EO=r-4，在Rt△AEO中由勾股定理即可求出圆的半径．【详解】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°∴OC⊥AD，由垂径定理可知：；(2)由(1)可知OC⊥AD，又∵AD=16，设⊙O的半径为r，∵CE=4，∴OE=r-4，在Rt△AEO中，由勾股定理得，解得：r=10，∴⊙O的半径为10．【点睛】本题考查了圆的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等相关知识点，属于中档题，熟练掌握圆内的各定理是解决本题的关键．14．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OC，由OA＝OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC＝∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；（2）连接BC，∠BAC＝30°，在Rt△ABC中可求得AC，同理在Rt△ACD中求得CD．【详解】（1）证明：连接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC为⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．∵∠CAD＝30°∴【点睛】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用含特殊角度的直角三角形求得边长即可解决问题．15．（2021·江西九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证；（2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段，则结论得证；（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段，则EF可求出．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝4．【点睛】本题考查了圆的综合应用题，涉及了圆周角定理、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟悉上述知识点．16．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC=22.5°时，连接CF．①求证：AC=CF；②若AD=1，求线段FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②2．【分析】（1）连接OC，证得OC⊥CE，即可证得结论；

（2）①通过证得∠AOC=45°=∠COF=45°，得出弧AC=弧CF，即可证得AC=CF；

②作CM⊥OE于M，首先证得CF=CG，得出CM垂直平分FG，然后通过三角形平分线的性质证得CM=CD，即可证得Rt△ACD≌Rt△FCM，从而证得FM=AD=1，即可证得FG=2FM=2．【详解】（1）证明：连接OC，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，

∵EO⊥AB，

∴∠OGB+∠B=90°，

∵EG=EC，

∴∠ECG=∠EGC，

∵∠EGC=∠OGB，

∴∠OCB+∠ECG=∠B+∠OGB=90°，

∴OC⊥CE，

∴EC是圆O的切线；

（2）①证明：∵∠ABC=22.5°，∠OCB=∠B，

∴∠AOC=45°，

∵EO⊥AB，

∴∠COF=45°，

∴弧AC=弧CF，

∴AC=CF；

②解：作CM⊥OE于M，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°

∵∠ABC=22.5°，∠GOB=90°，

∴∠A=∠OGB=∠67.5°，

∴∠FGC=67.5°，

∵∠COF=45°，OC=OF，

∴∠OFC=∠OCF=67.5°，

∴∠GFC=∠FGC，

∴CF=CG，

∴FM=GM，

∵∠AOC=∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，

∴CD=DM，

在Rt△ACD和Rt△FCM中

∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），

∴FM=AD=1，

∴FG=2FM=2．【点睛】此题考查切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题关键．17．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线；(2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论．【详解】(1)证明：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线；(2)解：连接，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴的半径．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接OD，如图，根据平行四边形的性质得OC∥BE，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠1＝∠2，则可根据“SAS”判断△ODC≌△OAC，从而得到∠ODC＝∠OAC＝90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；（2）利用∠F＝30°得到∠FOD＝60°，则∠1＝∠2＝60°，再根据平行四边形的性质得OC＝BE＝8，接着在Rt△AOC中计算出OA＝4，AC＝4，然后利用扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD进行计算．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，在△ODC和△OAC中,∴△ODC≌△OAC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，∴OD⊥CD，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵∠F＝30°，∴∠FOD＝60°，∴∠1＝∠2＝60°，∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC＝BE＝8，在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4,∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD＝2××4×4﹣＝16﹣π．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了平行四边形的性质和圆周角定理．19．（2021·江西上饶市·九年级期末）如图，，，三点在上，直径平分，过点作交弦于点，在的延长线上取一点，使得.（1）求证：是的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）先得出∠ABD=∠CBD，进而得出OD⊥DF，即可得出结论；（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而解答即可．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE．∴∠CBD=∠BDE．∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°．∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD=AD=4，AB=BC．∵DE=5，∴CE＝＝3，EF=DE=5．∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5．∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．∴AB=8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME=4．∴DM=DE-EM=1．【点睛】主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．20．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD、BC的延长线相交于点E．（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A＝2∠CDE．【答案】证明见解析【解析】（1）如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线．（2）由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°–∠ADO–∠ABO–∠BOD=180°–∠BOD=∠DOC，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=2∠CDE．21．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．AB=4，∠BAC=45°，求阴影部分的面积．【答案】π+2．【分析】根据题意得出∠BOE=90°，BO=EO=2，进而求出S阴=S△BOE+S扇形OAE的值．【详解】连结OE,如图所示：

∵AB=4，∠BAC=45°，∴∠BOE=90°，BO=EO=2，∠AOE=90°，∴S阴=S△BOE+S扇形OAE=．【点睛】本题主要考查了扇形的面积，正确读懂题意是解题的关键．22．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图，⊙O是的外接圆，的平分线交⊙O于点，交于点，过点作直线∥．（1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，，，求的长．【答案】（1）相切，见解析；（2）【分析】(1)由垂径定理的推论可以得到解答；

（2）由题意可得，再由相似三角形的性质可以求得BD的长．【详解】解：（1）与相切，理由：连接，∵的平分线交于点，∴，∴，∴，∵，∴，∴与相切；（2）∵，，∴，∴，，．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质是解题关键．23．（2020·南昌市第十九中学九年级月考）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，⊙O与线段OP相交于点B，点C是线段AP上一点，连接OC，CB．（1）当OC是△OAP的时，CB是⊙O的切线（请填下列序号，并加以证明）；①中线，②角平分线，③高线（2）在（1）的条件下，若OA＝6，AP＝8，求切线CB的长．【答案】（1）②；证明见解析；（2）切线CB的长为3．【分析】（1）由切线的性质得出∠OAC=90°，证△OBC≌△OAC（SAS），得出∠OBC=∠OAC=90°，即可得出结论；

（2）由勾股定理得出OP=10，求出PB=OP-OB=4，设BC=AC=x，则PC=8-x，在Rt△BCP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）当OC是△OAP的角平分线时，CB是⊙O的切线；理由如下：∵PA是⊙O的切线，点A为切点，∴PA⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OC是△OAP的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC，在△OBC和△OAC中，，∴△OBC≌△OAC（SAS），∴∠OBC＝∠OAC＝90°，∴BC⊥OB，∴CB是⊙O的切线；故答案为：②；（2）∵∠OAP＝90°，∴OP＝＝＝10，∵OB＝OA＝6，∴PB＝OP﹣OB＝10﹣6＝4，由（1）得：△OBC≌△OAC（SAS），∴BC＝AC，∠OBC＝∠OAC＝90°，∴∠PBC＝90°，设BC＝AC＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△BCP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BC＝3；即切线CB的长为3．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．（1）中熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；（2）中能表示直角三角形的三边是解题关键．24．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图，是的直径．四边形内接于，对角线与交于点，在的延长线上取一点，使，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径．【答案】（1）证明见详解；（2）．【分析】(1)证明是的切线，只需要证明FA垂直AB即可，即∠FAB=90°，由题，由得，又即可证出结论．(2)连接DO，交AC于M，可得到OD垂直AC，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求出DM长，在Rt△AOM中，设半径为r，利用勾股定理即可求出半径的值．【详解】解：证明：是的直径，，又，，．，，，是的切线．如图，连接，交于，，，，，在中，，设的半径为r，在中，ME=r－3，∴，，解得：r=，∴的半径为．【点睛】本题考查了圆的切线的证明，圆半径的求法，涉及到知识点有，垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理等，解题关键在于熟练运用圆中相关定理，通过相关定理找出关系进行解答．25．（2020·江西）如图，已知内接于，是直径，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当点在左侧半圆上运动时，探究：①当度时，四边形是菱形；②当与相切时，求的度数．

【答案】（1）证明见解析（2）①；②【分析】（1）已知AD=OC，利用平行四边形的判定，只需证明OC∥AD即可，（2）①当∠B=30°时，证得AC=AO=OC，根据（1）结论和菱形的判定定理即可得出结论；②由切线定理得∠OAD=90°，由OC∥AD证得∠COA=90°,进而求得∠B的度数．【详解】解：（1）∵内接于，是直径，∴，，∵，∴，．又，∴．即，∴．∴．又．∴四边形是平行四边形．（2）①∠B=，理由：∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵∠B=30°∴AC=AB=OA，又OA=OC，∴AC=OC，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．故答案为：30°；②∵当与相切时，，，∵，∴，又OC=OB∴．【点睛】本题考查了圆的性质、切线性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形性质、等腰三角形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握它们的性质及其运用．26．（2020·江西宜春市·九年级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交边BC于点D，交边AC于点E．过D点作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求证：CF＝EF；（3）延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）证明OD∥AC，可得OD⊥DF，可得结论；

（2）证出∠CED＝∠C，则CD＝DE，可得出结论；

（3）证出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径.【详解】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（亦有其他证法）（2）证明：如图2，连接DE，∵四边形AEDB为圆内接四边形，∴∠CED＝∠ABC，∵∠ABC＝∠C，∴∠CED＝∠C，∴CD＝DE，∵DF⊥CE，∴CF＝EF；（3）如图3，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴CD＝BD，∵OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴，∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣3，OG＝9+r，AG＝9+2r，∴，∴r＝，即⊙O的半径是．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，平行线的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．27．（2020·江西九年级二模）如图，AB是⊙O的直径，DB切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED∥AC，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=12，OP：AP=1：2，求ED的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OBD=90°，然后利用SAS证出≌，可得∠OCD=∠OBD=90°，从而证出结论；（2）根据圆的直径和线段比，求出OB、O